多元函数的基本概念

多元函数的基本概念第一页，共五十六页，2022年，8月28日

第九章第一节一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性多元函数的基本概念第二页，共五十六页，2022年，8月28日平面点集的有关概念二维空间：二元有序实数组(x,y)的全体,即：记作：注二维空间的几何意义—坐标平面二维空间的元素—坐标平面内的点平面点集：二维空间的任一子集,记作：平面点集E通常是坐标平面上具有某种性质的点的集合,记作：E={(x,y)|(x,y)具有性质P}(1)(2)注或(一)平面点集第三页，共五十六页，2022年，8月28日例第一象限内的点n维空间中的点集：记作：(1)y轴上的点(2)(3)单位圆内的点n维空间：n元有序实数组的全体构成的集合,即：n维空间中的元素：或中的一个点或一个n维向量中的任一子集第四页，共五十六页，2022年，8月28日1.邻域点P0

的去心邻域记为注设的距离小于的点P(x,y)的全体,称为点P0

的邻域.是xoy平面上的一个点,是某一正数.与点记作即：也就是：若不需要强调邻域半径

,邻域也可写成若在空间中,(球邻域)(圆邻域)第五页，共五十六页，2022年，8月28日在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.第六页，共五十六页，2022年，8月28日2.

区域(1)

内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:若存在点P

的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点

P

的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E

的边界点可能属于E,也可能不属于E.E的边界点的全体称为E的边界，记为第七页，共五十六页，2022年，8月28日(2)

聚点、孤立点若对任意给定的

,点P

的去心邻域内总有E

中的点,则称P

是E

的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为孤立点：E

的边界点)内点一定是聚点；说明：设点P∈E如果存在点P

的去心邻域第八页，共五十六页，2022年，8月28日点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．边界上的点都是聚点也都属于集合．

再如：设平面点集满足一切点(x,y)都是E的内点；满足的一切点(x,y)都是E的边界点，它们都不属于E；满足的一切点(x,y)也是E的边界点，它们都属于E；点集E以及它的边界上的一切点都是E的聚点.第九页，共五十六页，2022年，8月28日D(3)开区域及闭区域若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；若点集E

E

,则称E

为闭集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的;

连通的开集称为开区域

,简称区域;。。

整个平面

是最大的开域,也是最大的闭域；第十页，共五十六页，2022年，8月28日例如，在平面上开区域闭区域点集是开集，但非区域.o第十一页，共五十六页，2022年，8月28日有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得，其中O是坐标原点，则称E为有界集.无界集：一个集合若非有界集，就称为无界集.例如，集合是有界闭区域;集合是无界开区域；集合是无界闭区域.

包括部分边界在内的区域称为半开区域.如果区域延伸到无穷远处，称为无界区域，否则称为有界区域.第十二页，共五十六页，2022年，8月28日3.n

维空间n元有序数组的全体称为n

维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k

个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.第十三页，共五十六页，2022年，8月28日

设x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)为Rn中任意两个元素，规定n维空间中的线性运算的距离记作规定为与零元O

的距离为第十四页，共五十六页，2022年，8月28日设如果则称变元经x在中趋于固定元a

，记作

在n维空间中定义了距离以后，就可以定义中变元的极限：中点

a

的

邻域为内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．第十五页，共五十六页，2022年，8月28日二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式第十六页，共五十六页，2022年，8月28日

f

称为对应规则或函数，f(x,y)称为f在点(x,y)处的函数值。函数值的全体所构成的集合称为函数f

的值域，记作函数与选用的记号无关，如则称f

是D

上的二元函数,记为

1、二元函数的定义第十七页，共五十六页，2022年，8月28日

把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D，映射就称为定义在D上的n元函数，通常记为变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.也可记为或简记为第十八页，共五十六页，2022年，8月28日例1

求的定义域．解所求定义域为第十九页，共五十六页，2022年，8月28日2、二元函数的几何意义：

设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y))与它对应；当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y))就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.第二十页，共五十六页，2022年，8月28日例如,

二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球第二十一页，共五十六页，2022年，8月28日一元函数极限回顾：二元函数的极限：如果在的过程中

f(x,y)无限接近一个确定常数

A

，就称

A

是f(x,y)

当时的极限，记为三、多元函数的极限第二十二页，共五十六页，2022年，8月28日定义2

设函数的定义域为D,P0是D的聚点则称A

为函数若存在常数A,当记作对任意正数

,总存在正数,也即都有或第二十三页，共五十六页，2022年，8月28日说明：（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（1）定义中的方式比的方式复杂的多不同于二次极限第二十四页，共五十六页，2022年，8月28日说明：(4)不研究函数在P0(x0

