微c-习题课及样卷第九周

【思路分析】不定型的极限，法则 lim limsin2xln(12x)limsin2xln(12x) x0ln(1 sin2x x0sin2xln(1 2x 2cos2x 12xlim(12x)cos2x 4x(1lim(12x)cos2x1lim2cos2x2(12x)sin2x 【解析】limln(12x2)lim 21，故k2

x(1e x0x 【解】因为1cosx~x2x02limexsinxx(x2

limexsinxx(x2

2limexsinxx(x2 cosxcos2

cosx(1cos

2limexsinxexcosx3x21lim(2excosx6x)【答案】e2

ln(1cosx【解析】lim(1cosx)lnxlim ln 22

limln(1cosx)

sin1cosxlimxsin

lim ln1所以lim(1cosx)lnxe2

x

x01cos x01212cosxx 求极限lim3 1.x0x

2cosx 2cosx12cosx xln3 ln 解：lim 1.=lim

3x0x

x sinlimln cos ln3lim2cos1

x sinx2x02cos 求极 1lim x1x

lnx

1limxlnxx x1x lnx x1(x1)ln1lim ln lim x 1x1lnxxx

x11 x 1 xlnxx x1x lnx x1(x1)ln(1xlimxlnxx1limln limx11。 (x1) x12(x x12(x f(xx0f(0)1,f(0)2n 11f1limnsinn n 解：考虑极lim

xsinx x0 x0 sinx

1

lim x0x2(1f x0x2(1f 6x01f 6f sin6xxf(x) 6f假设极限lim

0，求极限

x0 sinx sin6x 3解：由熟知极限lim 可知 3

limsin6x6x16336 sin6x6x6xxf(x) 6f0lim 36lim 。因此

x06fx

求极限lim3cosx1x00

111x2o(x22到3cosx

01，将 x2o(x2)视为中间变量u12考虑到(1u)1/311u1u2o(u2 1 1 3cos3cos

x2o(x2)

o(x2

x2o(x23 9

11x2o(x26另外注意到2x1exln21~xln2tanxxo(xlim3cosx1x

11x2o(x2)1x

5x2o(x2 x0(2x1)tan (xln2)(x x0x2ln2o(x2 6lnabc时exax2bxcx2高的无穷小量xex

bxc)1x ox2(ax2bxxxa1,b1,c1i)

xx1(lnx1) cosxex2/(ii)lim 1 xxx1(lnx1)

xx(lnx1)x 。显然原极限等于极限

xx(lnx1)o1

1

1L’Hospital[xx(lnx1)1)]xx1exlnx(lnx1)(lnx1)11 (1

1limxx1(lnx1xlimxlimxx(lnx1)12)2 1 1x x x2/ x

1 x2cosx12!4!

)； 122!2

o(x4cosxex2/ 1x x 于是 o(x4) ，x0x x4

因此

cosxex2/x

【答案】yxyyx为方程sinxyln(yxx0所确定的隐函数sin(xy(x))ln(y(x)x)xcos(xy)(yxy)y11yycos(xy)1y yxcos(xy) yyx【解析】y3cos3x9xsin )3，故法线的斜率为k，法线方程3y3 1(x 【答案】2fxfxf(1)2.yfgxyf(g(x))g(yf(g(x))(g(x))2f(g(x))g(由已知条件x0yx00yx0f(a)gx0.f(a0yx00f(g(x的极大值点.【答案】yx22lnx1)的定义域为(0,

x0y4xlny0yx22lnx1)x01.yx040x01yx22lnx1)的极小值点.Fx1x)e2x1xF(x)2(1x)e2xe2xF(x)F(x)0,x0Fxx0时为严格单调增函数。而F(0)0，所F(x) x故当x0时F(x)为严格单调增函数.又因为F(0)0，所以F(x) x0，即当x0