上海市延安中学学年高二数学上学期期中试题沪教版

设数列｛a｝的前n项和为S，已知a=1,S=na-2n（n一1）（neN*）.nn1nn（1）求证：数列｛a｝为等差数列，并求出其通项公式；nSSS（2）若S+卡+3++f=400，求正整数的m值；123m3)是否存在正整数k，使得limns3)是否存在正整数k，使得limnsaakk+1aak+1k+21)+aa丿nn+112004？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.22、（本题14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）在直角坐标平面xOy上的一列点A（ha），A（2,a），…，A（n,a），…，简记为｛A｝.TOC\o"1-5"\h\z1122nnn若由b=AA•j构成的数列｛b｝满足b<b，n=12，其中j为方向与x轴正方nnn+1nn+1n向相同的单位向量，则称｛A｝为T点列.・・・n（1）判断A（1，一1），A（2，一），A（3，一），…，A（n，一），…，是否为T点列，12234n2n-1并说明理由；（2）若｛A｝为T点列，且点A在点A的右下方，证明任取其中连续三点A、A、A，n21kk+1k+2一定能构成钝角三角形；（3）若｛A｝为T点列，且对于任意neN*，都有b>0，那么数列｛a｝是否一定存在极nnn限？若是，请说明理由；若不是，请举例说明.上海市延安中学2013学年度第一学期期中考试（高二数学）（考试时间：90分钟满分：100分）班级姓名学号成绩班级姓名学号成绩一、填空题（本大题共39分,每小题3分）1、计算行列式：2、若a=1、计算行列式：2、若a=(3,—1)，b=(一3,2)，则a-b=—113、若a=(2,6),b=(—2,4)，则2a—b104、5、(11]厂123]^—25、，B=4、5、(11]厂123]^—25、，B=0—1，则AB=.141,,0—1.\丿<—1丿已知矩阵A=PP=3PP122—257、行列式4—3—1k4—2中第2行第1列元素的代数余子式的值为—10，贝I」实数k=—142P，P则实数8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的S=369、设f（n）=占+士+占4则limn2[f(n+1)—f(n)]=nTg〜3n2—4n+~2limnTg3—2n0、0、设（e2为单位向量，且（e2的夹角为亍，若a=e1+汽,b=2分则向量0在b方

11、向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=Xa+pb(九,R),则九17——二__n-1n-1剩下一个元素记为Xn-1n-1剩下一个元素记为X，记S=x+x+nn12(0002n2n2nA=n4n4n4n••、2n(n-1)2n(n-1)••2n(n-1)提示：+x，则limSn二__1nnthn3+10、(1352n-1、2n1352n-14n+135…•••2n-12n(n-1)/j13•••52n-1丿QA+QB+QC=BC，则四边形BCPQ的面积为2■%设^介方阵3(1352n-1、2n+12n+32n+54n-1A=n4n+14n+34n+56n-1•••，j2n(n-1)+1•••2n(n一1)+3•••2n(n一1)+5••••••2n2-1/•••••••••12、已知AABC的面积为1，在AABC所在平面内有两点P,Q，满足PA+PC=0,任取中A的一个元素，记为x；划去A所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组n1n成n-1阶方阵A1，任取A1中的一个元素，记为7划去X2所在的行和列，……；最后TOC\o"1-5"\h\z从而S=x+x++x=工2n(k一1)+工2k一1=2n—~—+=nn12n22k=1k=1二、选择题(本大题共12分，每小题3分)14、已知点A(1,2)，B(4,-2)，则与14、已知点A(1,2)，B(4,-2)，则与AB平行的单位向量的坐标为(C)A)B)(一34、〔一5,5丿(C)(一34、〔一5,5丿f1-2)f1-2)f1-23)f1-2-3]A）(B)‘.(C)丿(D)1-4<14丿-41<41丿I-41-22丿I-412丿15、方程组＜的增广矩阵是D）16、无穷等比数列｛a｝的各项和为S，若数列｛b｝满足b=a+a+a，则数列｛b｝nnn3n-23n-13nnD）V4、'34、和D）V4、'34、和:丿和（一5，-5丿(34)I5,5丿（A）S（B）3S（C）S2（D）S317、设a是已知平面向量且a丰0，关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，一定存在向量c，使a=b+c；给定向量b和c，一定存在实数九和心使a=^b+卩c；给定单位向量b和正数卩，一定存在单位向量c和实数2，使得a=Xb+pc；TOC\o"1-5"\h\z给定正数九和¥，—定存在单位向量b和单位向量c，使a=^b^pc；一上述命题中向量在同一平面内且两两不平行，则真命题个数是（B）fffff（A）1（B）2（C）3（D）4提示：①②为真命题三、简答题（本大题共49分）Imx+y=m+118、（本题6分）解关于x,y的方程组｛小，并对解的情况进行讨论.Ix+my=2mm1m+11mm+1D==m2-1，D==m(m-1)，D==(2m+1)(m-1)1mx2mmy12mm2m+1当m丰1且m鼻-1，即D丰0，方程组有唯一解（x,y）=（——,—）；m+1m+1当m=1，即D=0，D=D=0，方程组有无穷多解（x,y）=（t,2-1），tgR；xy

