复变函数与积分变换第四章级数

复变函数与积分变换第四章级数第一页，共八十七页，2022年，8月28日第四章级数§4.1复数项级数§4.2泰勒级数§4.3罗朗级数第二页，共八十七页，2022年，8月28日主要内容

本章介绍复变函数级数的概念,重点是Taylor级数、Laurent级数及其展开.第三页，共八十七页，2022年，8月28日1复数序列2复数项级数§4.1

复数项级数3复变函数项级数4幂级数5幂级数的运算性质第四页，共八十七页，2022年，8月28日4.1.1复数序列称为复数列,简称为数列,记为定义4.1设是数列，是常数.如果e>0,存在正整数N,使得当n>N时,不等式成立,则称当n时,收敛于或称是的极限,记作或第五页，共八十七页，2022年，8月28日复数列收敛与实数列收敛的关系定理4.1

的充分必要条件是该结论说明:判别复数列的敛散性可转化为判别两个实数列的敛散性.第六页，共八十七页，2022年，8月28日4.1.2复数项级数为复数项级数.称为该级数的前n项部分和.设是复数列,则称第七页，共八十七页，2022年，8月28日级数收敛与发散的概念定义4.2如果级数的部分和数列收敛于复数S,则称级数收敛,这时称S为级数的和,并记做如果不收敛，则称级数发散.第八页，共八十七页，2022年，8月28日复数项级数与实数项级数收敛的关系定理4.2级数收敛的充要条件是都收敛,并且说明复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题第九页，共八十七页，2022年，8月28日解因为级数收敛,所以原复数项级数发散.练习级数是否收敛?发散,而级数第十页，共八十七页，2022年，8月28日级数收敛的必要条件推论4.1如果级数收敛,则重要结论:

发散.于是在判别级数的敛散性时,可先考察?第十一页，共八十七页，2022年，8月28日非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.定义4.3设是复数项级数,如果正项级数收敛,则称级数绝对收敛.

绝对收敛级数的性质定理4.3若级数绝对收敛,则它收敛,并且第十二页，共八十七页，2022年，8月28日补充因为所以综上可得:因此,如果和都绝对收敛时,也绝对收敛.绝对收敛和都绝对收敛.第十三页，共八十七页，2022年，8月28日都收敛,故原级数收敛.但是级数条件收敛,所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的.解因为例4.1级数是否绝对收敛?第十四页，共八十七页，2022年，8月28日1.复变函数项级数的定义(2)称为区域

G

内(1)称为区域

G

内的复变函数序列。定义设复变函数在区域

G

内有定义，的复变函数项级数，简记为§4.1.3复变函数项级数第十五页，共八十七页，2022年，8月28日2.复变函数项级数收敛的定义(1)称为级数的部分和。定义设为区域G内的复变函数项级数，称级数在点收敛。z0则称级数在区域

D

内收敛。(3)如果存在区域D

G

，有此时，称(2)如果对

G

内的某一点，有z0则为和函数，D

为收敛域。§4.1.3复变函数项级数第十六页，共八十七页，2022年，8月28日1幂级数的概念2幂级数的敛散性3幂级数的性质§4.1.4幂级数第十七页，共八十七页，2022年，8月28日(1)下面主要是对

型幂级数进行讨论，所得到的结论(Ⅱ)注1.幂级数的概念其中，

为复常数。定义称由下式给出的复变函数项级数为幂级数：(

I

)特别地，当

时有(Ⅱ)只需将换成

即可应用到型幂级数。(

I

)z(2)对于型幂级数，在

点肯定收敛。(Ⅱ)第十八页，共八十七页，2022年，8月28日定理4.6(Abel定理)若级数在处收敛，则当时,级数绝对收敛;若级数在处发散，则当时,级数发散.2.幂级数的敛散性第十九页，共八十七页，2022年，8月28日(1)对所有的复数z都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.由,幂级数收敛情况有三种:(2)除z=0外都发散.此时,级数在复平面内除z=0外处处发散.第二十页，共八十七页，2022年，8月28日

(3)存在一点z1≠0,使级数收敛(此时,根据阿贝尔定理知,它必在圆周|z|=|z1|内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使级数发散.((肯定|z2|≥|z1|);根据阿贝尔定理的推论知,它必在圆周|z|=|z2|外部发散.)如下图第二十一页，共八十七页，2022年，8月28日..收敛圆收敛半径收敛圆周

在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R,使得级数在圆周|z|=R内部绝对收敛,在圆周|z|=R外部发散.幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域动画演示第二十二页，共八十七页，2022年，8月28日幂级数的收敛范围是因此，事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以为中心的圆域.收敛半径根据前面所述的三种情形,分别规定为论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数进行具体分析.第二十三页，共八十七页，2022年，8月28日例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.第二十四页，共八十七页，2022年，8月28日解级数收敛,级数发散.绝对收敛,且有在内,级数例4.2求级数的和函数与收敛半径.所以收敛半径第二十五页，共八十七页，2022年，8月28日收敛半径的计算方法(一)(3)当时,收敛半径(1)当时,收敛半径(2)当时,收敛半径定理4.7

