2020-2021备战中考数学初中数学旋转的综合热点考点难点含详细答案

2020-2021备战中考数学初中数学旋转的综合热点考点难点含详细答案一、旋转1.阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为手拉手”图形.如图1,在手拉手”图形中，小胖发现若/BAJ/DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE⑴在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造 手拉手”图形来解答下面的问题：（2）如图2,AB=BC,/ABC=/BDC=60°,求证：AD+CD=BD；⑶如图3,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=m°,点E为^ABC外一点，点D为BC中点,/EBC=/ACEED，FD,求/EAF的度数（用含有m的式子表示）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）ZEAF=-m0.2【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EQ只要证明△DAB0^EAC即可；（2）如图2中，延长DC到E,使得DB=DE.首先证明4BDE是等边三角形，再证明△ABD04CBE即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG,连接CGEGEF、FG,延长ED到M,使得DM=DE,连接FM、CM.想办法证明△AFE^^AFG可得/EAF=ZFAG=1m°.2详（1）证明：如图1中，•••ZBAC=ZDAE,ZDAB=ZEAC,在^DAB和^EAC中,AD=AEDAB=EAC,AB=AC△DABZ△EAC,，BD=EC(2)证明：如图2中，延长DC至ijE,使得DB=DE••DB=DE,/BDC=60,°•.△BDE是等边三角形，••/BD=BE,/DBE=ZABC=60:/ABD=ZCBE,.AB=BC,•.△ABD^ACBE,.•.AD=EC,BD=DE=DC+CE=DC+AD.AD+CD=BD.(3)如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m。得到AG,连接CGEGEF、FG,延长ED到M,使得DM=DE,连接FM、CM.由(1)可知^EAgAGAC,.1./1=/2,BE=CQ••BD=DC,/BDE=/CDM,DE=DM,•.△EDB^AMDC,EM=CM=CG,/EBC=ZMCD,••/EBC曰ACF,/MCD=/ACF,/FCM=ZACB=/ABC,/1=3=/2,/FCG=/ACB=ZMCF,,.CF=CFCG=CM,.-.△CFG^ACFM,.FG=FM,.ED=DM,DF±EM,.FE=FM=FG.AE=AG,AF=AF,.△AFE^AAFG,/EAF=ZFAG=1m°.2点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用 半拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造 半拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题.2.在平面直角坐标系中， O为原点，点A(3,0),点B(0,4),把^ABO绕点A顺时针旋转，得△AB。'，点B,。旋转后的对应点为B；O.(1)如图1,当旋转角为90。时，求BB的长；(2)如图2,当旋转角为120°时，求点O'的坐标；(3)在(2)的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为P；当O'P+AP取得最小值时，求点P的坐标.(直接写出结果即可)【答案】(1)5亚；(2)O'(9,3/3);(3)P'(27,逃).2 2 5 5【解析】【分析】(1)先求出AB.利用旋转判断出△ABB是等腰直角三角形，即可得出结论；(2)先判断出/HAQ=60：利用含30度角的直角三角形的性质求出 AH,OH,即可得出结论；

