《微积分（第二版）》课件第四节函数的幂级数展开

第四节函数的幂级数展开一、泰勒公式二、泰勒级数三、将函数展开幂级数第四节函数的幂级数展开

问题导言：计算特殊数值，以及一些基本初等函数的函数值具有广泛的应用价值.解决这些值计算的一种有效方法是利用函数逼近.

关于函数逼近首先要考虑两方面问题：一是何种类型函数来逼近给定的函数.二是以何种方式来逼近给定函数.用函数逼近的最简单形式莫过于幂级数.在此主要讨论如何将一个函数表达成幂级数.

几何意义为:在点的附近用曲线y=f(x)在点处的切线来代替曲线y=f(x).即进行线性代替.

线性代替：由微分的概念知道，如果y=f(x)在点处可导，则有一、泰勒公式

线性代替公式的不足：精度往往不能满足实际需要；用它作近似计算时无法估计误差.

二次多项式代替：以代替函数，设f(x)在含

的某区间(a,b)内有二阶导数,为了使与f(x)尽可能接近，应使用在点附近来逼近f(x)，可以提高代替精度,为了进一步提高精度,需要采取多项式代替.由可得所以来近似表达函数f(x),并使得当时，为比高阶的无穷小,且能写出的具体表达式,以便能估计误差.这样的如何？多项式代替：用简单的多项式函数进行代替.即用

设f(x)在含

的某区间(a,b)内有n+1阶导数,为了使与f(x)尽可能接近，应使对多项式函数求导得由此可得所以且有余项

定理（泰勒公式）设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数,则当时有泰勒展开式

马克劳林公式若在泰勒公式中令，则有（介于0与x之间）.此展开式称为马克劳林公式

.称为马克劳林多项式

.称为余项.且有拉格朗日型余项.

例设f(x)=cosx，写出f(x)在点x=0处的1次、2次、4次、6次泰勒多项式.解由泰勒多项式为

例设

写出带有拉格朗日余项的马克劳林公式.解由所以，带有拉格朗日余项的马克劳林公式为常用的泰勒公式的充分必要条件是二、泰勒级数

设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有任意阶导数，由泰勒公式可知即由此可知也即当时,有

定义级数，称为f(x)在处的泰勒级数.级数称为f(x)的在x=0处的麦克劳林级数.

定理设f(x)在包含点在内的某区间内有任意阶导数.f(x)在点处的泰勒级数在该区间内收敛于f(x)的充分必要条件是在该区间内

函数f(x)的泰勒级数收敛于f(x)也称为f(x)可以展开成泰勒级数.泰勒级数展开的唯一性

设f(x)在的某对称区间内可以展开成的幂级数将上式逐阶求导，有这样就证明了下述定理：以代入上式，有

定理(唯一性定理)

若f(x)在某区间内可以展开为的幂级数则此幂级数必为其泰勒级数，也即其系数必定为泰勒系数3.写出f(x)在处的泰勒级数1.求出f(x)的各阶导数2.计算4.求出上述泰勒级数的收敛区间(－R,R)，5.在收敛区间内证明6.写出展开式三、将函数展开成幂级数1.直接展开法用展开定理直接将f(x)展开为泰勒级数的方法为直接展开法，其步骤为其收敛区间为.例

将展开为马克劳林级数.

解

求出的n阶导数.因此故函数的马克劳林级数为收敛半径为由比值法可知正项级数收敛.于是，有对任取定的x，则对于任何介于0与x之间的，有所以，由收敛必要条件知所以有展开式例

将f(x)=sinx在x=0处展开为马克劳林级数.解故马克劳林级数为其收敛区间为，因为（位于0与x之间）.因此，故有由于为收敛级数，其通项的极限为零，或写为

所谓间接展开法,就是利用已知的幂级数展开式,利用幂级数在其收敛区间内的四则运算、分析运算性质,即幂级数逐项加、减,逐项求导、逐项积分等运算,将所给函数展开为泰勒级数.2.间接展开法例将f(x)=cosx展开为麦克劳林级数.解由两边求导得例将f(x)=ln(1+x)展开为马克劳林级数.解

因为上式两端积分得即所以例将展开为马克劳林级数.解

因为于是所以积分得常用的展开式公式

将函数间接展开成幂级数，通常还使用下述变换法若函数f(x)的幂级数展开为则有例将函数展开成幂级数.解