《导数的计算》素材

《导数的计算》教学素材（1）【考纲下载】1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．2．几种常见函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosx[f′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)[3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\f(fx,gx)′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值．2．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点eq\a\vs4\al(Px0)，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点．1．下列求导运算正确的是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2sinx解析：选Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)；(3x)＝3xln3；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.2．若f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－4B．－2C．2D．4解析：选B∵f(x)＝ax4＋bx2＋c，∴f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，∴4a＋2b＝2，∴f′(－1)＝－4a－2b＝－2.3．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为()A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝0解析：选A∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.4．曲线y＝ax2－ax＋1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则a＝()\f(1,2)B．－eq\f(1,2)\f(1,3)D．－eq\f(1,3)解析：选B∵y＝ax2－ax＋1，∴y′＝2ax－a，∴y′|x＝0＝－a.又∵曲线y＝ax2－ax＋1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，∴(－a)·(－2)＝－1，即a＝－eq\f(1,2).5．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.解析：由题意知f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3，∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.答案：2易误警示(十一)导数几何意义应用的易误点[典例]若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，则a等于()A．－1或－eq\f(25,64)B．－1或eq\f(21,4)C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64)D．－eq\f(7,4)或7[解题指导]由于点(1,0)不在曲线y＝x3上，故点(1,0)不是切点，因此应设直线与曲线y＝x3相切于点(x0，xeq\o\al(3,0))，通过直线与y＝x3相切求得切点坐标，然后再求a的值．[解析]设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，xeq\o\al(3,0))，所以切线方程为y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0)，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝eq\f(3,2)，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－eq\f(25,64)，当x0＝eq\f(3,2)时，由y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)与y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－1，所以选A.[答案]A[名师点评]1.如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B.2．解决与导数的几何意义有关的问题时，应重点注意以下几点：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；(3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提．已知曲线f(x)＝2x3－3x，过点M(0,32)作曲线f(x)的切线，则切线的方程为________________．解析：设切点坐标为N(x0,2xeq\o\al(3,0)－3x0)，由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值，而