(3)先确定出直线O'C的解析式，进而确定出点P的坐标，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.【详解】(1)「A(3,0),B(0,4),「6=3,OB=4,.-.AB=5,由旋转知，BA=B'A,/BAB=90,°△ABB'是等腰直角三角形， BB=J2AB=5”；(2)如图2,过点。'作O'H^x轴于H,由旋转知，O′A=OA=3,/OAO'=120；ZHAO'=60,/HO'A=30:ZHAO'=60,/HO'A=30:•.AH=—AO=-,OH=V3AH=3^3,2 2 2OH=OA+AH=-,2(3)由旋转知，AP=AP', O'P+AP=O'P+AP.如图3,作A关于y轴的对称点C,连接O'C交y轴于P,•••O'P+AP=O'P+CP=O'C,此日O'P+AP的值最小.•・•点C与点A关于y轴对称，，C(-3,0).•••P(0,・「O'(9,3/3),••・直线O'C的解析式为y=Y3x+3^3,令x=0, y=3Z3•••P(0,2 2 5 5 5•・T'p噂3石),••.O'P'=OP=3愿,作P'D^O'H于•・T'p噂•••/B'O'A=ZBOA=90；/AO'H=30；/DP'O'=30,P'D=V3O'D=—, DH=O'H-O'D=6^3,O'H+P'D=-27,•.P(召,6/3)10 5 5 5'5【点睛】30度角的直角本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角3.如图：在4ABC中，/ACB=90°,AC=BC/PCQ=45,把/PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD,CP,垂足为D,直线AD交CQ于E.(1)如图①，当/PCQ在/ACB内部时，求证：AD+BE=DE(2)如图②，当CQ在/ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为；(3)在(1)的条件下，若CD=6,SAbce=2Saacd,求AE的长.【答案】⑴见解析(2)AD=BE+DE(3)8【解析】试题分析：(1)延长DA到F,使DF=DE,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出ZACF=ZBCE,然后利用边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得证；(2)在AD上截取DF=DE,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出/ACF=/BCE，然后利用边角边”证明4ACF和4BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得到AD=BE+DE;(3)根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD,然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解.试题解析：(1)证明：如图①，延长DA到F,使DF=DE.-.CDXAE,CE=CF,/DCE=ZDCF=ZPCQ=45；/ACD+ZACF=ZDCF=45:又「/ACB=90；/PCQ=45；ZACD+ZBCE=90-45=45；，/ACF=/BCE在AACF和ABCE中，CECFACFBCE,「.△AC阵△BCE(SA?, AF=BE,..AD+BE=AD+AF=DF=DE,即ACBCAD+BE=DE;(2)解：如图②，在AD上截取DF=DE.-.CDlAE, CE=CF,/DCE=ZDCF=ZPCQ=45；/ECF=ZDCE■/DCF=90；/BCE^ZBCF=ZECF=90:又•••/ACB=90； /ACF+ZBCF=90； /ACF=ZBCE在△ACF和△BCE中,CECFACFBCE,「.△AC阵△BCE(SAS, AF=BE,..AD=AF+DF=BE+DE,即ACBCAD=BE+DE；故答案为：AD=BE+DE.(3)•••/DCE=ZDCF=ZPCQ=45°,/ECF=45°+45°=90°,「.△ECF是等腰直角三角形，.•.CD=DF=DE=6.1.S\bce=2Saacd,，AF=2AD,•.AD=^^X6=2..AE=AD+DE=2+6=8.12

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.4.如图1,菱形ABCD,AB4,ADC120°，连接对角线AC、BD交于点O,1如图2,将VAOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的VA'BO与菱形ABCD重合部分的面积.2如图3,将VA'BO绕点O逆时针旋转交AB于点E',交BC于点F,①求证：BE'BF2;②求出四边形OE'BF的面积.D D DD D D【答案】1百?2①证明见解析②出【解析】【分析】(1)先判断出4ABD是等边三角形，进而判断出^EOB是等边三角形，即可得出结论;(2)先判断出04OBF,再利用等式的性质即可得出结论；⑶借助①的结论即可得出结论.【详解】1Q四边形为菱形， ADC1200，ADO600,VABD为等边三角形，DAO300, ABO600,1.AD//A',0../A'OB=60图图1VEOB为等边三角形，边长OB2重合部分的面积：立4J3,42①在图3中，取AB中点E,•••/EOE2BOF,又•••EO=BO,/OEEWOBF=60,•.△OEE丝△OBF,.EE'=BF.BE'+BF=BE'+EE'=BE=2②由①知，在旋转过程中始终有△OEE0^OBF,Saoee=Saobf,s四边形oe'b=sVOEBJ3.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键 ^5.在平面直角坐标系中， O为原点，点A(8,0),点B(0,6),把^ABO绕点B逆时针旋转得B',0点A、。旋转后的对应点为A'、O',记旋转角为(1)如图1,若a=90；贝UAB=,并求AA'的长；(2)如图2,若a=120；求点0'的坐标；(3)在(2)的条件下，边0A上的一点P旋转后的对应点为P',当OP+B取得最小值时，直接写出点P的坐标.

