第三章函数增减性判别与极值

第四 函数增减性的判别与函数的极 与函数的极三章 函数的增减性的中值理定 函数的极理数 函数的最的-1第四 函数增减性的判别与函数的极yyf(yyf(BAoabxyAyf(Boabx中 f(x) f(x)理 定理1（函数单调的充分条件）设函数yf(理导与在[a,b]上连 在(a,b内可导导 如果在(a,b内f(x)0，那末函数yf(x)的应[a,b]用(2)如果在(a,b)内f(x)0，那末函数y f(x)[a,b]上单调减少-2第四 函数增减性的判别与函数的极 x1,x2[a,b],且x1x2,应用拉氏定理,第 f(章

)f(

)f()(

(

x2 ∵x2x1定 若在(a,b，f(x) 则f()定理导 f(x2)f( yf(x)在[a,b]上单调增加导数 若在(a,b)，f(x) 则f()应2 f(2

)f(

).yfx)在[a,b]上单调减少-3第四 函数增减性的判别与函数的极 讨论函数yexx的单调性第章 解∵yex1.又∵D:(,).章值中在(）,y0,函数在(0]上是单调值定与理在0),y0,函数[0,+)上是单调增加与导的数注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数用号来判别一个区间上的单调性．的-4第四 函数增减性的判别与函数的极三第定义三则该区间称为函数的单调区间 值界点．与数应理方法:用方程fx)0的根及fx)不存在的点来划分函数fx),然后判断区间内导数的的符号.与数应用-5第四 函数增减性的判别与函数的极例2确定函数fx2x39第12x3的单调区间章 ∵D(,章 f(x)6x218x126(x1)(定 解方程f(x)0 x11,x2定

与 当x与导 1x2的

f(x)f(x)

在(,1]在[1,2]上单调减 2x时f(x)用

在[2,)上单调增单调增区间为(,1]，[2,).单调减区间为-6第四 函数增减性的判别与函数的极 x2 确定函数f(x x2三 解∵D(,三

章f(x)中x

(x 当x0时,导数不存在yy导 当x0导数 0x应用

fx) 在(,0]上单调减fx) 在[0,)上单调增单调减区间为(,0]，-7第四 函数增减性的判别与函数的极注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.第 例如,yx3,yx00,但在(,)上单调增加章 当x0时,试证xln(1x)成立 理 证设f(x)xln(1 则f(x)理与

1x ∵f(x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f(x)数应 ∵f(0)应用 xln(1x) 即xln(1-8第四 函数增减性的判别与函数的极 证

证明:当x0时,sinxx66令F(x)sinxx 则F(x)cosx1 ,F(x)sinx 定 F(x) F(x)在区间[0,)上是单调增加的与导因此，当x0时有FxF(00,Fx)数 [0, 上是单调增加的，因此，当x0时应 F(x)F(0) sinxx

6-9第四

函数增减性的判别lnxx20第 三

fx)lnxx2, f(e2)e20,f(1)10,f(e)4 e2中在区间(1,1);(1,e2e2值定0x1fx0,理

fx导(0,1)是单调增加的，而当x1fx)0.所以f导的在(1,)的

fx) 应用

各至多有一个正根因此方程f(x) -10第四 函数增减性的判别与函数的极 函数的极 yyyyf(aobxyoxyoxyoxyox-11第四 函数增减性的判别与函数的极定义设函数fx)在区间(a,b内有定义x0是(a,b第三(1)如果存在着点x0的一个邻域章中点x,除了点x0外,f(x) f(x0)均成立,就称f(x0)中值函数fx)的一个极大值x0称为极大值点定0(2)如果存在着点x的一个邻域0与导点x,除了点x0外,f(x) f(x0)均成立,就称f(x0)数的函数fx)的一个极小值，x0称为极小值点应用函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极-12第四 函数增减性的判别与函数的极 定理2(必要条件

设fx在点

处具有导数,章0三且在章0

处取得极值,那末必定f

) f(x)0的实根)叫值函 f(x)的驻点定 f(x)的极值点必定是它的与点,但函数的驻点却不一定是极值点数 例如,yx3,应

x0

但x0不是极值点 定理3(第一充分条件

设函数fx)在x0处连续,在x0的某个去心邻域内可导,-13第四 函数增减性的判别与函数的极(1)

