沪科版八年级数学下册第17章一元二次方程

第17章一元二次方程17.1一元二次方程1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？

一般形式：ax+b=0(a≠0).3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.复习引入问题1：某地为增加农民收入，调整农作物种植结构，从而2017年无公害蔬菜的产量比2015年翻一翻，那么2016年和2017年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？思考：1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？方程合作探究活动1：探究列一元二次方程及其一般形式2.如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2015年的产量为a，那么2016年无公害蔬菜产量为

，2017年无公害蔬菜产量为

.a+ax=a(1+x)a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)23.你能根据题意，列出方程吗？a(1+x)2=2a把以上方程整理，得

.x2+2x-1=0（1）问题２：在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图，要使花坛的总面积为570m2(图中长度的单位：m)，问：小路的宽应为多少？3220x1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是________

m2,两者重叠的面积是

m2.32x2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？整理以上方程可得：思考：2×20x32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.2x2x2-36x＋35=0（2）.3220x想一想：还有其他的列法吗？试说明原因.(20-x)(32-2x)=570.32-2x20-x3220类比发现，探索新知1.请观察下面两个方程并回答问题：

x2+2x-1=0，x2-36x+35=0.（1）它们是一元一次方程吗？（2）与一元一次方程有何异同？（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？

1.等号两边都是整式2.只含有一个未知数3.未知数的最高次数是2特点：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).一般地,任何一个关于x

的方程都可以化为

的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？想一想

ax

2+bx+c=0(a≠

0)二次项系数一次项系数常数项（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？（1）列表填空：

方程一般形式二次项系数一次项系数常数项4x2=3x(x-1)2-9=0x(x+2)=3(x+2)4x2-3x=0x2-2x-8=0x2-x-6=04-301-2-81-1-62.做一做：（2）下列方程，哪些是一元二次方程，并说明理由。x+2=5x-3，x2=4，2x2-4=(x+2)2，

(3)方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？3.议一议：

通过以上习题的练习情况，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些问题？（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行.（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.（3）二次项系数a≠0.

能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).

判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根.活动2：探究一元二次方程的根1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：x2-3x+2=0(x1=1，x2=2，x3=3)2.构造一个一元二次方程，要求：（1）常数项为零；（2）有一根为2.3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：把x=3代入方程x2+ax+a=0得，32+3a+a=0，9+4a=0，4a=-9，

4.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为1,求a+b+c的值.解：由题意，得

思考:若a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗?解：由题意，得

∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是1.拓展:若a-b+c=0,4a+2b+c=0你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根吗?课堂小结一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为

的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.

能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法17.2.1配方法读诗词解题：

(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。)

大江东去浪淘尽，千古风流数人物。而立之年督东吴，早逝英年两位数。

十位恰小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设个位数字为x，十位数字为x-3.由题意，得

x2-11x+30=0.x2=10(x-3)+x.情境导入合作探究活动1：探究直接开平方解方程一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得

,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.知识回顾2.用直接开平方法解下列方程:(1)3x2－27=0;(2)(2x－3)2=7.1.方程

的根是___________________.方程的根是___________________.

方程

的根是___________________.

x1=0.5,x2=－0.5x1＝3，x2＝－3x1＝2，x2＝－13.选择适当的方法解下列方程：（1）x2－81＝0;（2）x2

＝50;

(3)(x＋1)2=4;(4)x2＋2x＋5=0.这种方程怎样解？变形为的形式．（a为非负常数）变形为x2－4x＋1＝0（x－2）2=3活动2：探究用配方法解方程像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后,再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.(1)x2＋8x＋

=(x＋4)2；(2)x2－4x＋

=(x－

)2；(3)x2－___x＋9=(x－

)2

.配方时,等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.166342例用配方法解方程:2x2-3x-1=0.解：(2)－x2＋4x－3=0.(1)x2＋12x=－9；1.用配方法解下列方程：2.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必定大于零.

3.先用配方法解下列方程：（1）x2－2x－1＝0；（2）x2－2x＋4＝0；

（3）x2－2x＋1＝0.

然后回答下列问题：（1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？（2）对于形如x2＋px＋q＝0的方程，在什么条件下才有实数根？

1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得

，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

2.像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后,再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.

注意:配方时,二次项系数化为1后，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.课堂小结用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;配方:将二次项的系数化为1后，方程两边都加

上一次项系数一半的平方;开方:根据平方根的意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法17.2.2公式法1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;4.变形:化成（x+m)2=a(a≥0);5.开平方，求解.“配方法”解方程的基本步骤：复习引入一起用配方法解下面这个一元二次方程并模仿解一般形式的一元二次方程：合作探究活动：探究用公式法解一元二次方程两边同除以a移项两边同时加上整理开方解得步骤

一般地，对于一元二次方程

如果，那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式；这种解一元二次方程的方法叫做公式法.知识要点探索发现x1=，x2=1.两根的代数式结构上有什么特点？2.根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？用公式法解下列一元二次方程：解：（1）用公式法解下列一元二次方程：解：将原方程化为一般形式，得用公式法解一元二次方程：解:原方程即为

，解方程：（精确到0.001）.解：用计算器求得：课堂小结

一般地，对于一元二次方程

如果，那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式；这种解一元二次方程的方法叫做公式法.运用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若，把a、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若，此时方程无实数解.1.用公式法解方程

，得到（）AA.C.D.B.随堂训练2.用公式法解下列方程：第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法17.2.3因式分解法

一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？

（a≠0）主要方法:

(1)配方法;

(2)公式法.复习引入因式分解:

把一个多项式化成几个整式的积的形式.什么是因式分解？在学习因式分解时，我们已经知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解.合作探究活动：探究用因式分解法解一元二次方程

解下列方程：（1）x2－3x＝0;(2)25x2=16.解：（1）将原方程的左边分解因式，

得x（x-3）＝0，

则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3.