【答案】（1）10,10夜；（2）（3技9）;（3）（12叵，包）5 5【解析】试题分析：（1）、如图①，先利用勾股定理计算出AB=5,再根据旋转的性质得BA=BA,/ABA'=90则可判定^ABA为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求 AA的长；（2）、作O'吐y轴于H,如图②，利用旋转的性质得BO=BO=3,/OBO=120；则/HBO'=60再在Rt^BHO中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出 BH和O'H的长，然后利用坐标白表示方法写出 O'点的坐标；（3）、由旋转的性质得BP=BP,则O'P+BP'=O'F+BP3点关于x轴的对称点C,连结O'度x轴于P点，如图②，易得O'P+BP=Q利用两点之间线段最短可判断此时 O'P+BP值最小，接着利用待定系数法求出直线O'C的解析式为y=±^3x-3,从而得到P（邛3,0）,则O'P'OPW上,作P'HO'H于D,然后确定/DP'O'=麻J用含30度的直角三角形三边的关系可计算出 P'D和DO的长，从而可得到P'点的坐标.试题解析：⑴、如图①，丁点A（4,0）,点B（0,3）,•.OA=4,OB=3,1.AB= =5,.「△ABO绕点B逆时针旋转90°,得AA'B,O'BA=BA,'/ABA'=90・•.△ABA为等腰直角三角形，.•.AA/=BA=55；120°,得AA'BQ'•••/BO'H=90（2）、作O'Hy轴于H,如图②，•「△120°,得AA'BQ'•••/BO'H=90・•.BO=BO'I/OBO'=120°，/HBO'=60在R「BHO中，/HBO'=30.•.BH=BO'H=BH=39OH=OB+BH=3+r.•.BH=BO'H=BH=39OH=OB+BH=3+r=•.・O'点的坐标为瓦-12a? 瓦-12a? 口(3).「△ABO绕点.・O'P+BP'=O；B逆时针旋转120°,得AA'BO点P的对应点为P',BP=BP,件+B点关于x轴的对称点C,连结O'咬x轴于P点，如图②，贝UO'P+BP=OP+PC=O眦时O'P+B的值最小，•・•点C与点B关于x轴对称，，C（0,设直线O'C设直线O'C的解析式为y=kx+b,5^/3，直线O'（B解析式为y=wx—3,当y=0时,,0),,0),・•.OP=3ZI,.-.O>/P'=OP=,作P'HO，吁D,5 5./BO'眉BOA=90/BO'H=3,0°，/DP'O'=30°・O，D=O述PD=& DH=O7。,出还小D=OPTT，PD=dO'..DH=O"°y2_10=5图① c卜图②考点：几何变换综合题6.如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角4CED拼在一起.现将4CED绕点C顺时针旋转至ACED'旋转角为a.（1）如图（2）,旋转角a=30。时，点D'到CD边的距离DA=.求证：四边形ACED'为矩形；（2）如图（1）,4CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G,使得GD=E'p并说明理由.【答案】1【解析】分析：（1）过D作DN，CD于N.由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论.由D'A//CE且D'A=CE=1,得到四边形ACED为平行四边形.根据有一个角为 90。的平行四边形是矩形，即可得出结论；（2）取BC中点即为点G,连接GD'.易证△DCE'^^D'CG,由全等三角形的对应边相等即可得出结论.

