山东省淄博市临淄区第二中学高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省淄博市临淄区第二中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若，则实数

（）

A．高考资源网

B．

C．或D．或参考答案：C略2.四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（）A．64π B．65π C．66π D．128π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】求出△ABC外接圆的半径，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由于PB=PC，取BC的中点为O'，则PO'⊥BC，由于平面ABC⊥平面PBC，即有PO'⊥平面ABC，∵PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，∴PB=6，PO'=4，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，∴sin∠ABC==，∴2r=，设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为h，则（）2+h2=（4﹣h）2+（4﹣）2=R2，解得R=．球O的表面积为4πR2=65π，故选：B．【点评】本题考查面面垂直的性质定理和球的截面的性质的运用，熟记这些定理是解题的关键．3.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289

B.1024

C.1225

D.1378参考答案：C4.设是展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为

(

)Ａ.２Ｂ.－２

Ｃ.Ｄ.参考答案：A略6.若展开式各项系数和为，则展开式中常数项是第（

）项（A）7

（B）6

（C）5

（D）2参考答案：A略7.随机写出两个小于1的正数与，它们与数1一起形成一个三元数组.这样的三元数组正好是一个钝角三角形的三边的概率是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D8.已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln（x＋2）－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于

A．－1

B．0

C．1

D．2参考答案：A9.在△ABC中，，则A的取值范围是（▲）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C10.四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD，PA⊥底面ABCD，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（）A.3 B.2 C.1 D.参考答案：C【分析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE,可得O为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，可得PA的值.【详解】解：连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，可得，可得，解得PA=1,故选C.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列为等差数列，若，，则

.参考答案：4512.函数的定义域是

．参考答案：略13.角的终边过P,则角的最小正值是

．参考答案：试题分析：由任意角的三角函数定义，，所以，时，角的最小正值是．考点：1．任意角的三角函数；2．三角函数诱导公式．14.若的展开式中常数项为43，则

．参考答案：21根据题意可得的展开式的通项为，当r＝0时，的常数项为1，的常数项为3，而，令，解得r＝2，所以当r＝2时，的常数项为，综上，的展开式中常数项为＝43，整理得，解得n＝5，或n＝－4（舍去），则．15.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则这它们面积的比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体（各棱长均相等的四面体）的棱长的比为1：2，则他们的体积的比为________________参考答案：1:816.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数:①；②③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是

.参考答案：①17.已知复数z=a（1+i）﹣2为纯虚数，则实数a=．参考答案：2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z=a（1+i）﹣2=a﹣2+ai为纯虚数，∴a﹣2=0，a≠0，则实数a=2故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知A，B两点在抛物线上，点满足．（1）若线段，求直线AB的方程；（2）设抛物线C过A，B两点的切线交于点N．求证：点N在一条定直线上．参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）设，根据韦达定理表示出，根据弦长公式计算即可.（2）先表示出过点的切线和过点的切线，然后两直线联立可求出点的坐标，即可得到点在定直线上．【详解】（1）设，与联立得，，，，又，即，解得：（舍），所以直线的方程（2）证明：过点的切线：，①，过点的切线：，②，联立①②得点，所以点在定直线上．【点睛】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，考查了计算能力，属于中档题19.某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当文明交通宣传志愿者，20名学生的名额分配为高一12人，高二6人，高三2人．（Ⅰ）若从20名学生中选出3人做为组长，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；（Ⅱ）若将4名教师随机安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考答案：20.改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示在80分以上为交通安全意识强.（1）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；（2）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1，完成下列2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；

安全意识强安全意识不强合计男性

女性

合计

（3）用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率.附：其中

参考答案：（1），概率为；（2）列联表详见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关；（3）.【分析】（1）根据频率和为1列方程求得的值，计算得分在分以上的频率即可；（2）根据题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论；（3）用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.【详解】解：（1）

解得.

所以，该城市驾驶员交通安全意识强的概率

（2）根据题意可知，安全意识强的人数有，其中男性为人，女性为4人，填写列联表如下：

安全意识强安全意识不强合计男性女性合计

所以有把握认为交通安全意识与性别有关.

（3）由题意可知分数在，的分别为名和名，所以分层抽取的人数分别为名和名，

设的为，，的为，，，，则基本事件空间为，，，，，，，，，，，，，，共种，

设至少有人得分低于分的事件为，则事件包含的基本事件有，，，，，，，，共9种所以.【点睛】本题考查独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于中档题.21.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为：.（Ⅰ）将曲线C1的方程化为普通方程；将曲线C2的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点，曲线C1与曲线C2的交点为A，B，求的值.参考答案：（Ⅰ），即：；

，即：

（Ⅱ）方法一：的参数方程为代入得∴，∴.方法二：把代入得所以所以.

方法三：把代入得所以，

所以

22.（12分）函数在区间内可导，导函数是减函数，且．设，是曲线在点处的切线方程，并设函数．

（Ⅰ）用、、表示m；

（Ⅱ）证明：当，；（Ⅲ）若关于x的不等式在上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系．参考答案：解析：（Ⅰ）

……2分

（Ⅱ）证明：令

因为递减，所以递增，因此，当；当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即

……6分

（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

对任意成立的充要条件是

另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为

于是的充要条件是

……10分

综上，不等式对任意成立的充要条件是

①

显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式

②

有解、解不等式②得

③

因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.

……12分

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

对任意成立的充要条件是

……8分

令，于是对任意成立