2022年高考冲刺数学（理）试题（福建卷）

2014年高考数学（理）试题（福建卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.复数的共轭复数等于（）答案：C答案解析：由复数z＝(3－2i)i＝2＋3i，得复数z的共轭复数z＝2－3i.考点：复数的计算难度：易2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）圆柱圆锥四面体三棱柱答案：A答案解析：由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形．考点：三视图难度：易3.等差数列的前项和，若，则()答案：C答案解析：设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S3＝3×2＋eq\f(3×2,2)d＝12，解得d＝2，则a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.考点：等差数列的性质难度：易4.若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）A.B.C.D.答案：B答案解析：由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图像不正确．考点：函数的图像的判断难度：易5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（）答案：B答案解析：输入S＝0，n＝1，第一次循环，S＝0＋2＋1＝3，n＝2；第二次循环，S＝3＋22＋2＝9，n＝3；第三次循环，S＝9＋23＋3＝20，n＝4，满足S≥15，结束循环，输出S＝20.考点：程序框图的计算难度：易6.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件答案：A答案解析：由直线l与圆O相交，得圆心O到直线l的距离d＝eq\f(1,\r(k2＋1))<1，解得k≠0.当k＝1时，d＝eq\f(1,\r(2))，|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝eq\r(2)，则△OAB的面积为eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(1,\r(2))＝eq\f(1,2)；当k＝－1时，同理可得△OAB的面积为eq\f(1,2)，则“k＝1”是“△OAB的面积为eq\f(1,2)”的充分不必要条件．考点：直线与圆的位置关系充要条件的判断难度：易7.已知函数则下列结论正确的是（）是偶函数B.是增函数C.是周期函数D.的值域为答案：D答案解析：由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝cosx，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]；∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．考点：分段函数函数的单调性难度：易8.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）B.C.D.答案：B答案解析：由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.考点：平面向量的基本定理难度：易9.设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（）B.C.D.答案：Ｄ答案解析：设圆心为点C，则圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为C(0，6)，半径r＝eq\r(2).设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则eq\f(xeq\o\al(2,0),10)＋yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝10－10yeq\o\al(2,0)，∴|CQ|＝eq\r(10－10yeq\o\al(2,0)＋（y0－6）2)＝eq\r(－9yeq\o\al(2,0)－12y0＋46)＝eq\r(－9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(2,3)))\s\up12(2)＋50)，当y0＝－eq\f(2,3)时，|CQ|有最大值5eq\r(2)，则P，Q两点间的最大距离为5eq\r(2)＋r＝6eq\r(2).考点：直线与圆的位置关系数形结合的思想难度：易10.用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是B.C.D.答案：Ａ答案解析：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋Ceq\o\al(1,5)c＋Ceq\o\al(2,5)c2＋Ceq\o\al(3,5)c3＋Ceq\o\al(4,5)c4＋Ceq\o\al(5,5)c5＝(1＋c)5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.考点：新定义二项式的定理的展开式难度：难二、填空题，共5小题，共25分11.若变量满足约束条件则的最小值为________.答案：１答案解析：依题意如图可得目标函数过点A时截距最大.即.考点：易难度：线性规划12.在中，,则的面积等于_________.答案：答案解析：由eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得sinB＝eq\f(4sin60°,2\r(3))＝1，∴B＝90°，C＝180°－(A＋B)＝30°，则S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·BCsinC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)sin30°＝2eq\r(3)，即△ABC的面积等于2eq\r(3).考点：正弦定理、三角形的面积的计算难度：难13.要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.答案：160答案解析：设底面矩形的一边长为x，由容器的容积为4m3，高为1m得，另一边长为eq\f(4,x)m.记容器的总造价为y元，则y＝4×20＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))×1×10＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥80＋20×2eq\r(x·\f(4,x))＝160(元)，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x＝2时，等号成立．因此，当x＝2时，y取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．考点：函数的最值难度：中14.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.答案：答案解析：因为函数y＝lnx的图像与函数y＝ex的图像关于正方形的对角线所在直线y＝x对称，则图中的两块阴影部分的面积为S＝2eq\i\in(1,e,)lnxdx＝2(xlnx－x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,))eq\s\up12(e)1＝2[(elne－e)－(ln1－1)]＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P＝eq\f(2,e2).难度：易考点：几何概型定积分的计算15.若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________.答案：６答案解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.难度：易考点：集合的相等16.已知函数.若，且，求的值；求函数的最小正周期及单调递增区间.答案：（1）；（2），答案解析：(1)因为所以.所以(2)因为,所以.由得.所以的单调递增区间为.解法二：（1）因为所以从而（2）由得.所以的单调递增区间为.考点：同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数及三角函数的图象与性质难度：易17.（本小题满分12分）在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.求证：ABCD；若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（１）略；（２）答案解析：(1)因为平面,平面平面平面所以平面又平面所以.(2)过点在平面内作,如图.由(1)知平面平面平面所以.以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得.则.设平面的法向量.则即.取得平面的一个法向量.设直线与平面所成角为,则即直线与平面所成角的正弦值为.考点：空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系难度：中18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.答案：（１），４０；（２）略答案解析：(1)设顾客所获的奖励为X.①依题意,得.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为.②依题意,得X的所有可能取值为20,60..即X的分布列为X2060P所以顾客所获得的奖励额的期望为（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为,则的分布列为2060100的期望为,的方差为.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为,则的分布列为406080的期望为,的方差为.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.考点：古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等难度：中19.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。答案：（１）；（２）答案解析：解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得,即.由得,.因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.考点：双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系难度：中20.（本小题满分14分）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（=1\*ROMANI）求的值及函数的极值；（=2\*ROMANII）证明：当时，；（=3\*ROMANIII）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.答案：（=1\*ROMANI）２，（=2\*ROMANII）略；（=3\*ROMANIII）略答案解析：解法一：（=1\*ROMANI）由，得.又,得.所以.令,得.当时,单调递减;当时,单调递增.所以当时,取得极小值,且极小值为无极大值.（=2\*ROMANII）令,则.由（=1\*ROMANI）得,故在R上单调递增,又,因此,当时,,即.（=3\*ROMANIII）①若,则.又由（=2\*ROMANII）知，当时,.所以当时,.取,当时，恒有.②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时,在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.解法二：（=1\*ROMANI）同解法一（=2\*ROMANII）同解法一（=3\*ROMANIII）对任意给定的正数c，取由（=2\*ROMANII）知，当x>0时，，所以当时，因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.考点：主导数的运算及导数的应用、全称量词等难度：难21.选修4—2：矩阵与变换已知矩阵的逆矩阵.（=1\*ROMANI）求矩阵；（=2\*ROMANII）求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.答案：（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）略答案解析：（=1\*ROMANI）因为矩阵A是矩阵的逆矩阵,且,所以.（=2\*ROMANII）矩阵的特征多项式为,令,得矩阵的特征值为或,所以是矩阵的属于特征值