(3)分两种情况讨论即可.详解：(1)D'A=1.理由如下:过D作DNLCD于N.・•/NCD'=30CD'CD=2,••ND'1CD'=12由已知，D'A//CE,且D'A=CE=1,••・四边形ACED为平行四边形.又「/DCE=90°,••・四边形ACED为矩形;(2)如图，取BC中点即为点G,连接GD'.・•/DCE=/D'CE'=90°•••/DCE£D'CG.又「D'C=DC,CG=CE',..△DC三△D'CG,•.GD'E'D.(3)分两种情况讨论： ①如图1.•••/CED=90；CD=2,CE'=1.,./CDE=30 /ECD=60；「./ECB=30；「.旋转角=/ECE=180°+30°=210°②如图2,同理可得②如图2,同理可得/E'CE=30°,.・旋转角=360-30=330°.点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.7.在Rt^ACB和4AEF中，/ACB=/AEF=90°,若点P是BF的中点，连接PC,PE.特殊发现：如图1,若点E、F分别落在边AB,AC上，则结论：PC=PE成立(不要求证明).问题探究：把图1中的4AEF绕点A顺时针旋转.(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记”~=k,当k为何值时，4CPE总是等边三角形？(请直接写出后的值，不必说)BC3」八……【答案】1PCPE成立2,PCPE成立3当k为兰3时，VCPE总是等边三3角形【解析】【分析】(1)过点P作PMLCE于点M,由EF±AE,BC±AC,得到EF//MP//CB,从而有EMMCFPPBEMMCFPPB，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC,据此得到PC=PE(2)过点F作FD±AC于点D,过点P作PM^AC于点M,连接PD,先证△DAF0^EAF,即可得出AD=AE;再证△DA彦△EAP,即可得出PD=PE最后根据FD±AC,BC±AC,PM^AC,可得FD//BC//PM,再根据点P是BF的中点，推得PC=PR再根据PD=PE即可得到结论.(3)因为4CPE总是等边三角形，可得ZCEP=60,/CAB=60;由/ACB=90,求出/CBA=30最后根据空k,公C=tan30；求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是BCBC多少即可.【详解】解：(1)PC=PE成立，理由如下：(2)PC=PEI^立，理由如下:如图2,过点P作PMLCE于点M, EF±AE,BC±AC,..EF//MP//(2)PC=PEI^立，理由如下:•.EM=MC,又.•PM^CE,.1.PC=PE如图3,过点F作FD,AC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接PD,/ZDAF=ZEAF,/FDA=ZFEA=90「在△DAF和△EAF中,•••/DAF=ZEAF,/FDA=ZFEA,AF=AF,••.△DAF^AEAF(AAS,.•.AD=AE,在ADAP和AEAP中，.AD=AE,/DAP=/EAP,AP=AP,••.△DAP^AEAP(SA§,，PD=PE.FD±AC,BC±AC,PMXAC,•.FD//BC//PM,DMFPMCPB'・・点P是BF的中点，.•.DM=MC,又•••PMXAC,PC=PD,又,.PD=PE.•.PC=PE

cc图3(3)如图4, CPE总是等边三角形,/CEP=60,°/CAB=60；•••/ACB=90,°ACBC=tan30/CBA=90-/ACB=90-60=30ACBC=tan30ACBCk=tan30.•・当kk=tan30.•・当k为43时，^CPE总是等边三角形.【点睛】考点：1.几何变换综合题；2.探究型；3.压轴题；4.三角形综合题；5.全等三角形的判定与性质；6.平行线分线段成比例.8.如图1,在Rt^ABC中，/ACB=90°,E是边AC上任意一点(点E与点A,C不重合)，以CE为一直角边作RtAECD!/ECD=90,连接BE,AD.(1)若CA=CBCE=CD①猜想线段BE,AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt^ECD绕着点C顺时针旋转锐角%得到图2,请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)若CA=8,CB=6CE=3,CD=4,Rt^ECD绕着点C顺时针转锐角a,如图3,连接BD,AE,计算的值.

【答案】（1）①BE=AD,BEXAD;②见解析；（2）125.【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出 BE=AD,BEXAD;设BE与AC的交点为点F,BE与AD的交点为点G,根据/ACB=ZECD=90彳导出/ACD=ZBCE，然后结合AC=BCCD=CE得出△AC*^BC耳贝UAD=BE,/CAD=/CBF,根据ZBFC=ZAFG,/BFC+ZCBE=90得出/AFG+ZCAD=90,°从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD^ABCEL,然后说明ZAGE=ZBGD=90°,最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案.试题解析：（1）①解：BE=AD,BEXAD②BE=AD,BEXAD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F,BE与AD的交点为点G,如图1.・•/ACB=/ECD=90,°，/ACD=/BCE'AC=BCCD=CE「.△AC*△BCE•.AD=BE/CAD=/CBFv/BFC玄AFG/BFC+ZCBE=90°，/AFG+ZCAD=90°/AGF=90°.1.BEXAD（2）证明：设BE与AC的交点为点F,BE的延长线与AD的交点为点G,如图2.・•/ACB=/ECD=90,°，/ACD=/BCE;AC=8,BC=6,CE=3,CD=4••△ACg^BCE/CAD=ZCBE•••/BFC=ZAFG/BFC+ZCBE=90/AFG+ZCAD=90°/AGF=90°.1.BEXAD/AGE=/BGD=90°邛炉二回斗£回打拼二月都+分招,即？+柢2=网"而2+腌、。方...八序+f?G2=AB2EG2+DG2=ED1-1,,.BDZ+AE2=AB1+ED1=CA2+CH2+CD2+CE2-125考点：三角形全等与相似、勾股定理.9.已知：一次函数下二一六翼一」的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B,以B为旋转中心，将4BOA逆时针旋转，得4BCD(其中。与CA与D是对应的顶点)(1)求(1)求AB的长;(2)当/BAD=45时，求D点的坐标；(3)当点C在线段AB上时，求直线BD的关系式.【答案】(1)5;(2)D(4,7)或(-4,1);(3)试题分析：(1)先分别求得一次函数>'=一彳工+4的图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据勾股定理求解即可；(2)根据旋转的性质结合△BOA的特征求解即可；(3)先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可4(1)在F=--<+4时，当莫=0时，1=4,当>'=0时，x=3S=5；(2)由题意得D(4,7)或(-4,1)；17(2)由题意得D点坐标为(4,一)6设直线BD的关系式为1=^+617•••图象过点B(0,4),D(4,—)5=4I5=4I6k__'解得1 245=4・,・直线BD的关系式为考点：动点的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型.10.(1)观察猜想如图⑴，在4ABC中，/BAC=90,AB=AC点D是BC的中点.以点D为顶点作正方形

