(word完整版)同济大学(高等数学)-第二章-导数与微分

图2-1图2-1由归纳法可得(n) (n)yx特别地，当n时,可得(n)21设3x25x(n)y3x245xe(n)22设2x2 (4)ex,求y2xe,v2e2x,u(n1)22e：2x「u2x,v3x22,v(n)423e2x(4),u5x(n)e24e2xn5x5e由莱布尼兹公式，可得(4)八0(4)

yC4uv(4)八0(4)

yC4uv八1C4uvC4uv24e2x423e2x2xt322e2x2

2!-4 2x2e2x4x2.5导数公式与基本求导法则基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、反函数的求导法则及复合函数的求导法则等在初等函数的求导运算中起着重要的作用. 为了便于查阅，现在把这些导数公式和求导法则归纳如下：2.5.1基本初等函数的导数公式(1)C0（C为常数）；(2)x1x;(3)xa axlna；(4)xexe;⑸lOgax1(6)lnx1,，xlnax⑺sinx8sx；(8)cosxsinx；(9)tanx2secx；(10)cotx2cscx；

secxsecxtanx；cscxcscxcotx；arcsinxarccosxarctanxarccotxsecxsecxtanx；cscxcscxcotx；arcsinxarccosxarctanxarccotx2.5.2导数的四则运算法则设函数uu(x)和vv(x)都可导，则uvuv；uvuvuv；CuCu(C为常数)；(4)uv0);v -uvuv；uvuvuv；CuCu(C为常数)；(4)uv0);v -(5) — —2~ v 0v v反函数的求导法则如果函数xf(y)在区间Iy内单调、可导且f(y)10,那么匕的反函数yf(x)在区间Ixxxf(y),yIy内也可导，且f1(x)1fdy1 或—— ——

f(y)dxdxdy复合函数的求导法则如果函数ug(x)如果函数ug(x)在点x可导，函数yf(u)在相应点ug(x)可导，那么复合函数yf[g(x)]在点x可导，且其导数为f(x)2.5.5高阶导数的运算法则f(u)g(x)f(x)2.5.5高阶导数的运算法则f(u)g(x)或电dxdydududx如果函数uux和vvx都在点x处具有n阶导数，那么(1)(n)v(n)u(n)v(2)(n)n(1)(n)v(n)u(n)v(2)(n)nk(nk)Cnuk0v(k),其中Cnknn1Lnk1k!n!k!nk!特别地，Cu(n)Cu⑻(C为常数)1.求下列函数的导数(1)3x24x(3)5x32x3ex;(5)(9)习题2-2(2)(4)(6)xesinxcosx；(8)lnx—;x(10)2.求曲线y2sin2 xx上横坐标为3.求下列函数的导数.(1)cos52x；(3)sin.1x2；(5)lnlnlnx；2x23x1e(9)2x3；(11)4.设(1)(3)2tanxsecx；sinxcosx;2.…xlnxcosx;1 sinx1 sinxx0的点处的切线方程和法线方程(2)(4)(6)(8)(10)(12)x为可导函数，求下列函数的导数(2)dy

dx(4)5.求下列函数的二阶导数(1)22xcosx；(2)(3)xsinx；(4)(5)(6)6.求下列函数所指定阶的导数x 4(1)yecosx，求y；(2), 2tanx；lntanx；

