高数B总复习题答案

word文档可自由复制编辑高数(B)复习题基本题:第八章向量代数、空间解析几何1、设向量，.则；；；。所用知识点：设向量则：1）；2）；3）2、以点A(1,2,3),B（-2,0,1），C（3,1,2）为顶点的三角形的面积为所用知识点：以为顶点的三角形面积：其中，3、yoz坐标面内的抛物线绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程是绕y轴旋转一周所得的旋转曲面方程是。所用知识点：见教材P25，或笔记。4、曲线在xoy坐标面上的投影曲线的方程是。所用知识点：1）消去在平面上投影方程2）消去在平面上投影方程3）消去在平面上投影方程。5、过点（1,-2,3）且与平面垂直的直线方程为。【解】：1）的法向量为，设直线的方向向量为，因为平面与直线垂直，故，故可取2）直线的对称式（点向式方程）为：所用知识点：1、直线方程：（1）对称式（点向式）：设直线的方向向量为，且过点，则直线方程为；（2）参数式：（为参数）；前面的系数即为方向向量的三个坐标（3）一般式：;2、平面与直线关系：设;1)；2）。6、过点（2,1，-3）且与直线平行的直线方程为。【解】：1）的方向向量为，设直线的方向向量为，因为直线与直线平行，故，故可取2）直线的对称式（点向式方程）为：。所用知识点：直线与直线关系：设；1）；2）。7、过点（-1,0,2）且与平面x+2y-3z=0平行的平面方程为。【解】:1）的法向量为，设所求平面的法向量为，因为平面与平面平行，故，故可取2）平面的点法式方程为：。所用知识点：1、（1）点法式：已知平面的法向量及平面上点，则该平面方程为：;（2）一般式：;注：三变量、、前面的系数、、即为平面法向量的三个坐标;若中有若干个为零（不全为零）则表示平面的特殊位置，具体参见教材。(3)截距式：设平面与三个坐标轴的交点坐标分别为，即与三坐标轴截距分别为、、，则该平面方程为：；2、平面与平面关系：设；1);2)；8、过点（0,-3,1）且与直线垂直的平面方程是.【解】：1）直线的方向向量为，设所求平面的法向量为，因为平面与直线垂直，故，故可取，2）平面的点法式方程为：。所用知识点：平面与直线的位置关系，同第5题.9、点（-1,1,0）到平面x+y-z+1=0的距离为。所用知识点：平面外一点到平面的距离：。。【解】：求直线的方向向量：1）2）3）平面的法向量：4）所用知识点：1、直线的一般式化为对称式将直线的一般式化为对称式的先写出平面的法向量：;求出直线的方向向量；在上述方程中可令或或为一常数（一般令为“0”比较方便），将方程化为二元一次方程求得另二个变量的解，由此得到直线上一点；从而得到直线的对称式方程为：。2、平面与直线夹角：。第九章多元函数微分法及其应用1、函数的定义域是。2、。所用知识点：型等价无穷小替换【解】：所用知识点：直接代入法所用知识点：型含根式利用根式有理化。3、设，则【解】：所用知识点：；4、已知函数，则。【解】：1）2）5、设则2.【解】：6、。【解】：1）2）所用知识点：若，则；若，则。【解】：1），其中2）所用知识点：抽象函数的偏导数。8、二元函数在点处满足的关系为（B）A)可微可导连续B)可微可导，或可微连续，但可导不一定连续C)可微可导连续D)可导连续，但可导不一定可微所用知识点：多元函数的极限、连续、偏导数、全微分之间关系。9、曲线在t=1处的切线方程为,法平面方程为【解】：1）曲线的切向量切点为：2）切线方程为法平面：。所用知识点：空间曲线在时对应的点处1）切线方程：2）法平面方程：10、曲面在点(1，-1，3)处的法线方程为切平面方程为【解】：1）设曲面的法向量曲面在点(1，-1，3)处的法线方程为2）切平面方程为：。所用知识点：曲面上一点处1）切平面方程：法线方程：11、求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。【解】：1）先求方向的方向余弦：2）3）12、函数在点处的方向导数为该点处各方向导数中的最大值是；方向是；最小值是；方向是【解】：1）。2）任一方向的方向余弦为3）函数在点处的沿任一方向的方向导数为4）函数在点处梯度：沿梯度方向方向导数取得最大值，最大值为沿梯度的反方向方向导数取得最小值，最小值为所用知识点：教材P102，P1041）函数在点沿着方向的方向导数为：其中：是方向的方向余弦。2）函数在点处梯度3）函数在某点取得最大方向导数的方向即是函数在该点的梯度方向。最大值为第十、十一章积分学1、所用知识点：，其中为积分区域D的面积。2、所用知识点：，其中为积分区域的体积。3、二次积分交换积分次序后为。【解】：所用知识点：先由已知积分类型画出积分区域图，然后再交换。4、二次积分化为极坐标形式的二次积分为。【解】：1）2）3）所用知识点：先由已知积分类型画出积分区域图，然后化为极坐标。