新利息理论教案

10第2章：等额年金2.1节：年金的含义本节内容：一、年金的含义〔annuity〕年金是指一系列的付款〔或收款。但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。二、年金的分类1、确定年金和风险年金。2、定期年金和永续年金。3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付屡次年金和连续年金。4、期初付年金和期末付年金。5、即期年金和延期年金。本节重点：本节难点：年金的分类。2.2节：年金的现值本节内容：期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n个时期，每个时期末支付1a末付定期年金。其现值一般用符号 ni表示。在不引起混淆的状况下，通常简a a记为 。n

的计算过程图〔略〕aan

vv2v3...vnv(1vn)1vn二、理解三、例题

1v iiavnian8%，现在应当存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：a4000

58%=4000×3.9927=15971说明：a 的具体数值可以通过年金现值表查到58%4，105。i，nia a20解：201041v2051v10i i0.25i=0.148698期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n个时期，每个时期初支付1a初付定期年金。其现值一般用符号 ni表示。在不引起混淆的状况下，通常简a a记为 。n

的计算过程图〔略〕aa

n1vv2v3...vn1n(1vn)1vna 的关系n二、 与的关系nn

1v dnn1nnann1nn

〔可用公式开放证明〕〔可用图形表达〕三、例题500008假设年实际利率为6%，试计算假设每年初支付租金，该仓库的年租金应当为多少？a解：设仓库的年租金为A，可以建立a8，A=75968，A=7596期末付永续年金的现值na

表示期末付永续年金的现值，则有alima1 n n i期初付永续年金的现值一、公式a假设用 表示期初付永续年金的现值，则有alima1 n n d二、a与a的关系 a(1i)a 三、例题500008假设年实际利率为6%，试计算假设每年初支付租金，该仓库的年租金应当为多少？a解：设仓库的年租金为A，可以建立a8，A=75968，A=7596210000106%，比较下述三种〔1〕10〔2〕每年10〔31010〔1〕1017909因此支付的利息总额为：17909-10000=7909元〔2〕每年末支付的利息为100000.06600因此支付的利息总额为：6000元〔3〕A

1000010A=1359因此支付的利息总额为：135910135903、A10B，210CDB、C、Da解：此项财产实际上为100000×0.007=7000元其末付永续年金。a10B：7000 =7000×7.0236=4916510a C：7000〔 -

v10=24993aa20aaD：7000〔

102020

10v20=25842本节重点：本节难点：公式之间的关系。第2.3节：年金的终值本节内容：期末付定期年金的终值s期末付定期年金的终值一般用符号ni一、公式

表示。s1(1i)(1i)2...(1i)n1n1(1i)n1(1i)

(1i)n1i二、解释ns期初付定期年金的终值s表示。n表示。nis(1i)(1i)2...(1i)n1(1i)nn(1i)(1(1i)n)1(1i)

(1i)n1i/1i

(1i)n1ds s二、 与n

的关系nns nn11nnnn1

〔可用公式开放证明〕〔可用图形表达〕三、例题入一笔钱。假设基金的年实际利率为6%，那么他每年初应当存入多少钱才能保1040000解：假设每年初存入A元As4000010A=28632AB40100，41BY15A8B10%，Y-X。解：对于投资者A：100s Xa400.08 150.08得 X=3026.54B：100s Ya400.1 150.1得 Y-X=2792.40本节重点：本节难点：s s与 的关系。n n2.4节：年金的现值与终值的关系本节内容：年金的现值与终值之间的换算关系san

(1i)nnnsnn

(1i)n年金的现值与终值之间的倒数关系1 1a sn n1 1nna nn本节重点：本节难点：年金的现值与终值之间的倒数关系。2.5节：年金在任意时点上的值本节内容：a年金在支付期开头前任意时点上的值a一、延期m个时期的期末付定期年金的现值 。m| naam| am|

a(1i)mavmn nmnma mnma二、延期m个时期的期末付永续年金的现值m| vma m| i〔略〕四、例题年金在支付期内任意时点上的值年金在支付期完毕后任意时点上的值a本节重点：延期m个时期的期末付定期年金的现值 。am| na本节难点：延期m个时期的期末付定期年金的现值 。m| n2.6本节内容：每笔款项都以其支付时的利率计算本节重点：本节难点：补充：二、非复利年金补充概念：一、利息结转周期和年金支付周期度；年金支付周期是指支付一次年金所需要的时间长度。2.7m〔m〕本节内容：一、此类问题的直接计算56.09%，试计算每月末的付款金额。解：月实际利率12(0.06091 10.004938612假设每月末的付款金额为X，则有50000X=965二、公式

Xa600.0049386金的支付次数，i期末付年金i1/m11 1

n1a(m)n

m(vm

vm...v mvn)1vni(m)

iai(m) na二、相应的，在每个支付周期末付款1/m元，那么该年金的终值为s(m)ni

(1i)na(m)nsi(m) n三、例题5解：m=12，i=5%，每年支付的总额为1200元。1200s(12)

i1200

s=6781.375 i(12) 555%，R解：每年付款总额为2R，2Ra(2)5

3000R=342.24期初付年金i1/m1a(m)a(m)n m

n1(1vmvm...v m)d(m) n1vn d dd(m) n二、相应的，在每个支付周期初付款1/m元，那么该年金的终值为nns(mnndd(m) n

(1i)na(m)d s三、转换关系na(m)n

(1i)ma(m)1n1ns(m)n四、例题

(1i)ms(m)1n16019%，试计算每月初的付款金额。解：设每月初的付款金额为X，那么全年付款总额为12X，因此有5000012Xa(12)50.0609X=960永续年金i1/m1 1 2a(m)

m(vmvm...) 1i(m)a(ma(m)1d(m)三、转换关系a(m)本节重点：

(1i)ma(m)111 1

n1

1vn ia(m)

(vm

vm...v mvn)

a 的推导。n

m i(m)

i(m) n1 1

n1

1vn ia(m)

(vmvm

...v

mvn)

a 的推导。n m i(m) i(m) n第2.8节 连续年金本节内容：连续年金的现值a一、假设总的利息结转次数为n，每个利息结转周期的实际利率为i，在每个利a息结转周期内连续支付、支付总量为1元的年金现值用

表示，则有：na n

vn1 1vnvtdt n n0a二、 n

lnv0 三、其他关系a ian

a 1enn 四、例题10002解：d=0.05，则 1d0.95 ln(1i)ln(1/0.95)

，1i

10.95

1000a2

21000av31629.73226%500

0.06

500

8580.91连续年金的终值s一、假设总的利息结转次数为n，每个利息结转周期的实际利率为i，在每个利s息结转周期内连续支付、支付总量为1元的年金终值用

表示，则有：ns n

(1i)n1(1i)tdt |nn0s二、 的其他推导n

三、其他关系sisn ns n四、例题

en1100010解：10

50.06

5804.56五、补充

a s与 的关系n ns(1i)nan n11as11n n本节重点：asn

计算公式。sn

的其他推导。第2.9节：年金问题求解〔价值方程〕本节内容：利率问题求解一、年金问题包含三个变量。1、年金的现值或终值；2、年金的支付次数；3、利率。二、计算未知利率的方法1、解析法；例、a 1.75，求i。1211( )2 1i 1.75解： i24524i72、线性插值法；3、迭代法。

f(x)

x n