2lncosxtanx；■nsinxcosnx；-sinx2vxe；xA2xe.1exarcsine.farcsin1xx2flnx.2x3e;tanx； 2 ,cosxlnx.第3节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数的导数以解析式yfx的形式确定的函数称为显函数.例如yexcosx,yxInx.以二元方程Fx,y 0的形式确定的函数称为隐函数.例如3xy10,sinxy3xy2.把一个隐函数化成显函数，称为 隐函数的显化.例如从方程 xy310解出y3/77,就把隐函数化成了显函数.但隐函数的显化有时候是困难的，甚至是不可能的.例如方程sinxy3xy2所确定的隐函数就难以化成显函数.但在很多情况下，需要计算隐函数的导数，因此，我们希望找到一种方法，不论隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数.隐函数求导的基本思想是： 把方程Fx,y0中的y看成自变量x的函数yx,结合复合函数求导法，在方程两端同时对 x求导数，然后整理变形解出y即可.y的结果中可同时含有x和y.若将y看成自变量，同理可求出x.例1求由方程ylnxy例1求由方程ylnxy所确定的隐函数的导数解方程两端对x求导，得y六1从而从而例2求由方程解方程两端对ey从而例2求由方程解方程两端对eyxyx求导,0所确定的隐函数的导数eyTOC\o"1-5"\h\z2 2例3求椭圆曲线—y-i上点1,42处的切线方程和法线方程.2 41斛方程两病对x求导，得x—yy22x一.从而，切线斜率K和法线y斜率k2x一.从而，切线斜率K和法线y斜率k2分别为所求切线方程为即法线方程为即k1 y1,在 爽，k2 ——•ki 2y22 72x1,例4求由方程xy1例4求由方程xy1-一siny20所确定的隐函数的二阶导数d2ydx2解方程两端对x求导，得1dy1cosydy0,

dx2dx从而dy2dx2cosy上式两端再对x求导，得,2 2sinydydy，dx4sinydx2 2cosy2cosy对数求导法对于以下两类函数：vx(1)帚指函数，即形如yuxux0的函数.

(2)函数表达式是由多个因式的积、商、哥构成的.要求它们的导数，可以先对函数式两边取自然对数，利用对数的运算性质对函数式进行化简,然后利用隐函数求导法求导，这种方法称为 对数求导法... cosx例5设ylnxx1,求y.解函数两端取自然对数，得lnycosxlnlnx,两端分别对x求导，得sinxlnlnx1 1sinxlnlnx1 1cosx 一Inxx所以ysinxInInx1 1cosx———所以ysinxInInx1 1cosx———InxxcosxInxcosx sinxInInxxInxx13x1例6设y 2 ，求y.x4ex解先在函数两端取绝对值后再取自然对数，得lnylnx1两端分别对x求导，得11nxlnylnx1两端分别对x求导，得11nx32lnx4x,y1 1yx13x11,x13/x1 1 1 2 2 1x4ex x13x1x4容易验证，例6中的解法，若省略取绝对值这一步所得的结果是相同的，因此，在使用对数求导法时，常省略取绝对值的步骤.由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程xtyt确定了y与x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数. xt定理1设参数方程 ，其中t,t均可导，且函数xt严格单调,ytdydxdydy生dxdxdt证明因为函数xt严格单调,所以其存在反函数 ttx.又因为t可导且t0,故tdttx也可导，且有一dx1 ,一一一—.对于复合函数ytttx求导,可得dydydxdtdtdxdy

dt

dxdt所以t,yt还是二阶可导的,那么由定理 1可得到函数的二阶导数公式:d2ydx2dxdy

dxdttttt1因为dtdxtetecostsint8求星形线线方程（图2-2）.d2ydx2dy

dtdy

dxsint♦dxcost,—dtetsintcostcostsint3xacostasin31etcostsint,sintcostcostsint一的相应点Mxo,yo处的切线方程和法4解由t—可得4Xo星形线在点Mkidy

dx从而,3acos一4,2Ta，yo_ 3asin处的切线斜率asin3t3xacost所求切线方程为所求法线方程为tcostsint（方法一）因为ki和法线斜率k2分别为2・ ・3asintcost2,3acostsinttant2——a4ki2——a4求3

dx2dy

dxdy

dt1

dxdt「2—a4sinttcostcost1sint所以112'1sint,2TOC\o"1-5"\h\zdydy dcost 1dx2 dx dt1sint dxdt

