专题十三-三角形动点问题

年级：辅导科目：学科教师：学员姓名：课题专题十三三角形的动点问题教学目的能对动点转化为静点进行处理问题，能利用分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想解决问题。重难点分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想的应用教学内容一、概念引入所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目•解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想二•随堂练习如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x,AABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（A）如图在RtAABC中，厶CB=90。,ABAC=30。,AB=2,D是AB边上的一个动点（不与点A、B

重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E.设AD=x,CE二y，则下列图象中，能表示y与x的

函数关系图象大致是（B）函数关系图象大致是（B）【答案】B【思路分析】由于D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），所以0<x<2,通过画图进行分析，画出的图形如图，在点D由A向B移动过程中，AE的长首先在减小如图1-图2所示，当运动到AB的中点时CE的长度达到最小值，当点D再向B移动过程中，CE的值开始增大，离点B越近CE的值越大，DE与AC越接近平行状态。所以此函数图象函数y先随x的增大而减小，然后y先随x的增大而增大,此题选B。平面直角坐标系中，已知点0（0,0）、A（0,2）、B（1,0・），点P是反比例函数y=1图象上的一个动点，过点P作PQ丄x轴，垂足为点Q,若以点0、P、Q为顶点的三角形与△0AB相似，则相应的点P共有（D）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【思路分析】在A0PQ和AOAB中，NPQ0=NA0B=90°，如果ZPOQ=ZABO或即相应的点P共有ZPOQ=ZBAO时，两个三角形相似，此时直线PQ分别有2个交点，共有即相应的点P共有4个.DE=12动点P从点则4（2013・河北）如图，梯形ABCD中，AB〃DC，DE丄AB，CF丄ABDE=12动点P从点则A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒,y=S^EPFy与t的函数图象大致是（A）

13，PAME13，PAMEF聊E点P在AD上运动：12过点P作PM丄AB于点M,则PM=APsinNA=—t,1330此时尸1EFXPM=301,为一次函数；13点P在DC上运动，y=1EFXDE=30；213点P在BC上运动，过点P作PN丄AB于点N,则PN=BPsinZB=12(AD+CD+BC-t)=空上2,1313则尸1EFXPN=30(31—t)，为一次函数.213综上可得选项A的图象符合.故选A.5(2013・荆门)如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD〃BC,若动直线l垂直于BC,且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S,BP为x,则S关于x的函数图象大致是(A)

解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合.故选A.6,（2013・永州）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线1,从点B开始沿着线段BD匀速平移到D・设直线1被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t则y关于t的函数的大致图象是（A）7，如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t大正方形内去掉小正方形后的面积为s,那么s与t的大致图象应为（AC・B・0C・B・08,（2013・衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t,正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图设E点的运动时间为t设E点的运动时间为t秒（0WtV6）,连接DE,当ABDE2.5或3.52或3.5或4.5A.B.C・D.,9,如图，RtAABC中,ZACB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着AfB—A的方向运动，是直角三角形时，t的值为（D）A.2B.D・10•图1所示矩形ABCD中，BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（D）当x=3时，ECVEM当y=9时，EC>EM当x增大时，EC・CF的值增大当y增大时，BE・DF的值不变

11,如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的RtAGEF的一边GF重合.正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动•设正方形的运动时间为t秒,正方形ABCD与Rt^GEF重叠部分面积为s,则s关于t的函数图象为（B）13,如图，正方形ABCD13,如图，正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点，运动路线是A-DfC-B-A，设P点经过的路线为x,以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y•则下列图象能大致反映y与x的函数关系12,如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0,2）,B（0,6）,动点C在直线y=x上•若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（B）C.4D・5OC.OB.OC.OB.如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线1，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D•设直线1被矩形所截线段EF的长度为y,运动时间为t,则y关于t的函数的大致图象是（A）（第14题），如图（1）,在Rt^ABC中,ZACB=90°,D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿BtCtA运动，设S=y，点P运动的路程为x,若y与x之间的函数图像如图（2）所示，则AABC的面积为（B△