DEFG使点A,C分别在DG和DE上，连接AE,BG,则线段BG和AE的数量关系是 ,(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于 0°,小于或等于360°),如图2,则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.⑶解决问题若BC=DE=2在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值.【答案】(1)BG=AE.(2)成立.如图②，如图②，连接AD.•「△ABC是等腰三直角角形， /BAC=90°,点D是BC的中点./ADB=90；且BD=AD.•••/BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADE,DG=DE..,.△BDG^AADE,•.BG=AE. 分••…7(3)由(2)知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③.若BC=DE=2,贝UAD=1,EF=2.在Rt^AEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.•.AF=【解析】解：(1)BG=AE.(2)成立.如图②，连接AD..「△ABC是等腰三直角角形， /BAJ90。，点D是BC的中点./ADB=90；且BD=AD.•••/BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADE,DG=DE..,.△BDG^AADE,•.BG=AE.(3)由(2)知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270。)时，BG最大，如图③.若BC=DE=2,贝UAD=1,EF=2.在Rt^AEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.AF= .即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=而.(1)问题发现如图1.4ACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ACB=90,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为.(2)拓展探究如图2QACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90，请判断AD,BE的关系，并说明理由.⑶解决问题如图3,线段PA=3点B是线段PA外一点，PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围.【答案】(1)AD=BE,AD±BE.(2)AD=BE>ADXBE.(3)5-372<PC<5胆.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质证△AC*4BCE(SAS,得AD=BE,/EBC=ZCAD,延长BE交AD于点F,由垂直定义得AD±BE.(2)根据等腰三角形性质证△AC*^BCE(SA§,AD=BE,/CAD=/CB耳由垂直定义得/OHB=90,AD±BE;(3)作AE±AP,使得AE=PA则易证△APE^^ACP,PC=BE当P、E、B共线时，BE最

小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE故5-3J2WBEW5+32.【详解】(1)结论：AD=BEAD±BE.理由：如图1中，••△ACB与△DCE均为等腰直角三角形,.•.AC=BC,CE=CD/ACB=ZACD=90；在Rt^ACD和Rt^BCE中AC=BCACD=BCECD=CE•.△ACD^ABCE(SA§,.•.AD=BE,/EBC4CAD延长BE交AD于点F,BC±AD,••/EBC-+ZCEB=90,°••/CEB=AEF••/EAD+ZAEF=90,°./AFE=90「即AD±BE..•.AD=BE,AD±BE.故答案为AD=BE,ADXBE.(2)结论：AD=BE,AD±BE.理由：如图2中，设AD交BE于H,AD交BC于O.•••△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，.•.AC=BC,CE=CD/ACB=/ECD=90,•.ACD=ZBCE,在Rt^ACD和Rt^BCE中AC=BCACD=BCE,CD=CE•.△ACD^ABCEE(SAS,.AD=BE,/CAD=/CBE••/CAO+/AOC=90；AAOC=ZBOH,••/BOH+ZOBH=90；/OHB=90；•••ADXBE,.•.AD=BE,AD±BE.(3)如图3中，作AE±AP»,使得AE=PA则易证△APE^^AC^•.PC=BE图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3/2,图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3/2,•.5-3拒WBEW5短，即5-3亚vPCW5+32-13-1

本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.12.如图1,矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,/F=30°.(1)求证：BE=CE(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到 EF与AD重合时停止转动.若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N.(如图2)①求证：△BEM^^CEN;②若AB=2,求4BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上(如图3),求sin/EBG的值.