2, ,sint1sintcost 121sint 1sint（方法二）由于xt1sint,xtcost,yt cost,ytsint，代入公式可得dx2dx212,1sint2dy ytxt ytx3xt

sint1sintcost31sint3.4由极坐标方程所确定的函数的导数研究函数y与x的关系通常是在直角坐标系下进行的，但在某些情况下，使用极坐标系则显得比直角坐标系更简单.如图2-3所示，从平面上一固定点O,引一条带有长度单位的射线Ox,这样在该平面内建立了极坐标系，称O为极点，Ox为极轴.设P为平面内一点，线段OP的长度称为极径，记为rr0,极轴Ox到线段OP的转角（逆时针）称为极角，记为0 2 ,称有序数组r,为点P的极坐标.若一平面曲线C上所有点的极坐标 r,都满足方程r满足方程rr 的所有点都在平面曲线C上，则称若一平面曲线C上所有点的极坐标 r,都满足方程r满足方程rr 的所有点都在平面曲线C上，则称rr为曲线C的极坐标方程.将极轴与直角坐标系的正半轴Ox重合,极点与坐标原点O重合，若设点M的直角坐设曲线的极坐标方程为 rr设曲线的极坐标方程为 rr,利用直角坐标与极坐标的关系可得曲线的参数方程标为x,y,极坐标为r,,则两者有如下关系:2xrcos一或tanrsintanxr cosyrsin其中为参数.由参数方程的求导公式，可得dyr sinrcosdxr cosrsin例10求心形线r1sin在—处的切线方程（图2-4）.3图2-4解由极坐标的求导公式得dy

dxcossin1sincoscoscos1sindy

dxcossin1sincoscoscos1sinsinsin2coscos2sin一时,3所以,x0 1sin一3cos—3dydx.2

sin所以,x0 1sin一3cos—3dydx.2

sin—32cos—cos—3sin—3所求切线方程为4x4y3.3sin—sin一习题2-3

dy.求由下列方程所确定的隐函数的导数 dx.(1)y22xy90；(2)y32xy0；xyexy； (4)ycosxsinxy0；(5)x2y2exy； (6)arctan—lnjx2y2.x2.求曲线xyIny1在点1,1处的切线方程和法线方程.3.求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数3.求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数d2ydx2.tan(1)y1xey;tan.利用对数求导法求下列函数的导数tanx2sinx1x；3x3x252xx1x--2tanx2sinx1x；3x3x252xx1x--2.求下列参数方程所确定的函数的指定阶的导数x(1)yat2,求bt3dy.dx(2)t1sinttcostdy.dxx(3)yacostbsint求U;

dx2(4)te十,求2te2td2ydx26.求四叶玫瑰线racos2（a为常数）在—对应点处的切线方程.4第4节函数的微分4.1微分的概念在许多实际问题中，要求研究当自变量发生微小改变时所引起的相应的函数值的改变.例如，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由 x0变到X0 X（图2-5）,问此薄片的面积改变了多少？当 X很微小时，正方形的面积改变的近似值是多少？图2-5设此正方形的边长为x,面积为A,则A与x存在函数关系AX2.当边长由x0变到Xo x,正方形金属薄片的面积改变量为TOC\o"1-5"\h\z2 2 2Ax0 x X02x0xx.从上式可以看出， A分为两部分，第一部分2x0x是x的线性函数，即图中带有斜,,，-一* 、_ 2线的两个矩形面积之和，第二部分 X是图中右上角的小正方形的面积，当X0时，2 2第二部分 X是比X高阶的无穷小量，即xox.因此，当X很微小时，我们用2x0x近似地表示A,即A2x0x.故2x0x是正方形的面积改变的近似值.定义1设函数yfx在某区间内有定义，X0及x0 x在此区间内，如果函数的增量yfx0 xfx0可表不为yAxox,其中A是不依赖于x的常数，那么称函数yfx在点x0是可微的，而Ax叫做函数

yfx在点xo相应于自变量增量 x的微分，记为dyxxAx或dfxo Ax.4.2微分与导数的关系定理1函数yfx在点x0可微的充要条件是函数yfx在点x0可导，且当yfx在点xO可微时，其微分一“定是dyx小f%x.证明（必要性）设函数yfx证明（必要性）设函数yfx在点x0可微，即yAxox,其中A是不依赖于x的常数.上式两边用x除之，得当x0时，对上式两边取极限就得到lim—yAlimo~~—A.

