河南省郑州市2023届高三第三次质量预测-数学理

2023年高中毕业年级第三次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，2.已知复数，，若复数，则实数的值为（）A. B.6 C. D.3.已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为，则等于（）A. B. C.7 D.4.已知，则的值等于（）A. B. C. D.5.设集合，，，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）A.60 B.65 C.80 D.816.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A. B.C. D.7.设实数，满足，则的最大值为（）A.25 B.49 C.12 D.248.已知等比数列，且，则的值为（）A. B. C. D.9.若实数、、，且，则的最小值为（）A. B. C. D.10.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，，当的周长最大时，的面积是（）A. B. C. D.11.四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.设函数满足，，则时，的最小值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为．14.若数列的前项和为，且，则的通项公式是．15.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率．16.在中，，为平面内一点，且，为劣弧上一动点，且，则的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角、、所对的边分别是、、，已知，且.（1）当，时，求、的值；（2）若角为锐角，求的取值范围.18.为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标）、推理（能力指标）、建模（能力指标）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养；若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：学生编号（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求随机变量的分布列及其数学期望.19.如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.20.已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.21.已知函数，.（1）函数，，求函数的最小值；（2）对任意，都有成立，求的范围.22.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.23.已知函数.（1）若，使得成立，求的范围；（2）求不等式的解集.2023年高中毕业年级第三次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题BDDBBAADDCCD二、填空题13.14.15.16.三、解答题17．解：由题意得,.(I)当时，,解得(II)∴,又由可得所以.18.解：（I）由题可知：建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，则（II）由题可知，数学核心素养一级：，数学核心素养不是一级的：；的可能取值为1,2,3,4,5.∴随机变量的分布列为12345∴.19.解：(I)在梯形中，∵，设，又∵,∴，∴∴∴.∵，，∴，而，∴∵∴.(II)由(I)可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示建立空间直角坐标系，设，令(),则(0，0，0)，(，0，0)，(0，1，0)，(，0，1)，∴=(-，1，0)，=(，-1，1)，设为平面的一个法向量，由得取,则=(1,,),∵=(1,0,0)是平面的一个法向量,∴∵,∴当时，有最小值，∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.20.解：（I）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切，∴圆

由题意，，得即将代入，得曲线的方程为（II）（1）假设直线的斜率存在，设其方程为，设联立，可得由求根公式得（）

∵以为直径的圆过坐标原点，即即化简可得，将（）代入可得，即即，又将代入，可得∴当且仅当，即时等号成立．又由，，．（2）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得同理求得故．综上，得．21.解:（I）.，令得.当即时，在上，递增，的最小值为.当即时，在上，为减函数，在在上，为增函数.∴的最小值为.当即时，在上，递减，的最小值为.综上所述，当时的最小值为，当时的最小值为,当时，最小值为.（II）设，.①当时，在上，在递增，的最小值为，不可能有.②当时,令，解得：，此时∴.∴在上递减.∵的最大值为，∴递减.∴的最大值为，即成立.当时，此时当时，递增，当时，递减.∴，又由于,∴在上，递增，又∵,所以在上，显然不合题意.综上所述：.22.解