当xx0时

有fx0,而当xx0时第有fx0,

fx)在x0 (2) 章

xx0时,

fx)0而当xx0时 f(x)0,则f(x)在中

当x定

与xx0时,fx)与理f( 在x0处无极值与yoxyyoxyox-14yox第四 函数增减性yoxyoyox值 求极值的步骤值

(不是极值点情形)理 (1)求函数的定义理导 (2)求导 f(x);导的 (3)求驻点和不可导的用应(4)检查 f(x)在驻点和不可导点左右的正负号,判用-15第四 函数增减性的判别与函数的极例7求出函数fxx33x29x5的极值第 f(x)3x26x93(x1)(x第章令f(x) 得驻点xx3f(00f(值值

1,

极大值f(1) 极小值f(3)-16第四 函数增减性的判别与函数的极 f(x)x33x29x5图形如三MmMm-17第四例

函数增减性的判别2yxx1)3的极值. 定义域为(,).第章 章

(x

5x x(x 33(x3值中x 时y x1时，y不存在值x(,x(,3535(3510y极值32极大值

3 )3

极小值 x 5

-18

第四 函数增减性的判别与函数的极2 求出函数f(x)1(x2)3的极值1第1三 中

(x)2(x2)3

(x 当x2时,f(x)不存在定

但函数fx)在该点连续与 当x与导 当x的应

f(x)Mf(x)M用f(21为fx)的极大值-19第四 函数增减性的判别与函数的极定理4(第二充分条件 设f(x)在 导数,且f(x0) f(x0)0,那章0 章0

0时,函数fx在x0处取得极大值;中(2) f(x0)0时,函 f(x) 处取得极小

f(

x)f(x0) 证理

∵f(x0

导 f(x0x)f(x0)异导的 当x0 有f(x0x)f(x0)的用 当x0用

有f

x)f(

)fx)在x0-20第四 函数增减性的判别与函数的极例10fxx33x224x20的极值解三 f(x)3x26x243(x4)(x解三1 令f(x) 得驻点1中 ∵f(x)6x定

∵f(4)18 故极大值f(4)与数 f(2)18 故极小值f(2)数的用 f(x)x33x224x20图形如用-21第四 函数增减性的判别与函数的极mMmM 注意用

fx00时,fx)在点x0处不一定取极值仍用定理-22第四 函数增减性的判别与函数的极 函数的最若函数fx)在[a,b第三并且至多有有限个导数为零的点，则fx)在[a,b]章y yoy yobyoa 步骤用 1.求驻点和不可导点用小,那个大的就是最大值,那个小的就是最小值;-23第四 函数增减性的判别与函数的极如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最第三

y2x33x212x14的在中上的最大值与最小值值解 ∵f(x)6(x2)(x解理与 f(x)0,得区间(-3,0)内的驻点x12数应 f(3)23；f(2)34；f(0)应用比较得最大 f(2) 最小 f(0)-24第四 函数增减性的判别与函数的极三追击,速度为2千米/分钟.问我军摩托车何时射击最好章(相距最近射击最好）？s(tA0.5s(tA0.5公B值理定系,tB理导与击至射击的时间(分导的数距函数s(t的(0.5t)2(0.5t)2(42t用

4公(2求ss(t)的最小值点-25第四 函数增减性的判别与函数的极(0.5t)2(0.5t)2(42t

5t

令s(t)三 三 故得我军从B处发起追击后1.5分钟射击最好中定 实际问题求最值应注意定 (1)建立目标函数导 (2)求最值导的 若目标函数只有唯一极值点，（或只有一个驻的用应且经分析最值存在）则该点的函数值即为所求的最用(或最小)值．-26

第四 函数增减性的判别与函数的极 第为每月180元时，公寓会全部租出去．当 章每月需花费20元的整修 中获得最大收入？值 设房租为每月x元理 租出去的房子有50

x180

应 R(x)(x

x180 -27第四 函数增减性的判别与函数的极R(x)(x20)68x 10三 R(x)68x(x20)170 10值

10 理 R(x) x350（唯一驻点理与 数 10890元

10-28第四 函数增减性的判别与函数的极14由直线y0，x8及抛物线yx2围成一个曲边三角形，在曲边yx2上求一点,使曲线在该第三点处的切线与直线y0及x8章中值理