第46讲矩阵及正交变换

第46线性代数59主讲 大 教 April April第46高等数学138讲（优酷网线性代数59讲（优酷网概率论与数理统计70讲 传课 考研题评讲 传课：:@:

April我在及线我在及线性代数59讲受。课程高等数学138 各地大学生的课程的望对你的学习有所帮助希望此课件仅用望对你的学习有所帮助希望此课件仅用于你的学习。请尊大(联 的著作权，切勿在大(联 April第46讲正交矩阵及正交变换第46观我的《高等数观我的《高等数+ 请在优酷网搜索我 + April第46 April第46先来证明一个命题 大Amxn矩阵 的充分必要条件是ATA=En。A的行向量组是两两正交的单 的充分必要条件是AAT=Em 大 April设Aα1α2...αn

第46证(1)A的列向量组是两必要条件是A证(1)A的列向量组是两必要条件是ATA=E 1则ATA

αT2(αα...α)(r2 T

α nα1α2 是两两正交的单位向rα

[α,α

1,i

(rij

0,i

April第46证(2A的行向量组是两两正交的单位向量的充分必要条件是证(2A的行向量组是两两正交的单位向量的充分必要条件是AAT=Eβ大 设A 2

β

β...β)(s 则AAT

(βT

βm β β mβ1,β2,..., β

大是两两正交的[β,β]1,ij(s 0,i

April推论设A推论设An阶矩阵，则以下条件等(1)(1)(2)A-A的列向量组是两两正交的单位向 大A的行向量组是两两正交的单位向量 显证(1)与显由命题1，(1(3等价由ATAEA1AAA1April再April 第46A

orthogonalATAE(单位矩阵) A1AT April第46根据命题1，立即得到命题A的列向量组是两两正交的(3)A的行向量组是两两正交的单位向量 大

April1验证以下矩阵是正交

第46

需验证PTP

P P

或者说明A（四列）是两

1 2

交的单April

第 1 1 TPPT

1

0

2

22 22

2

21000大 01 0 0010 大 0001

April正交矩阵的性

第46或者因为或者因为A的列AT的行向量是两大证A正交ATAE 1AT大(1)AT)TATAAT)T EAT (AT)1(A1)T(AT)TAT正 大And(A1

AT)1A1)1A1正April正交矩阵的性

第46大学A正交ATAE AT大学

((2AB)1B1A1BT

(

AB推论1,...,1正交矩阵的性

第46若A|A|2=1，从而|A|=1-证

ATA

ATA

AAA

A2四川四

A1or大 April第46思考：正A的负矩阵–A和伴随阵A*是否也是正交阵？大 April第462证明：正交矩A的负矩阵–A证

(A)T(A)AT)(A)AT AA*A

A A*

A 大A1or1A*A1or A*pril第46 AnotherA正交A1AT

A2A*A

A A*

AA1

A(A*)TA*(

AT)T(

AT)(

A)(

A2AAT A*正交

(λA)TλATApril第46思考：正交矩A的负矩阵–A和伴随阵A*是否也是正交阵？Another(A*)T(AT)*,(AB)*B*(A*)T (AT)*(AAT)*E*A*正 此证涉及较多伴随阵的性 April3x是单位

第46证明H=E-2xxT是正交矩阵。

134页习题HTH(E2xxT)T(E2xxT(E2(xxT)T)(E2xxT(E2xxT)(E2xxT

(λAμB)TλATE2xxT2xxT4(xxT)(xxTE4xxT4x(xTx)xT

xTxE4xxT4xxT

H正April第46例如，设有单位向 x1(1,2, 大100 1HE

0102121(1266 6600 100 21 210101

212

12 3 3 矩00 1

2 April(1)设P是方阵且E+P证明E-P与(E+P)-1可交换(2)设P是正交矩阵且E+P

第46 称矩阵证 (EP)(E EPPEP2EP)(E 大SoEP(EP)(EP)(E(EP)1(EP)(EP)(E大 E-P与(E+P)-1可交

April(2P是(2P是正E+P(EP)1(EP)(EP)(E 优 证明(E-P)(E+P)-1是 证(2) A(EP)(EP)1(EP)(PTPP)1(EP)((PTE)P)1(EP)P1(PT(P1E)((PE)T)1(PTE)((PE)1)T(PE)T((PE)1 )1(PATPE)1(PE)(E)1(E(EP)(E A 称矩 April第46

April第46 April第46定义定义5设Py=Px称为orthogonal例如，平面上的旋转变 大

1cosφyxsinφy

ory sinφ 1 就就是一个正交 April 旋转变

第46y y1

sinφcosφy PcosφP四 四 大 大

April平面上绕原点的旋转变

第46y y1

sinφcosφy 详见下一讲:第47讲详见下一讲:第47讲反之可以证明 大 April证y=Px是正交变

第46正交变正交变换有以下重要正交变换保持向量的内积不变；从正交变换保持向量的长度和夹角不变正交变换保持两点的距离不变。(AB)TBT四(1)[Px,Py](Px)T(Py)(xTPT)(Py)四xT(PTPyxTEyxTyx 内积不 April正交变换保正交变换保持向量的正交变换保持向量的长度和夹角不变正交变换保持两点的(1)[Px,Py][x,

内积不 大

Px

[Px,Px] [x,x]

[PxPy][x, 夹 不(3)保持向量长度不

April第46正交变正交变换保持向量的正交变换保持向量的长度和夹角不变正交变换保持两点的因此，正交变换是一种保距变换 大 April第46可以证可以证明Q详 47讲平面及空间的