5、设L为连接点（0,1）与点（1,0）两点的直线段，则【解1】:1)L方程为：2）将L方程代入被积函数中得：【解2】：:1)L方程为：2）将L方程代入被积函数中得：所用知识点：此为第一类曲线积分，计算公式见教材P187--1896、设曲线L为整个圆周取正向，则曲线积分（D）【解】：1）利用格林公式：2）所用知识点：格林公式，L：取正向。是封闭曲线所围成的区域。7、设是不经过原点的任何曲线，为了使曲线积分与路径无关，则。【解】：1）2）因为积分与路径无关，故8、表达式为某一函数的全微分的充要条件是（D）【解】：所用知识点：与路径无关是某一函数全微分。第十二章级数1、级数的和为3.【解】：（首项为1，公比为2/3）所用知识点：几何级数;2、判定下列级数的敛散性：A)，故发散。B)为级数，收敛。再由收敛级数性质1也收敛。C）由级数收敛必要条件：发散。D)条件收敛。所用知识点：1）几何级数;2）P-级数3）交错级数4）级数收敛的必要条件：级数收敛注：如级数发散.3、若级数收敛，则。【解】：因为级数收敛，故由级数收敛的必要条件：4、若幂级数在处收敛，则此级数在点处的收敛性为：绝对收敛。若幂级数在处发散，则在处敛散性为：发散。所用知识点：阿贝尔定理5、若幂级数的收敛半径R=2，则此级数在点处的收敛性为：发散。所用知识点：收敛半径与收敛区间定义。6、幂级数的和函数为:【解】:所用知识点：7、函数项级数的收敛域为：。【解】:,因为故：，收敛域为：所用知识点：二、计算题：向量、空间解析几何：求过点（1，-2,3）且与直线垂直的平面方程.【解】：1）先求直线的方向向量：设所求平面的法向量为，因为平面与直线垂直，故，故可取2）平面的点法式方程为：所用知识点：参见第八章填空题8，填空题10过直线且与平面垂直的平面方程.【解】：1）设过直线的平面束方程为对应的法向量为：2）已知平面的法向量为3）因为两平面垂直，故4）将代入5）经验证不是所求平面（因为）故所求平面为：所用知识点：平面束方程：若直线L为：，则称为通过直线L的平面束方程。注:1)通过直线L的任何平面（除平面外）都包含在方程所表示的一族平面内2）解题时也应对平面是否也符合解题要求加以验证，以确定是否也为所求平面。求过点（-2,1,2）且与两平面都平行的直线方程.【解】：1）因所求直线与均平行，故直线的方向向量与平面的法向量垂直，即，故可以取2）所求直线方程为所用知识点：1）直线与平面的关系2）设向量则与，同时垂直的向量可以取为为：求过点（2,1，-1）且与平面平行，又与直线相交的直线方程.【解】：1）设所求的直线方程的对称式为：，因与平面平行故2）又与直线相交，故有由所求的直线方程为所用知识点：直线与直线相交则与必共面，即【解2】：1）求出过点（2,1，-1）且与平面平行的平面：2）求出直线（直线的参数式）与平面的交点：将代入中求得，从而得交点为3）连接点（2,1，-1）与的直线即为所求的直线：（二）微分学：1、设，求.【解】：1）2）2、设，（），求.【解】：1）令，其中2）3）3、设【解】：1）将代入2）利用一元复合函数的求导公式：4、设函数是由方程：所确定的隐函数，求.【解】：1）设2）所用知识点：二元隐函数：由方程确定，则当5、求函数的极值.【解】：1）得驻点：2）再求二阶导数在处非极值；在处，又，所以函数在有极大值；在处，又，所以函数在有极小值；在处不是极值。（三）积分学：1、计算二重积分：，其中D由直线x=2,y=x及曲线xy=1所围成的闭区域.【解】：1）画图确定积分区间：2）2、计算二重积分：【解】：1）交换积分次序：2）3、计算二重积分：，其中【解】：1）画图，积分区域为上半个圆，故化为极坐标：2）3）4、设函数在闭区域上连续，且求函数.【解】：1）设，则2）故计算三重积分，其中由所围成的闭区域【解】：1）画图，积分区域在平面上的投影区域为由曲线围成的闭区域，故有2）所用知识点：三重积分的投影法（先一后二）6、计算三重积分:。其中是由平面及与平面所围成的闭区域。【解】：1）2）因为同理3）所用知识点：三重积分的投影法（先一后二）7、计算三重积分，其中.【解1】：投影法1）画图，积分区域在平面上的投影区域：围成的闭区域，故三重积分采用柱面坐标有，2）【解2】:1），其中是竖坐标为的平面截所得到的一个平面闭区域：2）所用知识点：三重积分的截面法（先二后一），见上课笔记。8、计算曲线积分，其中L为抛物线上从点O（0,0）到点A（1,1）的一段弧.【解】：1）将路径方程L直接代入曲线积分中。2）所用知识点：此为第二类的曲线积分，故当路径方程及被积函数很简单时可采用直接代入法。9、计算曲线积分：其中是曲线上起点为A终点B的一段弧。【解】：1）显然，当时，恰巧对应曲线的起点A与终点B。2）将路径方程：直接代入所用知识点：此为第二类的曲线积分，故当路径方程为参数形式时采用直接代入法。10、计算曲线积分：，其中L是从点（0，0）到点（4，0）的上半圆周。