2022年四川省广元市中考数学试卷

第17页（共17页）2022年四川省广元市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）1．（3分）若实数a的相反数是﹣3，则a等于（D）A．﹣3 B．0 C． D．32．（3分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（B）A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱3．（3分）下列运算正确的是（C）A．x2+x＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2 C．3y•2x2y＝6x2y2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y24．（3分）如图，直线a∥b，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（C）A．20° B．30° C．40° D．50°5．（3分）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（B）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝+106．（3分）如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（D）A．平均数是6 B．众数是7 C．中位数是11 D．方差是87．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（A）A．25° B．35° C．45° D．65°8．（3分）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（A）A． B．3 C．2 D．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，∵BD＝CB＝6，∴AD＝AB﹣BC＝4，由作图可知EF垂直平分线段AD，∴AF＝DF＝2，∵∠A＝∠A，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AE＝，故选：A．9．（3分）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（B）A． B． C． D．【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故选：B．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（C）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，所以（1）正确；∵对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴b+4a＝0，∴b＝﹣4a，∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，∵a＜0，∴4a+c﹣2b＜0，∴4a+c＜2b，故（2）不正确；∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正确；∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣﹣2|＝，|﹣2|＝，∴y1＜y2＜y3，故（4）错误；当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c，∴4a+2b+c≥am2+bm+c，4a+2b≥m（am+b）（m为常数），故（5）正确；综上所述：正确的结论有（1）（3）（5），共3个，故选：C．二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）．12．（4分）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为3.4×10﹣10．13．（4分）一个袋中装有a个红球，10个黄球，b个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么a与b的关系是a+b＝10．14．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为．【解答】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，∵将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，∴OC＝CD＝r，∴OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠D＝60°，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴（）2+（r）2＝r2，解得：r＝2，∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，∴△ACD≌△BCO（SAS），∴阴影部分的面积＝S扇形ADO＝×π×22＝．故答案为：．15．（4分）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是﹣4．【解答】解：过B作BD⊥OA于D，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴设B（﹣m，n），点B在第二象限内，∵△OAB的面积为6，∴OA＝，∴A（﹣，0），∵点C是AB的中点，∴C（﹣，），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴﹣•＝﹣mn，∴﹣mn＝﹣4，∴k＝﹣4，故答案为：﹣4．16．（4分）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为（24﹣12）cm．【解答】解：当点D沿DA方向下滑时，得△E'C'D'，过点C'作C'N⊥AD于点N，作C'M⊥AF于点M．∵DE＝12cm，CD＝CE，∠DCE＝90°，∴CD＝CE＝6cm，∵∠MAN＝∠C′NA＝∠C′MA＝90°，∴四边形AMC′N是矩形，∴∠MC′N＝∠D′C′E′＝90°，∴∠D′C′N＝∠E′C′M，∵C′D′＝C′E′，∠C′ND′＝∠C′ME′＝90°，∴△C′ND′≌△C′ME′（AAS），∴C′N＝C′M，∵C′N⊥DA，C′M⊥AF，∴AC′平分∠BAF，∴点C在射线AC′上运动，当C′D′⊥AD时，AC′的值最大，最大值为12cm，当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2CC′＝2（12﹣6）＝（24﹣12）cm．故答案为：（24﹣12）．三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）17．（6分）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．解：原式＝2×+﹣2+1﹣2+＝+﹣2+1﹣2+4＝3．18．（8分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．