九年级二模数学汇编：尺规作图

14/14初三二模数学汇编：尺规作图一．填空题（共1小题）1．（2021•东城区二模）数学课上，李老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．求作：弧BC的中点D．同学们分享了四种方案：①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．上述四种方案中，正确的方案的序号是．二．解答题（共8小题）2．（2021•朝阳区二模）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＞AC．求作：BC边上的高AD．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于点E；②分别以点B，E为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点F（不与点A重合）；③连接AF交BC于点D．线段AD就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AE，EF，BF．∵AB＝AE＝EF＝BF，∴四边形ABFE是（）（填推理依据）．∴AF⊥BE．即AD是△ABC中BC边上的高．3．（2021•海淀区二模）已知：∠MAN，B为射线AN上一点．求作：△ABC，使得点C在射线AM上，且∠ABC＝∠CAB．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E；②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交于点F；③连接FB，交射线AM于点C．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接BD，EF，AF，∵点B，E，F在⊙A上，∴∠EBF＝∠EAF（）（填写推理的依据）．∵在⊙A中，BD＝EF，∴∠DAB＝．∴∠ABC＝∠CAB．4．（2021•房山区二模）已知：射线AB．求作：△ACD，使得点C在射线AB上，∠D＝90°，∠A＝30°．作法：如图，①在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点C；②以C为圆心，OC为半径作弧，在射线AB上方交⊙O于点D；③连接AD，CD．则△ACD即为所求的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADC＝°．∵OD＝OC＝CD，∴△OCD等边三角形．∴∠DOC＝60°．∵点A，D都在⊙O上，∴∠DAC＝．（填推理的依据）∴∠DAC＝30°．△ACD即为所求的三角形．5．（2021•西城区二模）下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线OA，OB于点P，点Q，连接PQ∠OPQ＝°，理由是第二步过点C作PQ的垂线，交PQ于点D，交于点EPD＝DQ，＝第三步作射线OE射线OE平分∠AOB射线OE为所求作6．（2021•顺义区二模）已知：直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：①在直线l上任取两点A、B；②分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径作弧，在直线l下方两弧交于点C；③作直线PC．所以直线PC为所求作的垂线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连结AP、AC、BP、BC．∵AP＝AC，BP＝BC，AB＝AB，∴△APB≌△ACB（填推理依据）．∴∠PAB＝∠CAB，∴PC⊥AB（填推理依据）．7．（2021•东城区二模）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝．∵OC＝CD，∴∠MOD＝．∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（）（填推理的依据）．8．（2021•石景山区二模）如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点．求作：线段DE，使得点E在线段AC上，且DE＝BC．作法：①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；②作直线MN，交AC于点E；③连接DE．所以线段DE即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AM＝CM，AN＝CN，∴MN是AC的垂直平分线（）．（填推理的依据）∴点E是AC的中点．∵点D是AB的中点，∴DE＝BC（）．（填推理的依据）9．（2021•昌平区二模）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．作法：如图，①在射线OB上任取一点C；②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D，交OB于点E，连接DC．所以∠ADC即为所求的角．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）．证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，∴OD＝（），∴∠AOB＝（），∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，∴∠ADC＝2∠AOB．

2021北京八区初三二模数学汇编：尺规作图参考答案一．填空题（共1小题）1．【分析】①利用垂径定理可以证明＝．②证明BC⊥OD，可得结论．③利用圆周角定理可得结论．④利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．【解答】解：①由∵OD⊥BC，∴＝．②如图2中，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵OD∥AC，∴OD⊥BC，∴＝．③∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∴＝．④如图4中，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BE，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAC，∴＝．故答案为：①②③④．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．二．解答题（共8小题）2．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）证明四边形ABFE是菱形，可得结论．【解答】解：（1）依作法补全图形，如图所示：（2）连接AE，EF，BF．∵AB＝AE＝EF＝BF，∴四边形ABFE是菱形（四条边相等的四边形是菱形），∴AF⊥BE．即AD是△ABC中BC边上的高．故答案为：菱形，四条边相等的四边形是菱形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）连接EF，AF，利用圆周角定理证明可得结论．【解答】解：（1）如图即为所求．（2）连接EF，AF，∵点B，E，F在⊙A上，∴∠EBF＝∠EAF（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）（填写推理的依据）．∵在⊙A中，BD＝EF，∴∠DAB＝∠EAF，∴∠ABC＝∠CAB．故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，∠EAF．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）连接OD，证明△ODC是等边三角形可得结论．【解答】解：（1）补全的图形如图所示：（2）连接OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°．∵OD＝OC＝CD，∴△OCD等边三角形．∴∠DOC＝60°．∵点A，D都在⊙O上，∴∠DAC＝∠DOC（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半），∴∠DAC＝30°．△ACD即为所求的三角形．故答案为：90，（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．【分析】根据要求作出图形，再利用圆周角定理可证∠OPQ＝90，利用垂径定理可证＝．【解答】解：如图，射线OE即为所求作．理由：∵OQ是直径，∴∠OPQ＝90°（直径所对的圆周角是直角），∵OE⊥PQ，∴PD＝DQ，＝，∴OE平分∠AOB．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据SSS证明△APB≌△ACB即可．【解答】解：（1）如图，直线PC即为所求作．（2）连结AP、AC、BP、BC．∵AP＝AC，BP＝BC，AB＝AB，∴△APB≌△ACB（SSS），∴∠PAB＝∠CAB，∴PC⊥AB（等腰三角形三线合一）．故答案为：（SSS），（等腰三角形三线合一）．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出图形，熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．7．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义证明∠CDO＝∠DON即可．【解答】解：（1）如图，射线CD即为所求作．（2）∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝∠NOD．∵OC＝CD，∴∠MOD＝∠CDO，∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）．故答案为：∠NOD，∠CDO，内错角相等两直线平行．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．8．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）先根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理判断MN是AC的垂直平分线，则点E是AC的中点，然后根据三角形中位线性质得到DE＝BC．【解答】（1）解：如图，（2）证明：∵AM＝CM，AN＝CN，∴MN是AC的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）；∴点E是AC的中点．∵点D是AB的中点，∴DE＝BC（三角形中位线性质）．故答案为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；三角形中位线性质．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．9．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OD＝DC，则根据等腰三角形的性质得到∠O＝∠DCO，然后根据三角形外角性质得到∠ADC＝2∠AOB．【解答】解：（1）如图，∠ADC即为所求作：（2）证明：∵ED是线段OC的垂直平分线，∴OD＝DC（线段垂直平分