数列中恒成立和能成立问题求参答案

试卷第=page2121页，共=sectionpages2121页试卷第=page2020页，共=sectionpages2121页数列中恒成立和能成立问题求参恒成立问题求参1．已知等比数列满足，，且为等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比数列的通项公式和等差中项求解即可；（2）由（1）得，利用错位相减法得，则原不等式转化为对任意正整数恒成立，求的最小值即可.【详解】（1）因为数列是等比数列，且满足，所以①，②，又因为为等差数列，所以，即③，联立①②③解得，所以.（2）由（1）得，所以④，⑤，⑤④得，由题意即对任意正整数恒成立，所以恒成立，则即可，又因为，所以，即的取值范围是.2．已知数列的首项，前项和为，，，（）总是成等差数列.(1)证明数列为等比数列；(2)求满足不等式的正整数的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）由已知可得，化简得（），则有，两式相减化简可证得结论，（2）由（1）将不等式化为，然后分为奇数和偶数两种情况求解即可.（1）因为，，（）总是成等差数列，所以（），整理得（），所以，所以，所以，所以，因为，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，（2）由（1）可得，因为，所以，所以，当为奇数时，，得，解得，当为偶数时，，得，解得，此时无解综上得正整数n的最小值为3.3．对负整数，数、、依次成等差数列．(1)求的值；(2)若数列满足，，求的通项公式；(3)在（2）的条件下，若对任意，有，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据等差中项的性质可出关于的等式，结合为负整数可得出的值；（2）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（3）由对恒成立结合参变量分离法可得出，求出的最小值，可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：由题意可得，整理可得，为负整数，解得.（2）解：因为，等式两边同时除以可得，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，故，因此，.（3）解：由对恒成立得对均成立．，不等式两边同除，得，得对恒成立，当时，取最小值，．4．已知各项均为正数且递减的等比数列满足：成等差数列，前5项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为.若对任意的，恒有成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差中项公式得到，再利用等比数列的通项公式可解得，再利用等比数列的前项和公式求得，因此得解；（2）将（1）中代入，可得是等比数列，进而求得，再利用单调性可得，又恒成立，故.（1）根据题意，设公比为，则，由成等差数列得，即，得，解得或（舍去），所以，解得，所以.（2）由（1）得，所以，因此是以8为首项，为公比的等比数列，故，则时，单调递增，，因为对任意的，恒有成立，所以，即，即的取值范围为.5．已知是数列的前n项和，，且当时，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，若，求正整数n的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用与的关系求出通项公式即可（2）利用累乘法求出的前项积的表达式，列出关于的方程，解出即可(1)由题意知当时，，∴，整理得，由，∴，经检验，也符合．∴当时，．由也满足，∴数列的通项公式为．(2)由（1）得，∴．由，得.6．已知公比不为1的等比数列，为数列的前n项和．，且，，构成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)求使成立的最大正整数k．【答案】(1)，(2)【分析】（1）设等比数列的公比为q，利用等比数列基本量进行运算即可；（2）表示成，对k分奇偶进行讨论求解即可.(1)设等比数列的公比为q，且．因为，，，构成等差数列，所以，解得所以．所以数列的通项公式为，(2)，∴要使成立，即，即当k为偶数时，，不等式不成立所以k为奇数，设，，即，即，即，即∴整数，∴m的最大值为2此时，∴使成立的最大正整数．7．在正项数列中，已知，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值．【答案】(1)(2)100【分析】（1）根据等差中项的性质可判断数列是等差数列，求得，可得答案；（2）利用（1）的结论，求出的表达式，求得的前n项和，即可求得答案..(1)因为，所以数列是等差数列，