(比值法)设级数如果则第二十六页，共八十七页，2022年，8月28日收敛半径的计算方法(二)(3)当时,收敛半径(1)当时,收敛半径(2)当时,收敛半径定理4.8

(根值法)设级数如果则第二十七页，共八十七页，2022年，8月28日例求幂级数的收敛半径与收敛圆。由解收敛圆为收敛半径为例求幂级数的收敛半径与收敛圆。由解收敛圆为收敛半径为得得第二十八页，共八十七页，2022年，8月28日例求幂级数的收敛半径与收敛圆。收敛圆为故级数的收敛半径为由于解第二十九页，共八十七页，2022年，8月28日练习求幂级数的收敛半径,其中p为正整数.解

因为所以于是收敛半径第三十页，共八十七页，2022年，8月28日令则在内有1.幂级数的四则运算性质P68

4.1.5幂级数的运算性质第三十一页，共八十七页，2022年，8月28日2.幂级数的分析性质即(3)在收敛圆内可以逐项积分，即(1)函数在收敛圆内解析。设性质则(2)函数的导数可由其幂函数逐项求导得到，P69

4.1.5幂级数的运算性质第三十二页，共八十七页，2022年，8月28日3.幂级数的代换(复合)性质

在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。又设函数在

内解析，且满足设级数

在内收敛，和函数为性质当时，有则4.1.5幂级数的运算性质第三十三页，共八十七页，2022年，8月28日解方法一

利用乘法运算性质方法二

利用逐项求导性质第三十四页，共八十七页，2022年，8月28日解其收敛半径为收敛圆为第三十五页，共八十七页，2022年，8月28日一Taylor定理二将函数展开成Taylor级数§4.2泰勒级数第三十六页，共八十七页，2022年，8月28日实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具.对于复变函数,我们已经知道幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数.在本节我们将证明解析函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数—Taylor级数.这是解析函数的重要特征.第三十七页，共八十七页，2022年，8月28日z0DC一、泰勒(Taylor)定理则当时，有定理设函数在区域

D

内解析，C

为

D

的边界，其中，证明(略)

Rl

为

D

内包围

点的z0的任意一条闭曲线。l

P70定理

4.10

(进入证明?)第三十八页，共八十七页，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)定理注(1)为什么只能在圆域上展开为幂级数，z0RDC而不是在整个解析区域

D

上展开？回答这是由于受到幂级数本身的收敛性质的限制：

幂级数的收敛域必须是圆域。

幂级数一旦收敛，其和函数一定解析。第三十九页，共八十七页，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)定理注(2)展开式中的系数还可以用下列方法直接给出。方法一第四十页，共八十七页，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)定理注(2)展开式中的系数还可以用下列方法直接给出。方法二z0RDCl第四十一页，共八十七页，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)定理注(3)对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，其结果都是一样的，即具有唯一性。将函数在点展开为幂级数。比如方法一

利用已知的结果(§4.2

):方法二

利用泰勒定理

:方法三

利用长除法。(长除法)第四十二页，共八十七页，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)定理注(4)对于一个给定的函数，能不能在不具体展开为幂级数的情况下，就知道其收敛域？可以知道。函数在点展开为泰勒级数，其收敛半径结论等于从点到的最近一个奇点的距离。(1)幂级数在收敛圆内解析，因此奇点

不可能理由在收敛圆内；(2)奇点

也不可能在收敛圆外，不然收敛半径还可以扩大，故奇点

只能在收敛圆周上。第四十三页，共八十七页，2022年，8月28日将函数展开为Taylor级数的方法:1.直接方法;2.间接方法.1.直接方法由Taylor定理计算级数的系数然后将函数f(z)在z0展开成幂级数.二、将函数展开成泰勒级数第四十四页，共八十七页，2022年，8月28日例求在的Taylor展开式.所以它在处的Taylor级数为并且收敛半径因为在复平面上解析，且第四十五页，共八十七页，2022年，8月28日2.间接方法借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,逐项积分等)和其它的数学技巧(代换等),求函数的Taylor展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.第四十六页，共八十七页，2022年，8月28日附:常见函数的Taylor展开式第四十七页，共八十七页，2022年，8月28日第四十八页，共八十七页，2022年，8月28日例求在点邻域内的Taylor级数.解是的惟一奇点,且

