第24章 圆 单元练习：人教版数学九年级上册

圆一、选择题1.如图1，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()图1A.AP＝2OP B.CD＝2OP C.OB⊥AC D.AC平分OB2.如图2，点A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E.若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为()图2A.140° B.70° C.110° D.80°3.如图3，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB，则∠BAC等于()图3A.20° B.25° C.30° D.50°4.如图4，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO.以点O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D，则下列结论中错误的是()图4A.DC＝DT B.AD＝eq\r(,2)DT C.BD＝BO D.2OC＝5AC5.如图5①所示物体由两个圆锥组成，在从正面看到的形状图中(如图②)，∠A＝90°，∠ABC＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为()图5A.2 B.eq\r(3) C.eq\f(3,2) D.eq\r(2)6.如图6，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是()图6A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A，B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线7.如图7，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，则线段DI与DB的关系是()图7A.DI＝DB B.DI＞DB C.DI＜DB D.不确定8.如图8所示，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积为()图8A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－\r(3),2) C.eq\f(π－\r(3),4) D.eq\f(\r(3),2)π二、填空题9.若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为________.10.若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是________度.11.如图9，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为________.图912.如图10，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形的边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为________cm.图1013.如图11，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则eq\o(BD,\s\up8(︵))所对的圆心角∠BOD的大小为________度.图1114.如图12，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，eq\o(FA1,\s\up8(︵))，eq\o(A1B1,\s\up8(︵))，eq\o(B1C1,\s\up8(︵))，eq\o(C1D1,\s\up8(︵))，eq\o(D1E1,\s\up8(︵))，eq\o(E1F1,\s\up8(︵))，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当AB＝1时，曲线FA1B1C1D1E1F1的长度是________.图12三、解答题15.如图13，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由.图1316.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如图14①，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E；(2)如图②，四边形ABCD内接于⊙O，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.图14

参考答案1.A[解析]∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD＝90°.∵四边形OBCD是平行四边形,∴CD∥OB,CD＝OB,∴∠CPO＝90°,即OB⊥AC,∴选项C正确;∴CP＝AP.又∵OA＝OD,∴OP是△ACD的中位线,∴CD＝2OP,∴选项B正确;∴CD＝OB＝2OP,即P是OB的中点,∴AC平分OB,∴选项D正确.2.C[解析]如图,在优弧AB上取一点P,连接AP,BP.∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC＝∠OEC＝90°.∵∠DCE＝40°,∴∠AOB＝360°－90°－90°－40°＝140°,∴∠P＝eq\f(1,2)∠AOB＝70°.∵A,C,B,P四点共圆,∴∠P＋∠ACB＝180°,∴∠ACB＝180°－70°＝110°.故选C.3.B[解析]如图,连接OA.因为PA是⊙O的切线,所以∠PAO＝90°.因为∠P＝10°,所以∠POA＝80°.因为OA＝OB,所以∠ABO＝∠BAO＝50°.因为OC∥AB,所以∠BOC＝∠ABO＝50°,所以∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝25°.