公差，

故，由于,故．(2)，

，令，则，

故使得的整数n的最小值为100．8．已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为.(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，任意n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．【答案】(1)an＝2·3n－1(n∈N*)，bn＝n(n∈N*)(2)【分析】（1）先利用a1，a2，a3－8成等差数列求出an＝2·3n－1，再通过{anbn}的前n项和为求出anbn＝2n·3n－1，即可求得bn；（2）直接利用等比数列的求和公式求出Sn，再利用Sn的范围即可求解.(1)因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－8，即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n≥2)，两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，因为an＝2·3n－1，所以bn＝n(n≥2)，当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，所以bn＝n(n∈N*)．(2)因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以Sn＝.因为任意n∈N*，Sn≤m恒成立，所以m≥，即实数m的最小值为.9．已知数列的前n项和为，且，，数列满足：，，，.(1)求数列，的通项公式；(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）分别判断出数列是等比数列，是等差数列，求出，的通项公式；（2）利用分离参数法得到，设，求出取得最大值，即可求出实数k的范围.(1)数列的前n项和为，，，当时，，则，而当时，，即得，因此，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则.数列中，，，则数列是等差数列，而，，即有公差，则，所以数列，的通项公式分别是：，.(2)由（1）知，，对任意恒成立，设，则，当，，为单调递减数列，当，，为单调递增数列，显然有，则当时，取得最大值，即最大值是，因此，，所以实数k的取值范围是.10．已知数列满足，.(1)求，的值；(2)设，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，否则，说明理由.【答案】(1)，(2)存在，使得是等差数列【分析】（1）分别令和，利用递推公式进行求解；（2）假设存在实数，使得是等差数列，先分别求出数列的前三项，利用求出，再利用等差数列的定义进行证明.(1)解：令，得，即，所以；令，得，即，所以；(2)解：假设存在实数，使得是等差数列，因为，所以，，，若是等差数列，则，则，解得，此时；则当时，，所以存在，使得是等差数列.11．已知数列的前n项和为，且，，为等差数列；数列满足，.(1)求数列的前n项和；(2)若对于，总有成立，求实数m的取值范围.【答案】(1).(2).【分析】（1）由等差数列的性质得，继而有，两式相减得，由此得数列是以2为公比的等比数列，求得，，再由此求得，运用分组求和法和等比数列的求和公式可求得.（2）由（1）将不等式转化为，再令，作，判断出当时，取得最大值，由此得，求解即可.(1)解：因为，，为等差数列，所以，所以，两式相减得，即，所以数列是以2为公比的等比数列，又，，所以，解得，所以，，所以，所以，所以；(2)解：由（1）得不等式为，整理得，令，则，所以当，时，，即，当，时，，即，所以当时，取得最大值，所以，即，解得.所以实数m的取值范围为.12．已知正项数列的前项和为，且，数列满足且.(1)分别求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，且，对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据与的关系和等差数列的定义可求出，根据递推公式和等比数列的定义求出；（2）根据裂项公式求出，将恒成立化为对任意正整数恒成立，再根据数列的单调性求出的最大值，代入解不等式即可得解.【详解】（1）∵，∴，所以，∴，化简.∵，∴.又，解得，∴是以1为首项，2为公差的等差数列.∴.由，可得，，又，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列.则.（2）由（1）知，则，所以，故即对任意正整数恒成立，设，，则，即，则单调递减，，，解得或.故的取值范围为.13．已知数列满足，，，表示数列的前项和(1)求证：(2)求使得成立的正整数的最大值【答案】(1)证明见解析(2)11【分析】（1）根据累加法即可证明；（2）结合数列特点根据穷举法即可求解.【详解】（1）证明：由得累加得于是.（2）解：由，，得：对任意，，进而，故数列单调递增，由（1）可知，故，于是只需求使得最大的正整数，从而只需求使得最大的正整数，由，，列举得：，，，，，，，，，，，结合数列单调递增，于是使得最大的正整数为11.能成立问题求参14．设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前项和为，且满足.(1)求数列和的通项公式；(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.（i）求；（ii）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；.(2)（i）；（ii）存在；和.【分析】（1）设的公差为，根据题意列式求出和即可求出；根据可求出；（2）（i）根据等差中项的性质得到，再根据错位相减法可求出；（ii）根据和的通项公式得到，推出，令，推出的单调性，根据单调性可知，只有和，由此可求出结果.（1）设的公差为，，则，解得，所以.由得，得，，所以，所以，即，所以.综上所述：；.（2）（i）依题意得，，，，，，所以令，则，所以，所以，所以，所以，（ii）假设存在正整数，，使，即，即成立，因为，所以，所以，所以，令，则，所以数列单调递减，，，，当时，，所以由，得；由，得，所以存在正整数，，使，且所有的正整数对为：和.15．已知数列是公差不为的等差数列，，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据已知条件及等差数列的等差中项，再利用等差数列的通项公式即可求解；（2）根据已知条件及（1）的结论，得出数列的通项公式，假设存在正整数，使得成立，由此列出关于的方程即可求解.(1)∵，即，∴，∴．设等差数列的公差为，（）则∵，∴．∴．解得（舍）或．∴，所以数列的通项公式为：．(2)由（1）知，，所以，假设存在正整数，使得成立，即．化简整理，得，即，解得或（舍）．所以存在正整数，使得成立．16．已知是递增的等比数列，且，．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成等差数列）成等比数列.若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由等比数列单调性可确定，结合等比数列通项公式构造方程求得，进而得到；（2）由等差数列通项公式可求得；假设存在满足题意的，利用等比中项和等差中项的定义可化简求得，可知不存在满足题意的项.(1)设等比数列的公比为，是递增的等比数列且，；则，解得：（舍）或；.(2)由题意知：，即；假设存在项（其中成等差数列）成等比数列，则，即；成等差数列，，代入上式得：，，化简得：，，不合题意；综上所述：不存在项（其中成等差数列）成等比数列.17．已知数列的各项均为正数，且，对任意的正整数，都有.(1)求证：是等比数列，并求出的通项；(2)设，若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求；(3)在（2）中，设，数列的前项和为，是否存在正整数、且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，(2)(3)存在，【分析】（1）由已知可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，分析可得出，，进而可得出，结合分组求和法可求得结果；（3）利用裂项求和法可求得，根据等差数列的定义可得出，可得出，求出的取值范围，结合且可求得的值，并求出的值，即可得出结论.【详解】（1）解：因为，且，所以，且，故数列为等比数列，且首项为，公比为，所以，，故.（2）解：，且，其中（常数），所以数列是以为首项、为公差的等差数列，，，，，由（1）得，，，因为，，所以.（3）解：，其中，，，假设存在正整数、且，使得、、依次成等差数列，则有，即，所以，解得，又因为，，所以，此时，所以存在满足题设条件的、，.18．已知数列的首项，．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）由两边取倒数，再减去1得到，再计算，故证得结论；（2）由（1）知的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得；（3）先假设存在，则则，，将代入化简得到，利用基本不等式推得矛盾，故假设不成立，即不存在