2021年中考数学专题复习 第5讲-相似三角形存在性问题

相似三角形存在性问题第5讲相似三角形存在性问题第5讲相似三角形存在性综合知识总结相似判定：判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．思路总结：根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．【小结】搞定相似存在性问题，需解决好以下两个问题：一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

经典例题【例1】如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）．点Q是抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．

【例2】如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求tan∠ABC的值；（3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标．

【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）点为线段上一动点（点不与点，重合），过点作轴的垂线交（1）中的抛物线于点，当与相似时，求的面积．

【例4】如图，已知抛物线与直线交于A、B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（-3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【例5】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像经过点A（-2，0），C（0，-6），其对称轴为直线x=2．（1）求该二次函数的解析式；（2）点B是该二次函图像与x轴的另一个交点，点D是直线x=2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图像上的动点，且位于直线x=2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．

【例6】抛物线L：经过点A（0,1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D．F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．【例1】（1）抛物线：；（2）思路：考虑到△ABC和△BOE有一组公共角，公共角必是对应角．∠ABC的两边BA、BC与∠OBE的两边BO、BE成比例即可，故可得：或．解得：或，故E点坐标为或．当E点坐标为时，直线OE解析式为，联立方程：，解得：，，此时Q点坐标为或；当E点坐标为时，直线OE解析式为，联立方程：，解得：，，此时Q点坐标为或．综上所述，Q点坐标为或或或．说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果．

【例2】（1）；（2）；（3）思路：平行得相等角，构造两边成比例若点D为抛物线的顶点，则D点坐标为（3，-2），∴直线CD解析式为：y=x-5，又直线AB解析式为：y=x+9，故CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD，故点E在点C左侧，考虑∠BAC的两边AB、AC与CE、CD成比例：或解得：CE=9或2，故E点坐标为（-3，1）或（4，1）．

【例3】（1）解析式：；D点坐标为．（2）由B、C两点坐标易求直线BC解析式：，不难得出∠CPQ=∠BCO=∠OBC，即在△CPQ和△ABC中，∠CPQ=∠ABC．接下来求角两边对应成比例：表示点：设P点坐标为（0<m<4），则Q点坐标为，表示线段：，，分类讨论情况一：当△CPQ∽△ABC时，则，代入得：，解得：，（舍），对应P点坐标为，，．情况二：当△CPQ∽△CBA时，则，代入得：，解得：，（舍），对应P点坐标为，，．综上所述，当与相似时，△PQC的面积为或．

【例4】（1）解析式：；（2）连接MC，则MC=MD，故问题可转化为的最大值．如图当B、C、M三点共线时，为最大值．（3）思路：已知直角构造直角边成比例，化斜为直考虑到A（0，3）、C（-3，0）、B（-4，1），易得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，且两直角边之比，若△APQ与△ABC相似，则或．考虑到AP、PQ均为斜线，并不容易表示，可转化比例：过点P作PH⊥y轴交y轴于H点，则表示点：设P点坐标为（m>0），则H点坐标为，表示线段：，分类讨论：情况一：当时，即，由题意得：，解得：m=1，对应的P点坐标为（1，6）．情况二：当时，即，由题意得：，解得：（舍）．综上所述，P点坐标为（1，6）．【例5】（1）解析式：；（2）考虑到∠BED=90°=∠AOC，故只需再满足有一组锐角相等即可．情况一：当∠BDE=∠CAO时，即，如图，构造三垂直相似：△DNE∽△EMB，相似比为，设E点坐标为，则，，考虑到，即，解得：，（舍），故E点坐标为（4，-6）．情况二：当∠BDE=∠ACO时，即，如图，构造三垂直相似：△DNE∽△EMB，相似比，同上设点E坐标为，则，，考虑到，即，解得：，（舍），∴E点坐标为，综上所述，E点坐标为（4，-6）或．【例6】（1）解析式：；（2）题目要求恰好有2个P点，且是求m的值，所以一定是个特殊位置．考虑到∠DCP=∠FOP，故有两种对应关系：①若△DCP∽△FOP，无论m为何值，有且仅有一个这样的P点使得△DCP∽△FOP．②若△DCP∽△POF，不难求得∠DPF=90°，作辅助圆：连接DF，以DF为直径作圆，当圆与线段OC相离时，P点个数为0；当圆与线段OC相切时，P点个数为1；当圆与线段OC相交时，P点个数为2．∴圆与线段相切的时候，有且仅有一个P点，使得△DCP∽△POF．由题意得：C（0，1+m），故D（2，1+m），又F（1，0），可得DF中点E点坐标为，由圆E与y轴相切，得：EP=EF，即，解得：，（舍），故m的值为，若△DCP∽△FOP，P点坐标为，若△DCP∽△POF，P点坐标为．但是，若圆E与y轴相交，且其中一个交点与①中的点是同一点，则同样满足恰有2个P点，使得△PCD与△POF相似，即此P点既满足△DCP∽△F