,y0)处的状态，仅研究点

(方式任意)的过程中，函数f(x,y)的变化趋势.所以，定义规定函数z=f(x,y)在点P0(x0

,y0)的某个邻域内有定义，不要求函数在点P0(x0

,y0)有定义.(5)极限值A应是一个确定的常数，它与P(x,y)趋近P0(x0,y0)的方式无关.也就是说：P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时，函数都无限接近于A.第二十五页，共五十六页，2022年，8月28日相同点多元函数和一元函数极限的概念的相同点和差异一元函数在某点的极限存在的充要?定义相同.不同点必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.第二十六页，共五十六页，2022年，8月28日例2.

设求证：证:故总有要证第二十七页，共五十六页，2022年，8月28日例3.

设求证：证：故总有要证第二十八页，共五十六页，2022年，8月28日例4.求极限

解其中第二十九页，共五十六页，2022年，8月28日例5.

考察函数这也是一种特殊方式(2)当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,解：(1)当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,这是一种特殊的趋近方式在(0,0)处的极限.第三十页，共五十六页，2022年，8月28日(3)当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时例5.

考察函数在(0,0)处的极限.

若当点趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在.函数第三十一页，共五十六页，2022年，8月28日仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.注.二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例5知它在(0,0)点二重极限不存在.第三十二页，共五十六页，2022年，8月28日(2)再来分析当点(x,y)沿过原点的直线

因此

不存在.趋向于有时,由此看出:累次极限与二重极限有本质区别再如解（1）对任意的研究

有有同理:第三十三页，共五十六页，2022年，8月28日证（2）取此时，仍不能确定极限是否存在．（1）P(x,y)沿

x

轴趋于(0,0)，此时y=0,x0例6.

证明不存在．

第三十四页，共五十六页，2022年，8月28日证（3）取极限值随k的不同而变化，故极限不存在．例6.

证明不存在．

第三十五页，共五十六页，2022年，8月28日确定极限不存在的常用方法：第三十六页，共五十六页，2022年，8月28日求二元函数极限（重极限）常用的方法：（1）用定义验证其存在或不存在；（2）利用适当放缩或变量代换转化为一元函数的极限，再用一元函数中已有的方法；（3）消去分子分母中极限为0的因子；（4）利用极限运算性质或法则，例如夹逼准则（与一元函数相似）；（5）利用函数的连续性第三十七页，共五十六页，2022年，8月28日解：例7：求极限第三十八页，共五十六页，2022年，8月28日例8.

求:第三十九页，共五十六页，2022年，8月28日解：例9：求极限第四十页，共五十六页，2022年，8月28日四、多元函数的连续性定义3

.

设n元函数定义在D

上,如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点

.则称n

元函数连续.连续,第四十一页，共五十六页，2022年，8月28日二元函数的连续性定义4.

设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D，为D的聚点，且.如果则称函数f(x,y)在点P0(x0

,y0)处连续，否则称为间断.

如果函数z=f(x,y)在定义域D上每一点都连续，则称函数z=f(x,y)在定义域D上连续，或者称f(x,y)是D上的连续函数.第四十二页，共五十六页，2022年，8月28日

二元函数在点P0(x0

,y0)处的连续，要求有以下三个条件成立，即：(1)函数z=f(x,y)在点P0(x0

,y0)的某个邻域内有定义，且在点P0(x0

,y0)处也有定义.(2)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)有极限.(3)函数z=f(x,y)

在点P0(x0

,y0)处的极限值等于该点函数值，即：第四十三页，共五十六页，2022年，8月28日例如,

函数在点(0,0)极限不存在,又如,

函数上间断.

故(0,0)为其间断点.在聚点圆周其定义域为其定义域为整个平面，(0,0)为其聚点,第四十四页，共五十六页，2022年，8月28日的不连续点,若在D内某些个别点,没有定义,或沿D内某些曲线,但在D内其余部分,都有定义,则在这些点或这些曲线上,即间断点.函数都是函数

二元连续函数的图形是一片无裂缝无点洞的曲面结论：

如果函数f(P)在D的每一点都连续，则称函数f(P)在D上连续，或者称f(P)是D上的连续函数。第四十五页，共五十六页，2022年，8月28日多元初等函数：由常数及不同自变量表达的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表示的多元函数。（3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．关于多元函数连续性的说明一切一元基本初等函数，作为一个二元或二元以上的多元函数时，在其定义域内都是连续的。（4）利用多元函数的连续性可计算在连续点处的极限。（1）（2）第四十六页，共五十六页，2022年，8月28日

例10.证明在全平面连