不等式小题突破练-高三数学二轮专题复习

冲刺高考二轮不等式小题突破练（原卷+答案）一、单项选择题1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，则∁RA＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1或x>2}D．{x|x≤－1或x≥2}2．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x＋1)≤0))))，B＝{x|－1<x<1}，则A∩B＝()A．(－1，1)B．{0}C．[－1，2]D．{－1，0，1，2}3．函数y＝x＋eq\f(1,x＋2)(x>－2)的最小值为()A．3B．2C．1D．04．已知a>0，b>0，3a＋eq\f(4,b)＝1，则eq\f(1,a)＋3b的最小值为()A．13B．19C．21D．275．当x∈R时，不等式x2－2x－1－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－2)C．(－∞，0]D．(－∞，0)6．已知a>b>0，下列不等式中正确的是()A．eq\f(c,a)>eq\f(c,b)B．ab<b2C．a－b＋eq\f(1,a－b)≥2D．eq\f(1,a－1)<eq\f(1,b－1)7．已知正实数a，b满足a2＋2ab＋4b2＝6，则a＋2b的最大值为()A．2eq\r(5)B．2eq\r(2)C．eq\r(5)D．28．已知a，b为正实数，直线y＝x－a与曲线y＝ln(x＋b)相切，则eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为()A．8B．9C．10D．13二、多项选择题9．如果关于x的不等式x2－2ax＋b－1>0的解集为{x|x≠a}，那么下列数值中，b可取到的数为()A．－1B．0C．1D．210．下列命题为真命题的是()A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋dB．若a>b，c>d，则ac>bdC．若a>b，则ac2>bc2D．若a<b<0，c<0，则eq\f(c,a)<eq\f(c,b)11．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥eq\f(1,2)B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2D．eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)12若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2D．x2＋y2≥1三、填空题13．已知正实数a，b满足ab＝4，则eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值为________．14．设a，b，c为常数，且a>0，若不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(－2，3)，则不等式ax2－bx＋c>0的解集是________．15．函数f(x)＝9x＋31－2x的最小值是________．16．已知存在实数x，y∈(0，1)，使得不等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－x)<2y2－y＋t成立，则实数t的取值范围是________．

参考答案1．解析：由不等式x2－x－2＝(x－2)(x＋1)<0，解得－1<x<2，即A＝{x|－1<x<2}，根据补集的概念及运算，可得∁RA＝{x|x≤－1或x≥2}．故选D.答案：D2．解析：由eq\f(x－2,x＋1)≤0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(（x－2）（x＋1）≤0,x＋1≠0)))，解得x∈(－1，2]，则A＝{0，1，2}，B＝{x|－1<x<1}，所以A∩B＝{0}．故选B.答案：B3．解析：因为x>－2，所以x＋2>0，eq\f(1,x＋2)>0，利用基本不等式可得x＋eq\f(1,x＋2)＝x＋2＋eq\f(1,x＋2)－2≥2eq\r(（x＋2）·\f(1,x＋2))－2＝0，当且仅当x＋2＝eq\f(1,x＋2)即x＝－1时等号成立．故选D.答案：D4．解析：eq\f(1,a)＋3b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋3b))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋\f(4,b)))＝3＋12＋eq\f(4,ab)＋9ab≥15＋2eq\r(4×9)＝27，当且仅当eq\f(4,ab)＝9ab，即a＝eq\f(1,9)，b＝6时，等号成立，故eq\f(1,a)＋3b的最小值为27.故选D.答案：D5．解析：由题意，当x∈R时，不等式x2－2x－1－a≥0恒成立，故Δ＝(－2)2＋4(1＋a)≤0，解得a≤－2，故实数a的取值范围是(－∞，－2].故选A.答案：A6．解析：对于选项A，因为a>b>0，0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，而c的正负不确定，故A错误；对于选项B，因为a>b>0，所以ab>b2，故B错误；对于选项C，依题意a>b>0，所以a－b>0，eq\f(1,a－b)>0，所以a－b＋eq\f(1,a－b)≥2eq\r(（a－b）×\f(1,a－b))＝2，故C正确；对于选项D，因为a>b>0，a－1>b－1>－1，eq\f(1,a－1)与eq\f(1,b－1)正负不确定，故大小不确定，故D错误；故选C.答案：C7．