(2)同上可得x1=0.8，x2=-0.8.像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；将方程的左边分解因式；根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.因式分解法的基本步骤如下：这样解是否正确呢？交流讨论：填空：（1）方程x2+x=0的根是_________________；（2）x2－25=0的根是________________.x1=0,x2=-1x1=5,x2=-5

解方程：x2-5x+6=0.解:把方程左边分解因式，得

（x-2）（x-3）=0.

因此x-2=0或x-3=0.∴x1=2，x2=3.用因式分解法解下列方程：(1)4x2=12x;(2)(x-2)(2x-3)=6;(3)x2+9=-6x;(4)9x2=(x-1)2.

解方程：（x+4）（x-1）=6.解把原方程化为标准形式，得

x2+3x-10=0.把方程左边分解因式，得（x-2）（x+5）=0.

因此x-2=0或x+5=0.∴x1=2，x2=-5.解下列一元二次方程：（1）（x－5)(3x－2)=10;(2)(3x－4)2=(4x－3)2.解：(1)化简方程，得3x2－17x=0.将方程的左边分解因式，得x(3x－17)=0,∴x=0,或3x－17=0.解得x1=0,x2=.(2)移项，得（3x－4)2－(4x－3)2=0.将方程的左边分解因式，得〔(3x－4)+(4x－3)〕〔(3x－4)－(4x－3)〕=0,

即(7x－7)(-x－1)=0.∴7x－7=0,或-x－1=0.∴x1=1,x2=-1.注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.

用因式分解法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.课堂小结第17章一元二次方程17.3一元二次方程根的判别式用公式法求下列方程的根:

用公式法解一元二次方程的一般步骤:1)把方程化为一般形式确定a,b,c的值.3)代入求根公式计算方程的根.2)计算的值.复习引入温故而知新

一般地，对于一元二次方程

如果，那么方程的根为配方法合作探究活动：探究一元二次方程根的判别式如何把一元二次方程写成（x+h)2=k的形式？当b2-4ac＞0时，方程的右边是一个正数，方程有两个不相等的实数根：4a2＞0，思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况？当b2-4ac=0时，方程的右边是0，方程有两个相等的实数根：当b2-4ac＜0时，方程的右边是一个负数，因为在实数范围内，负数没有平方根，所以，方程没有实数根：3.当方程没有实数根时，那么.

1.当方程有两个不相等的实数根时，有；2.当方程有两个相等的实数根时，有；反过来，对于一元二次方程：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“

”来表示.反之，同样成立.当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根.求下列一元二次方程根的个数：方程有两个不相等的根方程有两个相等的根方程没有实数根练习：按要求完成下列表格：Δ的值根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根方程判别式与根一般步骤：3、判别根的情况，得出结论.2、计算的值，确定的符号.例:不解方程，判别下列方程根的情况.1、化为一般式，确定的值.不解方程，判别关于

x

的方程的根的情况.∵分析：系数含有字母的方程不解方程，判别关于x的方程的根的情况.解：

=a2+4a2=5a2＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.课堂小结对于一元二次方程：反之，同样成立.当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根.第17章一元二次方程17.4一元二次方程的根与系数的关系2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？复习引入1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？

方程

x1

x2

x1+x2

x1∙x2

x2-3x+2=0x2-2x-3=0x2-5x+4=0问题：你发现这些一元二次方程的系数与x1+

x2，x1•

x2有什么规律？

2

132-1

3

2-31

4

54合作探究活动：探究一元二次方程的根与系数的关系方程-2x1+x2，x1∙x2与系数有什么规律?猜想：当二次项系数为1时，方程x2+px+q=0的两根为x1,x2.猜想：

如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）的两根为x1，x2，则：

x1+x2和x1.x2与系数a，b，c的关系：任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1

·x2= .-（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提为b2-4ac≥0.一、直接运用根与系数的关系例1.不解方程，求下列方程两根的和与积.在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用x1+x2=－时，注意“－

”不要漏写.二、求关于两根的对称式或代数式的值例2.设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.

三、构造新方程例3.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1.变式：且二次项系数为5.例4.方程的两根同为正数，求p、q的取值范围.四、求方程中的待定系数变式:方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解:由已知,得△=即m>0,m-1<0.∴0<m<1.一正根，一负根△＞0x1x2＜0两个正根△≥0x1x2＞0x1+x2＞0两个负根△≥0x1x2＞0x1+x2＜0一元二次方程根与系数的关系:注：能用根与系数的关系的前提为b2-4ac≥0.课堂小结第17章一元二次方程17.5一元二次方程的应用

直接开平方法、配方法、公式法、因式