解：原式＝÷＝•＝，解第一个不等式得：x＜3，解第二个不等式得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，∵x为整数，∴x的值为﹣1，0，1，2，∵x≠0，x+1≠0，（x+1）（x﹣1）≠0，x（x﹣1）≠0，∴x只能取2，当x＝2时，原式＝＝．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．（1）证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形；（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．20．（9分）为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）八年级（1）班学生总人数是40人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为90°；（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．解：（1）八年级（1）班学生总人数是：12÷30%＝40，选择C的学生有：40﹣12﹣14﹣4＝10（人），扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为：360°×＝90°，故答案为：40，90°，补全的条形统计图如右图所示；（2）2500×＝1625（人），答：估算该校参与体育类和美术类社团的学生有1625人；（3）设男生用A表示，女生有B表示，树状图如下所示：由上可得，存在12种可能性，其中恰好选中1名男生和1名女生的可能性有8种，故恰好选中1名男生和1名女生的概率是＝．21．（9分）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．解：过点A作AH⊥DE，垂足为H，设EH＝x米，在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，∴AH＝EH•tan45°＝x（米），∵CE＝80米，∴CH＝CE+EH＝（80+x）米，在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝40+40，经检验：x＝40+40是原方程的根，∴AH＝EH＝（40+40）米，在Rt△AHD中，∠ADH＝45°，∴DH＝＝（40+40）米，∴EF＝EH+DH﹣DF＝（80+70）米，∴隧道EF的长度为（80+70）米．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3．（1）求k和b的值；（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．解：（1）∵函数y＝x+b的图像与函数y＝（x＞0）的图像相交于点B（1，6），∴6＝1+b，6＝，∴b＝5，k＝6；（2）点A′不在函数y＝（x＞0）的图象上，理由如下：过点C作CM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过A'作A'G⊥x轴于G，∵点B（1，6），∴ON＝1，BN＝6，∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，∴＝＝，∴＝，∴CM＝BN＝4，即点C的纵坐标为4，把y＝4代入y＝x+5得：x＝﹣1，∴C（﹣1，4），∴OC'＝OC＝＝＝，∵y＝x+5中，当y＝0时，x＝﹣5，∴OA＝5，由旋转的性质得：△OAC≌△OA'C'，∴OA•CM＝OC•A'G，∴A'G＝＝＝在Rt△A'OG中，OG＝＝＝，∴点A'的坐标为（，），∵×≠6，∴点A′不在函数y＝（x＞0）的图象上．23．（10分）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？解：（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，依题意得：，解得：．答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．（2）设科技类图书的购买数量为m本，购买这两种图书的总金额为w元，则文学类图书的购买数量为（100﹣m）本．①当30≤m≤40时，w＝38m+26（100﹣m）＝12m+2600，∵12＞0，∴w随m的增大而增大，∴2960≤w≤3080；②当40＜m≤50时，w＝[38﹣（m﹣40）]m+26（100﹣m）＝﹣（m﹣26）2+3276，∵﹣1＜0，∴当m＞26时，w随m的增大而减小，∴2700≤w＜3080；③当50＜m≤60时，w＝[38﹣（50﹣40）]m+26（100﹣m）＝2m+2600，∵2＞0，∴w随m的增大而增大，∴2700＜w≤2720．综上，当30≤m≤60时，w的最小值为2700．答：社区至少要准备2700元购书款．24．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．（1）证明：连接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝BC，∴∠DCE＝∠CDE，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝4×13＝52，∴AC＝2，∴⊙O的半径为．25．（12分）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为135°；（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），∴CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，∴∠BCD＝90°﹣α，∵CD＝CA，CD＝CB，∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°+，∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝90°﹣+45°+＝135°，故答案为：135°；（2）①依题意补全图形如图，由旋转得：CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，∴∠BCD＝90°+α，∵CD＝CA，CD＝CB，∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°﹣，∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝90°﹣﹣45°+＝45°；②CE＝2BE﹣AD．证明：过点C作CG∥BD，交EB的延长线于点G，∵BC＝CD，CE平分∠BCD，∴CE垂直平分BD，∴BE＝DE，∠EFB＝90°，由①知，∠ADB＝45°，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，∴∠FEB＝45°，∵BD∥CG，∴∠ECG＝∠EFB＝90°，∠G＝∠EBD＝45°，∴EC＝CG，EG＝EC，∵∠ACE＝90°﹣∠ECB，∠BCG＝90°﹣∠ECB，∴∠ACE＝∠BCG，∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴AE＝BG，∵EG＝EB+BG＝EB+AE＝EB+ED﹣AD＝2EB﹣AD，∴CE＝2BE﹣AD．26．（14分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+b