因此本题选B.4.D[解析]如图,连接OD.∵OT是半径,OT⊥AB,∴DT是⊙O的切线.∵DC是⊙O的切线,∴DC＝DT.故选项A正确.∵OA＝OB,∠AOB＝90°,∴∠A＝∠B＝45°.∵DC是切线,∴CD⊥OC,∴∠ACD＝90°,∴∠A＝∠ADC＝45°,∴AC＝DC＝DT,∴AD＝eq\r(,2)CD＝eq\r(,2)DT.故选项B正确.∵OD＝OD,OC＝OT,DC＝DT,∴△DOC≌△DOT(SSS),∴∠DOC＝∠DOT.∵OA＝OB,OT⊥AB,∠AOB＝90°,∴∠AOT＝∠BOT＝45°,∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°,∴∠BOD＝∠ODB＝67.5°,∴BO＝BD,故选项C正确.故选D.5.D[解析]∵∠A＝90°,AB＝AD,∴∠ABD＝45°.又∵∠ABC＝105°,∴∠CBD＝60°.又∵CB＝CD,∴△CBD是等边三角形.设AB的长为R,则BD的长为eq\r(2)R.∵上面圆锥的侧面积为1,即1＝eq\f(1,2)lR,∴l＝eq\f(2,R),∴下面圆锥的侧面积为eq\f(1,2)·eq\f(2,R)·eq\r(2)R＝eq\r(2).故选D.6.B[解析]∵PA,PB为圆O的切线,∴PA＝PB,∴△BPA是等腰三角形,故A选项正确.由圆的对称性可知：AB⊥PD,但不一定平分,故B选项不一定正确.连接OB,OA,∵PA,PB为圆O的切线,∴∠OBP＝∠OAP＝90°,∴点A,B在以OP为直径的圆上,故C选项正确.∵△BPA是等腰三角形,PD⊥AB,∴PC为△BPA的边AB上的中线,故D选项正确.7.A[解析]连接BI,如图.∵△ABC的内心为I,∴∠1＝∠2,∠5＝∠6.∵∠3＝∠1,∴∠3＝∠2.∵∠4＝∠2＋∠6,∠DBI＝∠3＋∠5,∴∠4＝∠DBI,∴DI＝DB.故选A.8.B[解析]如图,先求出AC,AB,再根据S阴影＝S扇形ACC′－S△AB′C′－S扇形ADB′求解即可.在Rt△ABC中,∵∠BAC＝30°,∴AC＝2BC＝2,∴AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(3);由旋转得AB＝AB′＝eq\r(3),BC＝B′C′＝1,∠B′AC′＝∠BAC＝30°,∠CAC′＝90°,∴∠CAB′＝60°,∴S阴影＝S扇形ACC′－S△AB′C′－S扇形ADB′＝eq\f(90×π×22,360)－eq\f(1,2)×eq\r(3)×1－eq\f(60×π×（\r(3)）2,360)＝eq\f(π－\r(3),2).9.eq\f(3π,4)[解析]本题考查了弧长公式l＝eq\f(nπr,180).∵n＝45,r＝3,∴l＝eq\f(nπr,180)＝eq\f(45×π×3,180)＝eq\f(3π,4),因此本题答案为eq\f(3π,4).10.120[解析]圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径是6,弧长为2π×2＝4π,由弧长公式,得4π＝eq\f(nπ×6,180),解得n＝120,所以该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为120°.11.52°[解析]∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠B＋∠D＝180°.∵∠B＝64°,∴∠D＝116°.又∵点D关于AC的对称点是点E,∴∠AEC＝∠D＝116°.又∵∠AEC＝∠B＋∠BAE,∴∠BAE＝52°.12.6π[解析]这三段弧的半径为正三角形的边长,即6cm,圆心角为正三角形的内角度数,即60°,所以每段弧的长度为eq\f(60×π×6,180)＝2π(cm),所以该莱洛三角形的周长为2π×3＝6π(cm).13.144[解析]∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,∴OB⊥AB,OD⊥DE.∵正五边形每个内角均为108°,∴∠BOD＝∠C＋∠OBC＋∠ODC＝108°×3－90°×2＝144°.14.7π[解析]eq\o(FA1,\s\up8(︵))的长＝eq\f(60×π×1,180)＝eq\f(π,3),eq\o(A1B1,\s\up8(︵))的长＝eq\f(60×π×2,180)＝eq\f(2π,3),eq\o(B1C1,\s\up8(︵))的长＝eq\f(60×π×3,180)＝π,eq\o(C1D1,\s\up8(︵))的长＝eq\f(60×π×4,180)＝eq\f(4π,3),eq\o(D1E1,\s\up8(︵))的长＝eq\f(60×π×5,180)＝eq\f(5π,3),eq\o(E1F1,\s\up8(︵))的长＝eq\f(60×π×6,180)＝2π,∴曲线FA1B1C1D1E1F1的长度＝eq\f(π,3)＋eq\f(2π,3)＋…＋2π＝eq\f(21π,3)＝7π.15.解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径,∴AD⊥BC.在Rt△ABD和Rt△ACD中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,AB＝AC，))∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).(2)直线DE与⊙O相切.理由如下：连接OD,如图所示.由Rt△ABD≌Rt△ACD知BD＝CD.又∵OA＝OB,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC.∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径,∴直线DE与⊙O相切.16.解：(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠E＝∠ECD－∠EBD＝eq\f(1,2)(∠ACD－∠ABC)＝eq\f(1,2)∠A＝eq\f(1,2)α.(2)证明：如图,延长BC到点T.∵四边形FBCD内接于⊙O,∴