【解】：1）；因为，故采用添线利用格林公式。2）添线：：，（注意方向）则围成封闭的有向曲线，方向为顺时针方向。3）利用格林公式：4）。所用知识点：1）当路径为圆弧或较复杂的曲线，且被积函数较为复杂时，则算出若，则添线利用格林公式；若，则积分与路径无关，另取路径。2）格林公式：，L：为封闭曲线取正向。是封闭曲线所围成的区域。如是单连通区域，则逆时针方向为正向。如取顺时针方向，则在公式前面添上“-”号11、计算曲线积分,其中L为余弦曲线上自的弧段.【解】：1）；因为，故曲线积分与路径无关。另取路径：其中；2）12、求a,b的值，使曲线积分在整个xoy面内与路径无关。并计算的值.【解】：1）；因为曲线积分在整个xoy面内与路径无关，故。2）因为曲线积分在整个xoy面内与路径无关，故另取路径如下：，其中；所用知识点：曲线积分与路径无关的充要条件为：曲线积分与路径无关13、验证在整个xoy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个函数u(x,y).【解】：1）因为，故在整个xoy平面内是某一函数u(x,y)的全微分。2）取xoy平面内一点，则可求得一个函数如下：因为，故上述积分与路径无关，另取路径：其中；3）故得一（显然即是函数的全微分）。所用知识点：下列条件互为充要条件积分与路径无关是某一函数的全微分（是封闭的有向曲线）14、计算曲面积分，其中位于第一卦限的部分，取上侧。【解】：1）将投影至平面，投影区域为：2）将方程改写为：，代入被积函数中，同时注意：取“上侧”3）所用知识点：1）曲面的方程：，为曲面在面上的投影区域，则，（上侧取“+”，下侧取“”）2）曲面的方程：，为曲面在面上的投影区域，则（前侧取“+”，后侧取“”）3）曲面的方程为，为曲面在面上的投影区域，则（右侧取“+”，左侧取“”）15、计算曲面积分，其中为曲面位于xoy面上方的部分，取下侧.【解】：1）；2）添面，取“上侧”，则构成封闭曲面，并取“内侧”可利用高斯公式：因为构成封闭曲面，并取“内侧”，故取“-”号。3）因为在平面上的投影区域为,并取上侧，故4)所用知识点：1)若常数，且添一张面可以围成封闭的曲面，则可考虑利用高斯公式。2）高斯公式：设空间闭区域由光滑的曲面所围成，函数在上具有连续偏导数，则其中是的整个边界曲面的外侧。（四）级数：1、判别级数的敛散性.【解】：1）此为正项级数，采用比值法：2）3）因为故由正项级数的比较法：收敛。所用知识点：正项级数比值审敛法:设正项级数满足,,则有（1）收敛;（2）发散;（3）可能收敛也可能发散.注:当一般项含有时考虑用比值法。2、判别级数的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛？【解】：1）2），可取因为，故由正项级数比较法的极限形式与具有相同的敛散性。因为为的级数，收敛。再由收敛级数的性质：乘上不为0的常数仍收敛收敛收敛。3）收敛，且为绝对收敛。3、判别级数的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛？【解】：1）2），而发散（为的级数，发散），故。2）因为为交错级数，且（1），（2）故由莱布尼茨判别法：收敛。由1）与2）知收敛且为条件收敛。所用知识点：1）正项级数比较法的极限形式：设正项级数与的通项满足则（1）当与具有相同敛散性;（2）当时收敛收敛;当时发散发散.2）交错项级数的莱布尼兹审敛法:设交错项级数满足：则交错项级数收敛.3、求下列幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域.所用知识点：幂级数的收敛半径，收敛区间与收敛域：收敛半径的求法:设为幂级数的一般项,求,a)若,则,收敛区间为b)若,则,级数仅在处收敛.c)除上述两种情况外,可设,解得,得收敛半径与收敛区间.d)将代入中得二常数项级数，由常数项敛散性的判别法判别这二级数的敛散性从而得到收敛域。（1）【解】：1）收敛区间为，收敛半径为2)时，，收敛。时，，发散。故收敛域为：，（2）【解】：1）收敛区间为，收敛半径为2）时，收敛时，收敛故收敛域为：（3）【解】：1）收敛区间为，收敛半径为。2）时，，收敛。时，，发散。故收敛域为4、求幂级数的和函数.【解】：1）先求收敛域：收敛区间为时，，收敛。时，，收敛。故收敛域为：2）设，故，所用知识点：幂级数的性质:见教材P276性质3求幂级数在收敛域内的和函数求在收敛域（-1,1）上的和函数，并求级数的和.【解】：1）设2）故，3）所用知识点：幂级数的性质:见教材P276性质2求幂级数在收敛域内的和函数将函数展开成x的幂级数，并指明收敛域.【解】：1）2）因为故，3）收敛域为：7、将函数展开成的幂级数，并指出收敛域。[解]：1）而2），3）将函数展开成x的幂级数，并指明收敛域.【解】：1）2），3）