A.4B.6A.4B.6C.12【思路分析】通过图（2）可以看出，当点P运动到点C时，点P运动的路程为4,即BC=4；当点P运动到点A时，点P运动的路程为7,即AC=3，则S^B=1ACXBC=6^2如图，在AABC中，AB=20m，AC=12m，点P从点B出发以每秒3m的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2m的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当AAPQ是等腰三角形时，运动的时间是（D）A.2.5B.3秒C.3.5秒D.4秒17.（2013丽水）如图1,在RtAABC中，ZACB=90°点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC-CB运动，到点B停止，过点P作PD丄AB,垂足为D,PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示，当点P运动5秒时，PD的长是（B）A.1.5cmBA.1.5cmB.1・2cmC.1・8cmD.2cm分析：根据图2可判断AC=3,BC=4，则可确定t=5时BP的值，利用sinZB的值，可求出PD.解答：解：由图2可得，AC=3,BC=4,当t=5时，如图所示：此时AC+CP=5，故BP=AC+BC-AC-CP=2,'：'：sinZB=AC：3■7»r:、PD=BPsinZB=2>^^==1.2cm.故选B.18.（2013•莱芜）如图，等边三角形ABC的边长为3,N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A9B今C的方向运动，到达点C时停止.设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（B）考点：动点问题的函数图象.专题：压轴题.分析：注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决.解答：解：•・•等边三角形ABC的边长为3,N为AC的三等分点，・・・AN=1.当点M位于点A处时，x=0，y=1.当动点M从A点出发到AM=0.5的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；当动点M到达C点时，x=6，y=4，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等•故排除A、C.故选B.点评：本题考査了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0），第3次接着运动到点（3,2），……，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是_（2011,2）•

【答案】（2011,2）【思路分析】从点的坐标可以看出横坐标正好是运动的次数，所以第2011次运动后点的横坐标就是2011,纵坐标的数是1,0,2,0,1,02,0，……四个一循环，所以2011*4=502……3,因此第2011次点的纵坐标是2,故点的坐标为（2011,2）.如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,AD=4,连接BD,BD丄CD,ZADB=NC・若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为4。【答案】4【思路分析】当DP丄BC时，DP的值最小，此时可根据角平分线上一点到角的两边距离相等，得DP=AD=4・如图4,在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点•点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动•点P停止运动时，点Q也随之停止运动•当运动时间t=2或14秒时，以点P,Q,E,-3D为顶点的四边形是平行四边形.图4图4【答案】2或143【思路分析】由题意可知，AP二t,CQ=2t,ce=1bc=8•・・・AD〃BC,・・・当PD=EQ时，以点P,2Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.当2tV8即tV4时，点Q在C,E之间，如下图（左）•此时，PD=AD—AP=6—t,EQ=CE—CQ=8—21,由6—t=8—21得t=2.BQEBQE当2t>8即t>4时，点Q在B,E之间，如上图（右）•此时，PD=AD—AP=6—t,EQ=CQ—CE=21—8,由6—t=21—8得七=14.321.（2013・武汉）如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF•连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H・若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_込-1・解答题如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm•动点M,N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t（单位：秒，0VtV2・5）・（1）当t为何值时，以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由.・・•在Rt^ABC中，NC=90°,AC=4cm,BC=3cm.・•・根据勾股定理，得、'AC2+BC2=5cm・（1）以A,P,M为顶点的三角形与AABC相似，分两种情况:①当△AMPs^abc时，竺=AM，即5-2t=4-t,ACAB45

解得t=2；②当△APM-AABC时，如=竺，即上=口,ACAB45解得t=0(不合题意，舍去)；3综上所述，当t=-时，以A、P、M为顶点的三角形与AABC相似;2存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值•理由如下:假设存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.如图，过点P作PH丄BC于点H.则PH〃AC,2t

y.PH2t

y=—，ACBA・・・PH=81，5・・・S=S-S，△ABC△BPHTOC\o"1-5"\h\z11Q=上X3X4—丄X(3-t)•-1，225321=兰(t—?)2+(0VtV2・5)・254•・•上＞0，5AS有最小值.当t当t=2时,=21最小值5321答：当t=3时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是丁23、如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3,DC=5,AB=4迈，ZB=45。.动M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.求BC的长.当MN〃AB时，求t的值.22552255•・・t=2.5秒时，AP=2X2.5=5米，QC=2.5米・•・PD=1AB=3米，・•・S=1QC-PD=3.75平方米;2224,如图，在AABC中，ZB=90。,AB=6米，BC=8•・・t=2.5秒时，AP=2X2.5=5米，QC=2.5米・•・PD=1AB=3米，・•・S=1QC-PD=3.75平方米;22Q⑵当t=罟秒(此时PC=QC),25秒(此是PSQC),或80秒(此时PO=PC)时，acpq为等腰三角形；25,如图，在RtAABC中，ZB=90°,BC=5,亍，ZC=30°•点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0)・过点D作DF丄BC于点F,连接DE、EF.求证：AE=DF；四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.当t为何值时，ADEF为直角三角形？请说明理由..4【中考权威答案】(1)在ADFC中，NDFC=90°,NC=30°,DC=2t，.・.DF=t.又•.•AE=t，・.AE=DF(2)能•理由如下：TAB丄BC，DF丄BC，・・・AE〃DF.又AE=DF,・・・四边形AEFD为平行四边形.・・・AB=BC•逊30°=近W二AC二在P，在P，Q移动的过程中，当ACPQ为等腰三角形时，求出t的值;【答案】解：在Rt^ABC中，AB=6米，BC=8米.\AC=10米由题意得：AP=2t，CQ=t则PC=10-2t(1)①过点P作PD丄BC于D，A-②过点Q作QE丄PC于点E,易知RtAQECsRtAABC•QE二AB，QE=3•S=-・PC-QE=12(10-2t)-3=-312+3t(0<t<5)；:.AD=AC—DC=10—2t若使□AEFD为菱形，则需AE=AD，t=10—2t，即t=学即当t=耳时，四边形AEFD为菱形(3)①ZEDF=90。时，四边形EBFD为矩形.在RtAAED中，ZADE=ZC=30°,・・・AD=2AE.即10—2t=2t,t=•②NDEF=90。时，由（2）知EF〃AD,・・・NADE=NDEF=90°•