当m=—1，即D=0,D=D=2，方程组无解.xy19、（本题7分）设数列｛a｝的前n项和为S,a=2，对任意的neN*,向量a=（-1,a）,nn1nb=(a,b=(a,q)(q是常数,n+1>0）都满足a丄b，求limnsSn—Sn+1a丄a丄ba-b=-a+aq=0，n+1na即一n+1=qanSna当qSna当q=1时，lim—=lim1—Sn—g(n+1)an+11=1；当q主1时,lim-^=lim~—n—gS**n—g1-qn+1n+11,0<q<11[

,q>1〔q20、（本题9分，第1小题420、（本题9分，第1小题4分，第2小题5分）ZB4D=上EDA=ZCAD2)由6=AD2=AB+2AB・A』4鸟AB-AC=11,92B。2=(A百为B=4—2A"^A+16TBC^321、（本题北分F1小题4分，哮2小题4分，嗥3小题5分）设数列｛a｝的前n项和为S，已知a=1,S=na-2n（n-1）（neN*）.nn1nn（1）求证：数列｛a｝为等差数列，并求出其通项公式；n（3）是否存在正整数k，使得limn（3）是否存在正整数k，使得limnTaaakk+1+aak+1k+2++aa丿nn+112004?若存在'求出k的值；若不存在，请说明理由.1)an=1)an=S—Snn一1[na—2n(n—1)]一[(n—1)a—2(n—1)(n—2)]nn—1n-1na—a=4(n>2,neN*n-1n从而｛a｝为以1为首项，4为公差的等差数列.a=4n—3（neN*）nn(2)S=na一2n(n一1)=n(4n一3)一2n(n一1)=2n2一nnS+——m=1+3++2m—1=m2=400nm=20m(3)aakk+1(4k—3)(4k+1)=4(在-4k+1)=(3)aakk+1kk+1从而-aakk+1+aak+1k从而-aakk+1+aak+1k+2+aann+1=4(r-丄)=4(去-4n+1)kn+1从而limf1nTaIaakk+1+aak+1k+2++aa丿nn+1丽4nk=126*22、（本题14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）在直角坐标平面xOy上的一列点A（1a），A（2,a），…，A（n,a），…，简记为｛A｝・TOC\o"1-5"\h\z1122nnn若由b=AA•j构成的数列｛b｝满足b<b，n=1,2,，其中j为方向与x轴正方nnn+1nn+1n向相同的单位向量，则称｛A｝为T点列.…_n（1）判断A（1，一1），A（2，一），A（3，一），…，A（n，一），…，是否为T点列，12234n2n—1并说明理由；（2）若｛A｝为T点列，且点A在点A的右下方，证明任取其中连续三点A、A、A，n21kk+1k+2一定能构成钝角三角形；（3）若｛A｝为T点列，且对于任意neN*，都有b>0，那么数列｛a｝是否一定存在极nnn限？若是，请说明理由；若不是，请举例说明・

由已知AA=(1a一a)j=(0,1),则b=AA•j=a一a.nn+1n+1nnnn+1n+1n(1)b=a-(1)b=a-ann+1nb-―n+1b二<1nb2n+1<b,从而{(n，-)}n2n一1为T点列.(2)AA=(1a一a)=(1b)，又由点A在点A的右下方，可知b=a—a<0.nn+1n+1nn21121IAA=(-1，a-a)=(-1，-b)又彳k+1kkk+1knAA•AAIAA=(1,a—a)=(10)kk+1k+