故收敛半径逐项求导，得因为第四十九页，共八十七页，2022年，8月28日例将函数在处展开成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围.当即时,第五十页，共八十七页，2022年，8月28日故收敛半径函数有奇点解(1)(2)第五十一页，共八十七页，2022年，8月28日§4.3洛朗级数一、含有负幂次项的“幂级数”二、罗朗(Laurent)定理三、将函数展开为洛朗级数的方法第五十二页，共八十七页，2022年，8月28日一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析引例根据前面的讨论已知，函数

在

点的幂级数展开式为事实上，该函数在整个复平面上仅有一个奇点，但正是这样一个奇点，使得函数只能在内展开为

z

的幂级数，而在如此广大的解析区域内不能展开为

z

的幂级数。

有没有其它办法呢？一粒老鼠屎，坏了一锅汤！第五十三页，共八十七页，2022年，8月28日一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析设想这样一来，在整个复平面上就有由，有从而可得第五十四页，共八十七页，2022年，8月28日一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析启示如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。

在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？下面将讨论下列形式的级数:双边幂级数第五十五页，共八十七页，2022年，8月28日一、含有负幂次项的“幂级数”分析2.级数的收敛特性将其分为两部分：正幂次项部分与负幂次项部分。(A)(B)(1)对于

(A)

式，其收敛域的形式为(2)对于

(B)

式，其收敛域的形式为根据上一节的讨论可知：第五十六页，共八十七页，2022年，8月28日收敛半径R收敛域收敛半径R2收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分第五十七页，共八十七页，2022年，8月28日z0R1R2z0R2R1两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分HH第五十八页，共八十七页，2022年，8月28日一、含有负幂次项的“幂级数”结论2.级数的收敛特性(1)如果级数收敛，则其收敛域“一定”为环域：①如果只含正幂次项(或者加上有限个负幂次项)，特别地则其收敛域为：或②如果只含负幂次项(或者加上有限个正幂次项)，则其收敛域为：

上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。第五十九页，共八十七页，2022年，8月28日一、含有负幂次项的“幂级数”结论2.级数的收敛特性(1)如果级数收敛，则其收敛域“一定”为环域：而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。(2)级数在收敛域内其和函数是解析的,

因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。第六十页，共八十七页，2022年，8月28日R2z0R1D二、罗（洛）朗(Laurent)定理设函数在圆环域定理C

为在圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。解析,内在此圆环域中展开为则

一定能其中，证明(略)zC

P75定理

4.12

(进入证明?)第六十一页，共八十七页，2022年，8月28日说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的罗朗(Laurent)级数.第六十二页，共八十七页，2022年，8月28日注(1)展开式中的系数可以用下面得方法直接给出。二、罗朗(Laurent)定理R2zz0R1CD第六十三页，共八十七页，2022年，8月28日注(2)罗朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为罗朗级数二、罗朗(Laurent)定理的解析部分和主要部分。(3)一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项的级数是唯一的。(4)系数?(5)若函数在圆环内解析，则在在此圆环内的罗朗展开式就是泰勒展开式。第六十四页，共八十七页，2022年，8月28日三、将函数展开为罗朗级数的方法1.直接展开法

根据罗朗定理，在指定的解析环上R2zz0R1CD直接计算展开系数：

有点繁！有点烦！第六十五页，共八十七页，2022年，8月28日三、将函数展开为罗朗级数的方法根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展开式2.间接展开法第六十六页，共八十七页，2022年，8月28日三、将函数展开为罗朗级数的方法都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前，注意的展开区域

)分为若干个解析环。比如设函数的奇点为展开点为则复平面被分为四个解析环：r1r2r3第六十七页，共八十七页，2022年，8月28日12函数有两个奇点：以展开点为中心，将复平面分为三个解析环：解(1)将复平面分为若干个解析环①②③(2)将函数进行部分分式分解第六十八页，共八十七页，2022年，8月28日解①当时，(3)将函数在每个解析环内分别展开12第六十九页，共八十七页，2022年，8月28日解②当时，(3)将函数在每个解析环内分别展开12第七十页，共八十七页，2022年，8月28日解③当时，(3)将函数在每个解析环内分别展开12第七十一页，共八十七页，2022年，8月28日函数有两个奇点：以展开点为中心，解(1)将复平面分为若干个解析环注意：不需要将函数进行部分分式分解。①②将复平面分为两个解析环：12第七十二页，共八十七页，2022年，8月28日解①当时，(2)将函数在每个解析环内分别展开12第七十三页，共八十七页，2022年，8月28日解②当时，(2)将函数在每个解析环内分别展开12第七十四页，共八十七页，2022年，8月28日(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。小结：把f(z)展成洛朗(Laurent)级数的方法：第七十五页，共八十七页，2022年，8月28日

根据区域判别级数方式：在圆域内需要把f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数。第七十六页，共八十七页，2022年，8月28日内展开成Laurent级数.练习

将函数在圆环域处都解析,并且可分解为函数f(z)在z=1和z=2处不解析,在其它点第七十