2022年新高考全国I卷数学压轴题答案详解及解题技巧(含模拟专练)

年全国统一高考数学试卷（新高考I卷）压轴真题解读7．设，则（

）A． B． C． D．【命题意图】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力.【答案】C【解析】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.【思想方法】1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【命题意图】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值.【答案】C【解析】∵球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.【感悟升华】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．【命题意图】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想.【答案】BC【解析】因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.【知识拓展】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．【命题意图】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.21．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．【命题意图】本题考查了直线与双曲线的综合【解析】(1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线易知直线l的斜率存在，设，，联立可得，，所以，，．所以由可得，，即，即，所以，化简得，，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故．(2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，因为，所以，即，即，解得，于是，直线，直线，联立可得，，因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，．所以，，点到直线的距离，故的面积为．22．已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【命题意图】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．【解析】(1)的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故.的定义域为，而.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上，.(2)由（1）可得和的最小值为.当时，考虑的解的个数、的解的个数.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，有两个不同的零点即的解的个数为2.当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，当时，由（1）讨论可得、均无零点，故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.设，其中，故，设，，则，故在上为增函数，故即，所以，所以在上为增函数，而，，故在上有且只有一个零点，且：当时，即即，当时，即即，因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，故，此时有两个不同的零点，此时有两个不同的零点，故，，，所以即即，故为方程的解，同理也为方程的解又可化为即即，故为方程的解，同理也为方程的解，所以，而，故即.压轴模拟专练1．（2022·河南郑州·三模）已知，，，则它们的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由令，则，当，；当，；所以在上单调递增，在上单调递减，且则，因此，所以又因为，所以，得故，有.综上，.故选：B2．（2022·河南洛阳·三模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】构造，，，在时为减函数，且，所以在恒成立，故在上单调递减，所以，即，所以，即.故选：D3．（2022·河南·高三模拟）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，二面角是150°，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，作平面ABC，垂足为E，连接BE，记，连接PD.由题意可得D为AC的中点.在中，，D为AC的中点，因为，所以，则.因为二面角是150°，所以，所以，.因为是边长为的等边三角形，且D为AC的中点，所以.设为外接圆的圆心，则.设三棱锥外接球的球心为O，因为，所以O在平面ABC下方，连接，OB，OP，作，垂足为H，则，.设三棱锥外接球的半径为，，即，解得，故三棱锥外接球的表面积是.故选：A.4．（2022·山东菏泽高三模拟）已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，解得，由是正三角形可知：其外接圆半径为，设点S到平面ABC的距离为h，故，解得或，则或（舍去），故，则,而，故为等腰直角三角形，，故为等腰直角三角形，,则,又,故平面SCM，取CB中点F，连接NF交CM于点O，则,则平面SCM,故平面SCM，则，要求最小，首先需PQ最小，此时可得平面SCM，则；再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中位置，当共线且时，的最小值即为的长，由为等腰直角三角形，故，，∴，即，∴，可得，，故选：B.5．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）.若，且，，，则（

）A．有无数个“友情点对” B．恰有个“友情点对”C． D．【答案】AD【解析】因为，，所以是奇函数，所以图像上存在无数对，关于原点对称，即有无数个“友情点对”；又因为，令，则，令，则，当时，，所以是增函数，，即，所以当时是增函数，，所以，在上是增函数，因为是奇函数，所以在上是增函数，因为，指数函数为增函数，所以，因为，指数函数为增函数，所以，由可得，故所以.故选：AD.6．（2022·山东潍坊·模拟预测）设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．C．若，则实数m的最小值为D．若有三个零点，则实数【答案】BC【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，解得，由得，当时，，则，所以，同理，当时，，以此类推，可得到的图象如下图所示，对于A，根据上述规律，当时，，所以A错误，对于B，根据图象，刚好是相邻两个自然数中间的数，则刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得，所以B正确，对于C，根据图象，当时，，，由图可得C是正确的，对于D，有三个零点，等价于函数与函数有三个不同的交点，设，则函数的图象恒过点的直线，如图所示，当函数与的图象相切时，有三个交点，相切时斜率小于直线的斜率，直线的斜率为，所以有三个零点时，，所以D错误，故选：BC7．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为________.【答案】##【解析】如图，在棱长为6的正方体中，则平面，平面，又，在平面上，，，又，，，即，如图，在平面中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则，，，由，知，化简整理得，，圆心，半径的圆，所以点的轨迹为圆与四边形的交点，即为图中的其中，，，则由弧长公式知故答案为：.8．已知椭圆C：的左，右焦点分别是是椭圆C上第一象限内的一点，且的周长为.过点作的切线，分别与轴和轴交于两点，为原点，当点在上移动时，面积的最小值为___________.【答案】2【解析】设直线方程为，因为的周长为，所以，且，所以，所以椭圆，联立可得，所以，所以，又因为与坐标轴交于，所以，取等号时，所以面积的最小值为，故答案为：.9．（2022·山西·太原五中二模）已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和，记得到的平行四边形的面积为．(1)设，用的坐标表示点到直线的距离，并证明；(2)请从①②两个问题中任选一个作答①设与的斜率之积，求面积的值．②设与的斜率之积为．求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变．【解析】(1)当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为；当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为，也满足，则点到直线的距离为；因为，则；(2)若选①，设，设，直线与椭圆联立可得，同理直线与椭圆联立可得，不妨令，则，，则；若选②，设，设，直线与椭圆联立可得，则，同理可得，则，两边平方整理得，由面积与无关，可得，解得，故时，无论与如何变动，面积保持不变．10．（2022·四川·树德中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆经过，椭圆的离心率为的．(1)求椭圆与椭圆的标准方程：(2)设过原点且斜率存在的直线l与椭圆相交于A，C两点，点P为椭圆的上顶点，直线PA与椭圆相交于点B，直线PC与椭圆相交于点D，设的面积分别为试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】(1)因为椭圆经过点，所以，①因为椭圆的离心率为．所以，即，②由①②可得，故椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为;(2)设，则，即由题意知，设直线的斜率分别为，则直线PA的方程为，则由，消去y得，解得或，则由，消去y得，解得或，所以点B的横坐标，所以

同理

所以故为定值11．（2022·浙江·高三模拟）已知函数．(1)若曲线