二次函数中存在性问题

二次函数中存在性问题典例分析例1.已知，如图，已知抛物线歹=ax2+bx<3与x轴交于A(3,0),B(1,0)两点，与歹轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点(不与点B重合)，MN工AC于点N,连接CM.(1)求抛物线的解析式；(2)当MN=1时，求点N的坐标；(3)是否存在以点C,M,N为顶点的三角形与4ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.否用餐例2.如图，已知抛物线歹=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的右侧)，且与歹轴交于点。，若OA=。。，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为1和3,点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD〃歹轴，交AC于点D.(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当4ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.同步练习：1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax24ax+1与x轴正半轴交于点A和点B，与y轴交于点。，且OB=3。。，点P是第一象限内的点，联结BC,APBC是以BC为斜边的等腰直角三角形.(1)求这个抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标.，一，… … 32、如图1,经过原点。的抛物线y=ax2+bx(aW0)与x轴交于另一点A(—,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).(1)求这条抛物线的表达式;(2)在第四象限内的抛物线上有一点。，满足以B，O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标;(3)如图2,若点M在这条抛物线上，且NMBO=ZABO,在(2)的条件下，是否存在点尸，使得△POC-△MOB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案例1、答案：(1)：抛物线ya=ax2+bx<3与x轴交于A(3,0),B(1,0)两点，0=9a+3b-下得0=a—b—V3,亘解得:2v3

x解得:2v3

x32<3― 3(2)・・・严史X2—空X—v33 3・,.当x=0时，y=―、3,AC(0,—、；3)，・•・OC=<3,VA(3,0),AOA=3,AZOAC=30°,・「MN=1,ZMNA=90°,在Rt△AMN中，AN=<3,过点N过点N作NH±x轴于点H,ANHANH=雪3AH=-,23 、3、当点M在点A左侧时，N的坐标为（7,—）,22当点M在点A右侧时，N的坐标为（/，一）,综上，点N的坐标为（3,力）或（1,方3）(3)设M点为(x,0),