・・・NA=90°一NC=60°,・・・AD=AE・cos60°・即10—2t=2③ZEFD=90。时，此种情况不存在.2综上所述，当t=2或4时，ADEF为直角三角形【思路分析】（2）由于AE与DF平行且相等，因此四边形AEFD是平行四边形，要保证是菱形，只需保证一组邻边相等即可，可令AD=AE；（3）ADEF为直角三角形，则共有三种三种情况，即ZDEF=90°,NEDF=90。和ZDFE=90°・26,如图，在RtAABC中，ZC=90°，AC=8,BC=6,点P在AB上AP=2•点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止•在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH,使它与AABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t>0），正方形EFGH与AABC重叠部分面积为S.⑴当t=1时，正方形EFGH的边长是；当t=3时，正方形EFGH的边长是；⑵当0VtW2时，求S与t的函数关系式；⑶直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？B【答案】（1）2B【答案】（1）2；4；⑵当0VtW11时（如图），求S与t的函数关系式是：S=S矩形£”站GT切当6vtw-时(如图)，求S与t的函数关系式是：S=S-S=4t2-1X4X[21-3(2-t)]2TOC\o"1-5"\h\z115矩形EFGHAHMN23425113t2+t-；2422110275110275当5VtW2时(如图)，求S与t的函数关系式是：S=S“RF-S肿1X3(2+t)2-1X4(2-t)2=3t・(3)当t=146时，S最大，最大值为11022575【思路分析】(1)按照运动方向和速度，当t=1时，EP=FP=2,所以EF=2；当t=3时，E运动到A后返回，此时EP=1,FP=3，所以EF=4；通过分析可以知道，在0<tW2的过程中，刚开始正方形在三角形内部，而当t=2时，正方形的边长为4,此时点G在△ABC的外部，因此在这个运动过程中应分三种情况：①正方形在三角形内部；②正方形的一个顶点H跑出三角形；③正方形的两个顶点跑出三角形•当H在AABC的边AC上时，AE=2-1,HE=2t，因为△AEHs^ACB，所以—=8，解得t=色；当G在AABC的边AC上时，AF=2+1，TOC\o"1-5"\h\z2t611GF=2t，且△AFGs^ACB,所以=8，解得t=6，当0VtWA时，S=(2t)2=4t2；当AVtW6时,2t6511115S=S=s—S=4t2—X—X[2t^—(2-t)]2=—t2+t——；当6VtW2时，S=S—S=矩形EFGH△HMN23424225△ARF△aqe313-X3(2+t)2-1X3(2-t)2=31・424当t>2时，E反向运动，此时EF的长固定不变，保持为4,t在开始之前重重叠部分的面积显

然是在增加的，当5<t<丝时，重叠部分是六边形的时侯是先增后开始减少，此时可以求出图形为六3边形时的关系式，即正方形的面积减去这两个小三角形的面积，而S=2(耳-3t)2,S=2(41-20)2,13242333而S=S正方形-S-S=16-2(U—3t)2—2(4t—20)2=—2512+731-125从而得当t=时，S最大，最大值为正方形12324333246625

27,如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动•设移动开始后第t秒时，AFFG的面积为S(cm2).当t=1秒时，S的值是多少？写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围.若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由.TOC\o"1-5"\h\zA,D梯形egcg【答案】(1)如图甲，当t=1秒时，AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=2,由S梯形egcg梯形EGCGEBFS=1(10+2)X8—1X10X4—1X4X2=24fcg222*25F}如图(甲)当0WtW2时，点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动，此时AE=21,EB=12—2t,BF=41,FC=8-41,S=812-321+48(0WtW2)如图乙，当点F追上点G时，4t=2t=8,解得t=4,当2VtW4时，CF=4t