2022年高考冲刺文科数学(安徽卷)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013安徽，文1)设i是虚数单位，若复数(a∈R)是纯虚数，则a的值为()．A．－3B．－1C．1D．3答案：D解析：由已知，得＝a－3－i，∵复数为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.2．(2013安徽，文2)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1，0,1}，则(RA)∩B＝()．A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1,0,1}D．{0,1}答案：A解析：∵A＝{x|x＞－1}，∴RA＝{x|x≤－1}，∴(RA)∩B＝{－2，－1}．3．(2013安徽，文3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为()．A．B．C．D．答案：C解析：开始，2＜8，s＝0＋，n＝2＋2＝4；返回，4＜8，，n＝4＋2＝6；返回，6＜8，，n＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出.4．(2013安徽，文4)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：由(2x－1)x＝0，得x＝或x＝0.故(2x－1)x＝0是x＝0的必要不充分条件．5．(2013安徽，文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()．A．B．C．D．eq\f(9,10)答案：D解析：五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．其中含甲或乙的情况有9种，故选D．6．(2013安徽，文6)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()．A．1B．2C．4D．答案：C解析：由圆的一般方程可化为圆的标准方程：(x－1)2＋(y－2)2＝5，可知圆心坐标为(1,2)，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得弦长一半为.故弦长为4.7．(2013安徽，文7)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9A．－6B．－4C．－2D．答案：A解析：由S8＝4a3知：a1＋a8＝a3，a8＝a3－a1＝2d＝a7＋d，所以a7＝d＝－2.所以a9＝a7＋2d－6.8．(2013安徽，文8)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围为()．A．{2,3}B．{2,3,4}C．{3,4}D．{3,4,5}答案：B解析：＝＝…＝可化为＝＝…＝，所以可以理解为图象上一点与坐标原点确定的斜率相等．由数形结合可得：曲线①为n＝2，曲线②为n＝3，曲线③为n＝4.9．(2013安徽，文9)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角CA．B．C．D．答案：B解析：∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b.又b＋c＝2a,∴由①②可得，a＝b，c＝b，∴cosC＝＝.∴C＝π.10．(2013安徽，文10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为()．A．3B．4C．5D．答案：A解析：由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0，得x＝x1或x＝x2，即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解，由题可知f(x)的草图为：由数形结合及x1＜x2可知满足f(x)＝x1的解有2个，满足f(x)＝x2的解仅有1个，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实数根个数为3.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013安徽，文11)函数的定义域为__________．答案：(0,1]解析：由0＜x≤1.∴该函数的定义域为(0,1]．12．(2013安徽，文12)若非负变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为__________．答案：4解析：约束条件表示的可行域如图阴影部分．由线性规划知识得最优解为(4,0)，令z＝x＋y，则zmax＝4＋0＝4.13．(2013安徽，文13)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为__________．答案：解析：∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b∴a·b＝－|b|2，∴cos〈a，b〉＝.14．(2013安徽，文14)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x答案：x(x＋1)解析：∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，∴f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝x(x＋1)．15．(2013安徽，文15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ＝时，S为等腰梯形③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为答案：①②③⑤解析：当CQ＝时，D1Q2＝D1C12＋C1Q2，AP2＝AB2＋BP2，所以D1Q＝AP.又因为AD1∥PQ，AD1＝2PQ，所以②正确；当0＜CQ＜时，截面为APQM，所以为四边形，故①也正确，如图①所示．图①如图②，当CQ＝时，由△QCN∽△QC1R得，即，C1R＝，故③正确．图②如图③所示，当CQ＝1时，截面为APC1E.可知AC1＝，EP＝且APC1E为菱形，＝，故⑤正确．当＜CQ＜1时，截面为五边形APQMF.所以④错误．图③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(2013安徽，文16)(本小题满分12分)设函数f(x)＝sinx＋.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变化得到．答案：（1）；（2）先将y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得y＝sinx的图象；再将y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得y＝f(x)的图象．解析：(1)因为f(x)＝sinx＋sinx＋cosx＝sinx＋cosx＝.所以当x＋＝2kπ－，即x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取最小值.此时x的取值集合为.(2)先将y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得y＝sinx的图象；再将y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得y＝f(x)的图象．17．(2013安徽，文17)(本小题满分12分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，，估计值．答案：（1）；（2）分。解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知，＝，即n＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5.据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为，.根据样本茎叶图可知，＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此.故的估计值为分．18．(2013安徽，文18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．答案：（1）略；（2）解析：(1)证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD．再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC，因此BD⊥PC．(2)解：因为E是PA的中点，所以VP－BCE＝VC－PEB＝VC－PAB＝VB－APC．由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD．因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝，AC＝，BO＝1.又PA＝，PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC，故S△APC＝PO·AC＝3.由(1)知，BO⊥面APC，因此VP－BCE＝VB－APC＝··BO·S△APC＝.19．(2013安徽，文19)(本小题满分13分)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－aa＋2sinx满足.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2，求数列{bn}的前n项和Sn.答案：（1）n＋1；（2）n2＋3n＋1－.解析：(1)由题设可得，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx．对任意n∈N*，＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8，解得{an}的公差d＝1，所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.(2)由bn＝2＝2＝2n＋＋2知，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－.20．(2013安徽，文20)(本小题满分13分)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x|f(x)＞0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．答案：（1）；（2）解析：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a＞0)有两个实根x1＝0，，故f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I＝，区间长度为.(2)设d(a)＝，则d′(a)＝，令d′(a)＝0，得a＝1.由于0＜k＜1，故当1－k≤a＜1时，d′(a)＞0，d(a)单调递增；当1＜a≤1＋k时，d′(a)＜0，d(a)单调递减．因此当1－k≤a≤1＋k时，d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．而，故d(1－k)＜d(1＋k)．因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k,1＋k]上取得最小值.21．(2013安徽，文21)(本小题满分13分)已知椭圆C：(a＞b＞0)的焦距为4，且过点P(，)．(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点．过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,)，连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．答案：（1）；（2）直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．解析：(1)因为焦距为4，所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(，)，所以，故a2＝8，b2