解析：因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2b,2)))2－2ab＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－2b,2)))2≥0，所以2ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2b,2)))2，当且仅当a＝2b时等号成立，因为a2＋2ab＋4b2＝6，所以(a＋2b)2－2ab＝6，即(a＋2b)2－6＝2ab，所以(a＋2b)2－6≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2b,2)))2，即(a＋2b)2≤8，因为a，b为正实数，所以a＋2b>0，因此0<a＋2b≤2eq\r(2)，故a＋2b的最大值为2eq\r(2)，此时eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2),b＝\f(\r(2),2))))，故选B.答案：B8．解析：设切点为(x0，y0)，y＝ln(x＋b)的导数为y′＝eq\f(1,x＋b)，由切线的方程y＝x－a可得切线的斜率为1，令eq\f(1,x0＋b)＝1，x0＝1－b，则y0＝ln(1－b＋b)＝0，故切点为(1－b，0)，代入y＝x－a，得a＋b＝1，∵a、b为正实数，则eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)时，eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)取得最小值9，故选B.答案：B9．解析：由题设知，y＝x2－2ax＋b－1对应的Δ＝0，即4(a2－b＋1)＝0，故b＝a2＋1≥1，所以在数值－1，0，1，2中，b可取到的数为1，2.故选CD.答案：CD10．解析：A.由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B．当a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1时，ac＝bd，故错误；C．当c＝0时，ac2＝bc2，故错误；D．eq\f(c,a)－eq\f(c,b)＝eq\f(c（b－a）,ab)，因为b－a>0，c<0，ab>0，所以eq\f(c,a)－eq\f(c,b)<0，故正确，故选AD.答案：AD11．解析：对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥eq\f(1,2)，正确；对于选项B，易知0<a<1，0<b<1，∴－1<a－b<1，∴2a－b>2－1＝eq\f(1,2)，正确；对于选项C，令a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)，则log2eq\f(1,4)＋log2eq\f(3,4)＝－2＋log2eq\f(3,4)<－2，错误；对于选项D，∵eq\r(2)＝eq\r(2（a＋b）)，∴[eq\r(2（a＋b）)]2－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，∴eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，正确．故选ABD.答案：ABD12．解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x－eq\f(y,2))2＋(eq\f(\r(3),2)y)2＝1.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝cosθ，,\f(\r(3),2)y＝sinθ，))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ，,y＝\f(2\r(3),3)sinθ.))所以x＋y＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋eq\f(π,6))∈[－2，2]，所以A错误，B正确．x2＋y2＝(eq\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ)2＋(eq\f(2\r(3),3)sinθ)2＝eq\f(\r(3),3)sin2θ－eq\f(1,3)cos2θ＋eq\f(4,3)＝eq\f(2,3)sin(2θ－eq\f(π,6))＋eq\f(4,3)∈[eq\f(2,3)，2]，所以C正确，D错误．故选BC.答案：BC13．解析：由题设，eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(9,b))＝eq\f(6,\r(ab))＝3，当且仅当b＝9a＝6时等号成立．故答案为3.答案：314．解析：因为不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(－2，3)，所以不等式ax2＋bx＋c>0的解是x<－2或x>3，又不等式ax2－bx＋c>0，可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，可得－x<－2或－x>3，即x>2或x<－3，所以不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞).答案：(－∞，－3)∪(2，＋∞)15．解析：f(x)＝9x＋31－2x＝9x＋eq\f(3,32x)＝9x＋eq\f(3,9x)≥2eq\r(9x·\f(3,9x))＝2eq\r(3)，当且仅当9x＝eq\f(3,9x)，即x＝eq\f(1,4)时取等号．所以最小值为2eq\r(3).答案：2eq\r(3)16．解析：∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－x)＝(x＋1－x)(eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－x))＝2＋eq