（新课改地区）2021届高考数学一轮复习课件：第七章数列7.3等比数列

第三节等比数列【教材·知识梳理】1.等比数列定义与等比中项(1)定义：①文字语言：从______起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数；②符号语言：_________(n∈N*，q为非零常数).(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么__叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2=___.第2项比同Gab2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)通项公式：an=_____.(2)前n项和公式：Sn=a1qn-13.等比数列的性质(1)通项公式的推广：an=am·qn-m(m，n∈N*).(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m+n=p+q，则______=______.特别地，若m+n=2p，则_______________.am·anap·aq

【知识点辨析】

(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)等比数列{an}的公比q>1,则该数列单调递增. (

)(2)数列{an},{bn}都是等比数列,则数列{anbn},仍然是等比数列. (

)(3)数列{an}的通项an=an,则其前n项和为Sn=. (

)(4)设Sn是等比数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等比数列. (

)提示:(1)×.在等比数列{an}中,若公比q>1,当a1>0时,该数列为递增数列,a1<0时,该数列为递减数列,所以(1)错误.(2)√.设等比数列{an},{bn}的公比分别为q1,q2,则=q1q2(与n无关的常数),(与n无关的常数),所以(2)正确.(3)×.对于数列{an},当a=1时,Sn=n,当a≠1时,则其前n项和为Sn=,所以(3)错误.(4)×.在公比q=-1,n为偶数时,Sn=S2n-Sn=S3n-S2n=0,此时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不是等比数列,所以(4)错误.【易错点索引】序号易错警示典题索引1运算错误考点一、T52q=1的特殊性是否讨论考点一、T23不能进行正确转化考点二、T24等比数列性质应用错误考点三、角度1,2【教材·基础自测】1.(必修5P48练习BT1改编)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(

)A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列【解析】选D.因为数列{an}为等比数列,设其公比为q,则a3·a9=a1·q2·a1·q8=

所以a3,a6,a9一定成等比数列.2.(必修5P51习题2-3AT1改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则公比q= (

)【解析】选C.由等比数列可得,a2+a4=(a1+a3)q=q=,解得q=2.3.(必修5P46例4改编)在3与192中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.

【解析】设该数列的公比为q,由题意知,192=3×q3,q3=64,所以q=4.所以插入的两个数分别为3×4=12,12×4=48.答案:12,484.(必修5P51练习BT1改编)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若,则{an}的通项公式an=________.

【解析】因为,所以,因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,所以q5=-,q=-,则an=.答案:

【解题新思维】活用等比数列前n项和的性质解题

【结论】在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,当公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).【典例】设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=________.

【解析】由等比数列的性质S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,由已知得S6=3S3,所以即S9-S6=4S3,S9=7S3,所以.答案:

【一题多解】因为{an}为等比数列,由=3,设S6=3a,S3=a(a≠0),所以S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,即a,2a,S9-S6成等比数列,所以S9-S6=4a,解得S9=7a,所以答案:

【迁移应用】已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=(

)A.40 B.60 C.32 D.50【解析】选B.数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9