则由(2)可得AB=4,BC=、:'12+43/=2,AC={32+\3/=2X5,•「BC2+AC2=AB2,AAABC是直角三角形，NBCA=90°,又由2S =AMXOC=ACXMN/c^ma得：MN2V3\Kx-3)2<3_v;(x-3)2得：MN2V3・♦・若以点C,M,N为顶点的三角形与^ABC相似，即6x=6,所以x=1,此时M为(1,0)；的典—史即^32—…②：c.处,即f ,即x2+3x=0,解之可得：x=0或x=3,・•・M为(0,0)或(3,0),综上所述，存在以点C,M,N为顶点的三角形与4ABC相似，且M的坐标为(1,0)或(0,0)或(3,0).分析：(1)把A、B两点坐标代入解析式求出a、b后可以得解；(2)过点N作NH±x轴于点H,则根据题意可以得到NH及AH的值，再分点M在点A左侧和点M在点A右侧两种情况分别写出点N坐标即可；(3)由题意可得4ABC为直角三角形，所以若以点C,M,N为顶点的三角形与4ABC相MNCMMNCM似，则=或二 ，由这两种情况分别求出M的坐标即可.CBABCAAB例2、答案：(1)二♦一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为1和3,AOA=OC=3,OB=1,・..点C(0,3),设二次函数的表达式歹=a(x1)(x3),Aa(01)(03)=3,.Aa=1,Ay=(x1)(x3),.,.抛物线解析式为：y=x24x+3；(2)分两种情况：①如图1,当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合，则P1(1,0),②如图2,当点A为^APD2的直角顶点，'：OA=OC,ZAOC=90°,：.ZOAD2=45°,当/尸2=9°。时，N。/尸2=45。，.•・4。平分尸2。又\•尸2。2〃》轴，•••尸2。2，/。，・•・点尸2,2关于1轴对称，设直线4。的函数关系式为歹=区+4（3k+b=Q由题意得：〈7 ° ,[b=3%=—1・•・Lo，，直线/C的解析式为：歹=x+3,[b—5,二。2在歹=X+3上，尸2在V=X24x+3上，.•.设。2（X，X+3）,尸2（X，X24x+3）,（x+3）+（x24x+3）=0,.*.X25x+6=0,.*.x1=2,x2=3（舍）,.,.当x=2时，歹=X24x+3=224X2+3=1,・・・尸2的坐标为尸2（2^1），综上所得尸点坐标为尸[（1，0）,p2（2,1）；（3）分两种情况考虑:①以/尸为边构造平行四边形，平移直线/尸交x轴于点£,交抛物线于点方,•・设点F的坐标为（x,1）,二x24x+3=1,解得：x尸222,x2=2+q2,••点F的坐标为（2<2,1）和（2+、2,1）；②以AP为对角线进行构造平行四边形，・•点A,E的纵坐标为0,••点F的纵坐标为1,此时点P,F重合，•.不存在这种情况，舍去.综上所述，符合条件的F点有两个，即（222,1）和（2+%.：2,1）.分析：（1）先求出点C坐标，代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解.同步练习：1、解：（1）二•抛物线>=以2—4以+1.•.点C的坐标为（0,1）1「OB=3OC.•.点B的坐标为（3,0）.，.9a—12a+1=0/.a=3（2）如图，过点P作PMLy轴，PN±x轴，垂足分别为点M,N.VZMPC=90°ZCPN,ZNPB=90°ZCPN,・，./MPC=ZNPB在^PCM和^PBN中，'/PMC=ZPNB/MPC=/NPBPC=PB•・△PCM^APBN,：.PM=PN.设点P(a,a)./PC2=PB2,:.a2+(a一1)2=(a-3)2+a2,解得a-2, p(2,2).该抛物线对称轴为x-2,B(3,0),.A(1,0).P(2,2),A(1,0),B(3,0),C(0,1),,PO-2<2,AC=2、；2,AB-2.OC1/CAB-135。，/POB-45。，在RtABOC中，tan/OBC= --,' ' OB3/OBC牛45。,/OCB<90。,在RtAOAC中，OC-OA,/OCA=45。,/ACB<45。,当AOPQ与AABC相似时，点。只有在点O左侧时:(1)当ACOP2(1)当ACOP22*2——二——时，. ABOQ2OQ，•二OQ-4,.Q(-4,0)当ACOQ时.v2_OQ.(2)当AB=O时，…T- -2…Q(-2,0)当点Q在点A右侧时，综上所述，点Q的坐标为（一4,0）或（一2,0）2、解:（1）VB（2，力在直线歹=x上，・•・/=2，・・・B（2，2），把AB两点坐标代入抛物线解析式可得]9a+3b=0，[4 2・••抛物线解析式为歹=2x23x；,,・•点C是抛物线上第四象限的点，•・可设C(t,2123t),则E(t,0),D(t,t),•・OE=t,BF=2t,CD=t(2123t)=212+41,1 1二Sn«=Sc+SSr=CD-OE+-CD•BF△OBC △CDO△CDBn n=—(212+41)(t+2t)=212+41,「△OBC的面积为2,・・.212+41=2,解得11=12=1,AC(1,1)；「B(2,2),AZAOB=ZNOB=45在^AOB和^NOB中

/AOB=/NOBOB=OBNABO=NNBO3•・△AOB/△NOB(ASA),・♦.ON=OA=-,233•・N(0,5),・•.可设直线BN解析式为歹=kx+-,3 1 1 3把B点坐标代入可得2=2k+-，解得k=1,・•.直线BN的解析式为歹=-x+-,3x———联立直线BN联立直线BN和抛物线解析式可得45y― 3245前）VC(1,1),,NCOA=NAOB=45°,且B(2,2),,OB=2%2,OC=J2,「△POCs^MOB,•OOM=OC=2,NPOC=NBOM,当点P在第一象限时，如图3,过M作MG±歹轴于点G，过P作PH±x轴于点H,VNCOA=NBOG=45°,,NMOG=NPOH，且NPHO=NMGO,,△MOGs△POH,OMMGOG— — =2OPPHOH45—),45323245323,MG=-,81 3 1 45,PH=—MG=—,OH=—OG=—,2 16 2 6445 3；•P( ,――).6416根据对称性可知，作点P