x0x x0x即Afx0.因此，若函数yfx在点x0可微，则yfx在点x0一定可导，且dyx”fx0x.（充分性）函数yfx在点x0可导，即lim—yfx0

x0x存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成」fxIx0 ，x其中0（当x0时），从而yfx0xxfx0xox,其中f%是与x无关的常数，ox比x是高阶无穷小，所以yfx在点x0也是可微的.根据微分的定义和定理1可得以下结论：（1）函数yfx在点x0处的微分就是当自变量x产生增量x时，函数y的增量y的主要部分（此时Afx0 0）.由于dyAx是x的线性函数，故称微分dy是y的线性主部.当x很微小时，ox更加微小，从而有近似等式 ydy.（2）函数yfx的可导性与可微性是等价的，故求导法又称 微分法.但导数与微

分是两个不同的概念，导数fX0是函数fx在X0处的变化率，其值只与x有关；而微分dyxxo是函数fX在X0处增量y的线性主部，其值既与X有关，也与X有关•定义2函数yfx在任意点x处的微分，称为函数的微分，记作dy或dfX,即dydfxfxx.通常把自变量X的增量X称为自变量的微分，记作dx,即dxx.因此，函数yfx的微分可以写成dyfxdx或dfxfxdx.从而有dyfX或"fXdx dx因此，函数yfx因此，函数yfx的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.所以，导数又称微商.例1设函数例1设函数y3X,(1)求dy；(2)若X2,x0.1,求dy和y.解（1）由微分的定义可得. 3 2.dyxdx3xdx.（2）将x2,dxx0.1代入（1）的结果，可得dyx2 3x2dXx2 3220.11.2；dx0.1 dx0.1yx2 20.1323 1.261.X0.1微分的几何意义在平面直角坐标系中，函数 y在平面直角坐标系中，函数 yfx的图形是一条曲线，对于曲线上某一确定的点Mx0,y0,当自变量x有微小增量x时，就得到曲线上另一点Mx0,y0,当自变量x有微小增量2-6）.过点M作曲线的切线MT,它的倾斜角为，则有yfX0 xfX0 NQ,dyfx0 xtandyfx0 xtanPQPQ.X图2-6由此可见，对于可彳^函数y当y是曲线yfyfx在点MxX图2-6由此可见，对于可彳^函数y当y是曲线yfyfx在点Mx0,y0fx上的点Mx0,y0的纵坐标的增量时，微分dy就是曲线的切线MT的纵坐标的相应增量.当x很小时,ydy比x小得多，因此在点M的邻近，可以用dy近似代替y进而可以用切线段来近似代替曲线段.微分公式与微分运算法则由函数的微分表达式dyfxdx可得，只要先计算出函数的导数fx,再乘以自变量的微分就可以计算出函数的微分.因此可得如下的微分公式和微分运算法则.4.4.1基本初等函数的微分公式(1)dC0(C为常数)；x1dx；Inadx；exdx；lOgax-^dx；xlnalnx-dx；x(9)(11)(15)sinxtanxsecxcosxdx;se(2xdx；arcsinxarctanx(8)(10)cosxcotxsinxdx;csc24.4.1基本初等函数的微分公式(1)dC0(C为常数)；x1dx；Inadx；exdx；lOgax-^dx；xlnalnx-dx；x(9)(11)(15)sinxtanxsecxcosxdx;se(2xdx；arcsinxarctanx(8)(10)cosxcotxsinxdx;csc2xdx；secxtanxdx；(12)cscxarccosxcscxcotxdx；jx;