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2;③任佟【解析】【分析】（1）只要证明△BA®4CDE即可；（2）①利用（1）可知4EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EHI±BG于H.设NG=m,贝UBG=2m,BN=EN=J3m,EB=J~6m.利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可解决问题 .【详解】••・四边形ABCD是矩形，，AB=DC,/A=/D=90；•.E是AD中点,，AE=DE•.△BAE^ACDE,.BE=CE(2)①解：如图2中，

由(1)可知，AEBC是等腰直角三角形,ZEBC土ECB=45,•••ZABC=ZBCD=90,ZEBM=ZECN=45,•••ZMEN=ZBEC=90,ZBEM=ZCEN,•.EB=EC••.△BEM^ACEN；②•.△BEM^ACEN,.•.BM=CN,设BM=CN=x,贝UBN=4-x,1Sabmn=—?x(4-x)=-—(x-2)2+2,2 21•/--<0,2.•.x=2时，ABMN的面积最大，最大值为2.设.•.x=2时，ABMN的面积最大，最大值为2.1 1•••Sabeg=-?EG?BN=-?BG?EH).•.EH=2mm,2 2.•.EH=2mm,在RtAEBH中，sinZEBH=EHEB【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题,13.已知4ABC是等腰三角形，AB=AC.(1)特殊情形：如图1,当DE//BC时，有DB_EC(填4"，之"或“二)'(2)发现探究：若将图1中的4ADE绕点A顺时针旋转a(0。＜“V180。)到图2位置，则(1)中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.(3)拓展运用：如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点，/ACB=90,且PB=1,PC=2,PA=3,求/BPC的度数.【解析】【分析】试题(1)由DE//BC,得至ijDB-EC-,结合AB=AC,得至I]DB=EQABAC(2)由旋转得到的结论判断出△DAB04EAC,得到DB=CE(3)由旋转构造出△CPg4CEA再用勾股定理计算出PE,然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可.【详解】(1)「DE//BC,DBECABAC'.AB=AC,.DB=EC故答案为二,(2)成立.证明：由①易知AD=AE,•••由旋转性质可知/DAB=ZEAC,y.'AD=AE,AB=AC△DABZ△EAC,DB=CE(3)如图，B将^CPB绕点C旋转90。得ACEA连接P匕.,.△CPB^ACEA.CE=CP=2AE=BP=1,/PCE=90「/CEP=/CPE=45,°在RtAPCE中，由勾股定理可得， PE=2J2,在4PEA中，PE=(2^/2)2=8,AE2=12=1,PA2=32=9,.PE2+AE2=AP2,△PEA是直角三角形/PEA=90,°/CEA=135,°又.・ACPB^ACEA/BPC=ZCEA=135,°【点睛】考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例 .14.(1)发现如图，点A为线段BC外一动点，且BCa,ABb.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a,b的式子表示)(2)应用AC为边，作等点A为线段BC外一动点，且BC3,AB1.如图所示，分别以AB,边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BEAC为边，作等①找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值.(3)拓展如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为2,0，点B的坐标为5,0，点P为线段AB外一动点，且PA2,PMPB,BPM90,求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.【答案】(1)CB的延长线上，a+b;(2)①DC=BE理由见解析；②BE的最大值是4;AM的最大值是3+2J2,点P的坐标为(2-J2,J2)【解析】【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)①根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE，/BAD=/CAE=60,推出△CAD^^EAB,根据全等三角形的性质得到 CD=BE②由于线段BE长的最大值二线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果；(3)连接BM,将4APM绕着点P顺时针旋转90°得至iJ^PBN,连接AN,得到4APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到 PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时