四川省成都市彭州蒙阳中学2021年高三数学文月考试卷含解析

四川省成都市彭州蒙阳中学2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a是函数f（x）＝的零点，若0<x0<a，则f（x0）的值满足（

） A．f（x0）＝0

B．f（x0）<0

C．f（x0）>0

D．f（x0）的符号不确定参考答案：B略2.已知函数f（x）=cos（2x+φ），且f（x）dx=0，则下列说法正确的是（） A．f（x）的一条对称轴为x= B．存在φ使得f（x）在区间[﹣，]上单调递减 C．f（x）的一个对称中心为（，0） D．存在φ使得f（x）在区间[，]上单调递增 参考答案：D【考点】余弦函数的图象． 【分析】利用f（x）=cos（2x+φ），f（x）dx，求出φ值，然后找出分析选项，即可得出结论． 【解答】解：f（x）=cos（2x+φ），f（x）dx=sin（2x+φ）=sin（+φ）+sinφ=0， ∴tanφ=﹣，解得φ=﹣+kπ，k∈Z． 令2x﹣+kπ=nπ，n∈Z，可得x=（n﹣k）π+， 令（n﹣k）π+=π，=，矛盾； 令2mπ≤2x﹣+kπ≤π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[+mπ，+mπ]，不符合题意，k为偶数，单调减区间为[+mπ，+mπ]，不符合题意； 令2x﹣+kπ=π+mπ，x=+（m﹣k）=，∴=，矛盾； 令π+2mπ≤2x﹣+kπ≤2π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[+mπ，+mπ]，符合题意． 故选D． 【点评】本题主要考查定积分，余弦函数的图象的性质，属于中档题． 3.若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式不恒成立的是（）A．ab≤1 B．a2+b2≥2 C．+≤ D．+≥2参考答案：C【考点】基本不等式．【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式．【分析】根据基本不等式判断A，B，D恒成立，对于C，举例即可．【解答】解：对于A，2=a+b≥2，则ab≤1，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立；对于B，a2+b2≥2（）2=2，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立，对于C，令a=b=1，则不成立，对于D.+=≥=2，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立，故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式的应用问题，也考查了特殊值判断命题真假的问题，是基础题目．4.下列有关命题的说法正确的是A.命题“若”的否命题为：“若”；B.“”是“”的必要不充分条件；C.命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”；D.命题“若，则”的逆否命题为真命题；参考答案：D5.复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（

）A.－1 B.1 C.i D.－i参考答案：A【分析】根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】虚部为-1，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

6.27．i是虚数单位，=

(A)1+i

(B)1?i

(C)2+2i

(D)2?2i参考答案：B7.已知,则等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C

解析：8.设复数互为共轭复数，，则＝()A．－2＋i

B．4

C．－2

D．－2－i参考答案：B9.曲线的一条切线l与y=x，y轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为（）A．8π B．8(3﹣)π C．16(﹣1)π D．16(2﹣)π参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设直线l与曲线的切点坐标为（x0，y0），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线y=x求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值．【解答】解：设直线l与曲线的切点坐标为（x0，y0），函数的导数为．则直线l方程为，即，可求直线l与y=x的交点为A（2x0，2x0），与y轴的交点为，在△OAB中，，当且仅当x02=2时取等号．由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，则△OAB外接圆面积，故选C．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，同时考查正弦定理的运用，基本不等式的运用：求最值，以及化简整理的运算能力，属于中档题．10.等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．10参考答案：C【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是_________，53的“分裂”中最小的数是________.参考答案：921略12.如图：为的切线，为切点，割线过圆心，，则长为

.参考答案：试题分析：由切割线定理得，即，，易得，则，所以，又，所以．考点：切割线定理，相似三角形的判断与性质．13.设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2016，则不等式exf（x）＞ex+2015（其中e为自然对数的底数）的解集为．参考答案：{x丨x＞0}【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解．【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+2015，∴g（x）＞2015，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2016﹣1=2015，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，则不等式的解集为：{x丨x＞0}故答案为：{x丨x＞0}．14.一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为

.参考答案：试题分析：因为分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，故总体中的个体数为.考点：分层抽样.15.已知点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是．参考答案：≤a＜1或a≤【考点】圆的一般方程．【专题】直线与圆．【分析】化标准方程易得圆的圆心为M（a，a），半径r=a，由题意可得1≥≥sin∠MAT，由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．【解答】解：化圆的方程为标准方程可得（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2，∴圆的圆心为M（a，a），半径r=|a|，∴AM=，TM=|a|，∵AM和TM长度固定，∴当T为切点时，∠MAT最大，∵圆M上存在点T使得∠MAT=45°，∴若最大角度大于45°，则圆M上存在点T使得∠MAT=45°，∴=≥sin∠MAT=sin45°=，整理可得a2+2a﹣2≥0，解得a≥或a≤，又=≤1，解得a≤1，又点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1综上可得≤a＜1或a≤故答案为：≤a＜1或a≤【点评】本题考查圆的一般式方程和圆的性质，涉及距离公式的应用，属中档题．16.给出以下五个命题：①命题“”的否定是：“”.②已知函数的图象经过点，则函数图象上过点P的切线斜率等于.③是直线和直线垂直的充要条件.④函数在区间上存在零点.⑤已知向量与向量的夹角为锐角，那么实数的取值范围是.其中正确命题的序号是________.参考答案：②③④①命题“”的否定是,所以错误。②因为函数的图象经过点，所以有，所以，所以，，所以在点P处的切线斜率为，所以正确。③两直线的斜率分别为，若两直线垂直，所以有，即，所以，解得，所以③正确。④因为，，所以函数在区间上存在零点，所以④正确。⑤向量的夹角为若向量共线，则有，即，所以，此时有，向量夹角为0，要使的夹角为锐角，则有且。即，解得，所以实数的取值范围是且，所以⑤错误。所以正确的命题的序号为②③④。17.二项式展开式中的常数项为______．（用数字作答）参考答案：试题分析：因,令得,则常数项为.考点：二项展开式及通项公式．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:

(为参数)试判断他们的公共点个数参考答案：圆的方程可化为.其圆心为,半径为2.19.已知椭圆的上下焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。（1）求椭圆方程；（2）设，，B为椭圆在轴上方的顶点，当AC在直线上运动时，求外接圆的圆心Q的轨迹E的方程。（3）过点作互相垂直的直线，分别交轨迹E于M,N和R,Q.求四边形MRNQ的面积的最小值.参考答案：20.设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）（Ⅰ）求方程有实根的概率；（Ⅱ）求的分布列和期望.参考答案：（Ⅰ）

……5分（Ⅱ）可取的值为0，1，2

……1分

……3分012……1分

……2分21.已知．（1）当时，求上的值域；(2)求函数在上的最小值；(3)证明:对一切，都有成立参考答案：解：（1）∵=,x∈[0,3]

…………..

1分

当时，；当时，

故值域为

……………….3分（2），当，，单调递减，当，，单调递增．

………….

5分①，t无解；

……………

6分②，即时，；

……………….

7分③，即时，在上单调递增，；……8分所以．

……………….

9分

略22.在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在一次游戏中摸出3个白球的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为，求的数学期望．参考答案：（1），（2）

．

······3分

故在一次游戏中摸出3个白球的概率．

···········4分（2）的所有可能取值为0，1，2．的分布列为012········8分故的数学期望．

······10分（或：∵，∴，同样给分）考点：概率分布与数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概