多元函数的极值算法比较与应用

多元函数的极值算法比较与应用第一页，共十七页，2022年，8月28日一、研究意义任何现象都体现着质与量的辩证统一.要研究现象的本质，必须进行严格的定性分析与定量分析.定量分析离开数学就无法进行.数学的应用贯穿到人类文明的发展进程中.从古代的结绳记数、丈量土地，到如今的存款利率、国民收入等诸多方面.今日，数学的发展水平及其在社会经济中的应用程度，已经是一个国家综合实力的重要指标.数学应用的一个重要方面便是极值问题.极值作为函数性态的重要特征，也得到了充分而系统的研究.上个世纪初期，统计学家们在对独立同分布随机变量最大值的渐近分布进行研究时提出了极值理论.近年来，诸如恐怖事件、金融风暴、特大自然灾害之类的事件频频发生，极值问题的研究得到了进一步的关注.第二页，共十七页，2022年，8月28日二、研究现状多元函数的条件极值是数学分析和高等数学中的一个重要内容，它的一般求解方法为拉格朗日乘数法.然而，在实际解题过程中，往往比较繁琐，国内现行教材对此缺乏相关论述，各类文献对这个问题的研究也是分散的、不系统的.因此，有必要给出更多的求多元函数条件极值的方法并比较适用的条件及难易程度，以便在求解类似的问题时选择适当的方法，更方便应用与现实生活中.第三页，共十七页，2022年，8月28日1、引言论文结构2、函数极值理论及极值解法3、多元函数极值的应用4、总结5、参考文献6、致谢第四页，共十七页，2022年，8月28日四、研究内容

（一）多元函数极值及解法定义设n元函数在点的某个邻域内又定义，如果对该邻域内任一异于的点都有或

则称函数在点有极大值(或极小值).极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.第五页，共十七页，2022年，8月28日1代入消元法

通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.

第六页，共十七页，2022年，8月28日2拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.

求目标函数在条件函数组限制下的极值，若及有连续的偏导数，且Jacobi矩阵

的秩为，则可以用拉格朗日乘数法求极值.

首先，构造拉格朗日函数然后，解方程组从此方程组中解出驻点的坐标，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.

第七页，共十七页，2022年，8月28日3标准量代换法

求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.第八页，共十七页，2022年，8月28日4不等式法

（1）利用均值不等式

均值不等式是常用的不等式，其形式为，

这里，且等号成立的充分条件是.

（2）利用柯西不等式

柯西不等式：对于任意实数和，总有,当且仅当实数与对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进

而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值第九页，共十七页，2022年，8月28日5二次方程判别式符号法

求有些含多个变量目标函数的极值时，我们可以反复转化为求关于某个变量的二次方程，然后考虑方程有实数解判别式满足的条件解决目标函数的极值问题。第十页，共十七页，2022年，8月28日6梯度法

用梯度法求目标函数在条件函数时组限制下的极值，方程组

的解,就是所求极值问题的可能极值点.其中表示目标函数的梯度向量，

表示条件函数的梯度向量

第十一页，共十七页，2022年，8月28日7数形结合法

数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质决定目标的条件极值.第十二页，共十七页，2022年，8月28日（二）多元函数极值的应用

1不等式证明某些给定范围内的单向不等式，可以转化为求多元函数的最值来求解，而多元函数的最值又可以通过求极值的方法来解决第十三页，共十七页，2022年，8月28日2物理学中光的折射定律证明

利用极值证明光的折射定律是物理学中的典型应用，将光的传播问题转化为条件极值问题，运用拉格朗日乘数法求极值简单易解决。第十四页，共十七页，2022年，8月28日3生产销售

在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润.第十五页，共十七页，2022年，8月28日总结本文讨论了多元函数的极值问题。.首先我们给出多元函数极值的理论概述。然后介绍多元函数条件极值的若干解法，一般我们是运用拉格朗日乘数法和均值不等式法，但在实际解题过程中都比较繁琐，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.都可以简捷地求得结果.所以在解条件极值问题时，我们可以先分析题目的特点再选择最