刚体运动学与动力学问题练习

如图14—14所示，一个圆盘半径为R，各处厚度一样，在每个象限里，各处的密度也是均匀的，但不同象限里的密度则不同，它们的密度之比为1234＝1:2:3:4,yyxZPRQ

14—15mR2R．试求圆柱体绕通过质心及两底面边缘的转轴(如图中的Z1Z2J.JABm(未必匀质)，已知该环绕长轴的转JAJB．14—17ABCDABAB30ADdBCBCACh BhA

Ma，固定它的一个角点，使板竖直悬挂，板(除去转动轴处)，贴上一个质量为m的质点，板的运动不会发生变化?已知对穿过板中心而J1Ma2614—18BCAC，在C点用铰链连接，质量不计，放在光滑水平面上，设两杆由图示位置无初速地开始运动，求铰链C着地时的速度．圆柱体初速为零落，当其降低h时，求圆柱体的速度及绳上的张力.14—20h的斜高度h'

vvCChsJ，质量在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做纯滚动，质心速度v，另一静14—21M、长为lm的质点以垂直于杆的水平初速度v0

M,v图 小球在≤45°至少多大?14—23RJ2mR2m3球的质量，以一定的初始条件在粗糙的水平面上运动，开始时球的质心速度为vC0

vCR

M，密度均匀．横截面六边形的边长为a．六角棱柱相对于它的中心轴的转动惯量J5Ma2．相 边的转动惯量是J'

5Ma2摩擦力足以任何滑动，并且一直接触斜面．某一棱刚碰上斜面之前的角速度为i，后瞬间角速度为fEkiEkf．试证明s和r

si，

rEki.先确定一半径为R的1/4圆的匀质薄板的质心，如图答14—1所示 xOy坐标中，若质心坐标为(xcyc)，由对称性知xc=yc，则根据质心的等效意义，

yyRnn)R3[sin)4x

)

sinn(3)sinn1(3x

lim[sin

)sin(i

R

43

cx c

2x

sinn()sinn1(4

]4R

sin( ()x(4 ()y4 (4 4 ，，x0y8R.故质心坐标为(0,

R 14—2Z1Z2Z坐标系与Z3Z4、Z交轴定理JJJJ

J

1mR2J7mR2

J1

13mR214—3a2d

a 6a，依照本专题例3用量纲分析法求解有 kma2

ma

ma

a2

2k()(

6k()(

(8

6)

k ，J ma 3d23d2OZ ZZ C图答 图答JJm(x2y2

2 12

JAJBmi(A

yi)

(1B2)JA，所以JBmAB2JABAO如图答144MBAOn d Jlim (i) Mdn d ni1 Md2/3dMgsin/Md2/3dMgsin/m

dJMd2d

.2Ma23

2Ma2mx23

(M

m质心相对悬点l'mxMl,l 2a,解得x22aM EPmghm为一根杆的质量，铰链CC度vA(BJml2/3，lCCE21J21ml2vC)21mv2 mgh1mv2，mgh：得v BhPABhPAvJ1mR2，对过与绳相切点P的平行轴的转动惯量2J3mR2； 降低h时速度为v，由机械能守恒定 mgh2

vJ(R

34

，所以v3

mgTmR，由转动定律mgRmR2.则T1mg3纯滚动时，无机械能损失，于是满足方程mgh

1mv21mR(v)23mv2 圆柱体与光滑墙碰撞，开始做非纯滚动，经时间tvv' CCft

v')，fRt

(CC

得v'vC，此后机械能守恒，联系第一式可得mgh'3mv'2，得h' 由机械能守恒定律，得mgs1J(221m(v2v2，又因2 v2v2

gs2gs，即螺帽匀加速直线下降v

g't，g'

g m

1v2v1v2v

m 5vRf2vf碰撞时交换质心速度度未变两vRf2vft2达到纯滚动状态，质心速度为v1v2，对球1有ftmv，

2mR2(

v1，所以

2vRv21 Rv212mR2 ftm(vv

2,v v

2mR2v (2)Ek12mv2

() mv 2v

5v2

2mR22v

5v2 2041%

Ek12m(7

，则12.(1)碰后系统质心位置从杆中点右移为x

lmv0Mm)vC，求得质心速度

mMmMmv0ml(2)由角动量守恒mv02

m 度与角速度关系

x 2(M

2(mM)x

3

(M为vJ2mr2，受到重力mgNf

mgcosN C ffmgsinfmr

fr

2mr2 5

mg(Rr)(1cos)

1

12mr

(vC)2

7mv2， 将③式代入②式得mgsinf

5

f2mgsin7mgcosN

10mg(Rr)(1cos)7(Rr)

N

) 2172因做滚动，必定f≤N，即≥ 2sin ，217217cos乒乓球与地接触点O

JmRvJ，即

v2R(.达到纯滚动时

RC

C 纯滚动质心的速度v2 2R；其中，2v＞2

3C 3C 2v＜2

，则纯滚后球向左逆时针纯滚．质心匀加速滚动，达到纯滚时间设为t3C v

gt，可得t2(vC0R0) C

5设以某棱为