,1x2-^dx;1x2(16)arccotx4.4.2微分的运算法则设函数uu(x)和vv(x)都可导，则(1)duvdudv；(2)uvvduudv；(3)dCuCdu(C为常数)；(4)vduudv,八、——2—(vo)-v4.4.3复合函数的微分法则fu,ugx均可导，则复合函数y的微分为dyyxdxfugxdx由此可见，无论u是自变量还是中间变量,微分形式保持dyfudu不变.这一性质称为微分形式不变性.例2设yx2解（方法一）令dy（方法二）dy3 .udu，求dy.3u2d若不引入中间变量，则3x22x224.4.4隐函数的微分例3求由方程3x2xy解对方程两边分别求微分,从而，可得2,则利用微分形式不变性,3x23x2可得22xdx6xy2 1所确定的隐函数d3x2d3x26xdx4.5微分在近似计算中的应用根据前面的讨论可知，如果函数时，那么有公式（2-4-1）可以改写为2xdx6xx2x的微分.2xyydio,xyydxxdy2ydydy跖上dx.ydyxo x2y在点xoxoxo处的导数fxox,0,x很小(2-4-1)(2-4-2)fx0 fx0x.(2-4-3)在（2-4-3）式中令X x0 x,即xx X0,则可得fXfX0fx0XX0. (2-4-4)如果fX0和fX0都容易计算，则可以利用（2-4-1）式来近似计算 y,利用（2-4-3）式来近似计算fx0 X,以及利用（2-4-4）式来近似计算fX若在（2-4-4）式中令x0 0,则有fXf0f0X. (2-4-5)从而，当XX很小时，可用（2-4-5）式推得以下几个常用的近似公式（1）sinxx； （2）tanxx；（3）arcsinxx； （4）ex1x；1⑸ln1xx； （6）n/1x1—x.n例4一个内直径为10cm的球壳体，球壳的厚度为—cm,问球壳体的体积的近似值16为多少？解半径为r的球体体积为4 3Vfr-r.3，一一 1由于r5cm,r一cm,故Vfrrfr就是球壳体的体积.用dV作16为其近似值，则dVfrdr4r2dr452—19.63cm3.16所以球壳体的体积的近似值为 19.63cm3.例5计算3/1003的近似值.解设fx阪，贝Ufx—.取X01000,x3,贝U3 2 03vx， 1V1003f10003f1000f1000x10——310.01.300例6计算"0.9985的近似值.

解由于0.998510.0015,而x0.0015,其值较小，故利用近似公式，可得5/0.9985小0.00151- 0.00150.9997.5.已知函数.已知函数y2x2,计算在x.求下列函数的微分.(1)ysin3x；yln1x2；(5)y了=.x1x⑺yecosx;习题2-42处，当x0.02时的y和dy.22xyxe;,x1yarctan ;x1ycosxxsinx;x.1x⑻yCG.求由方程exyxy0所确定的函数yyx的微分dy..利用微分计算下列近似值.(1)1001.002； (2)cos29o.5.设扇形的圆心角=60°,半径R100cm.如果R不变， 减少30,问扇形面积大约改变了多少？又如果 不变，R增加1cm,问扇形面积大约改变了多少?6.有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，铜的厚度定为30.01cm，估计一下每只球需用铜多少 g(铜的密度为8.9g/cm)?

第5节导数的应用由于导数就是函数的变化率，所以现实生活中很多涉及变化率的问题，都可以转化为对导数的计算问题.因此导数在现实生活中的应用是非常广泛的.5.1相关变化率定义1若xxt及yyt为可导函数，且函数yfx由xxt,yyt确定，则变化率gx第5节导数的应用由于导数就是函数的变化率，所以现实生活中很多涉及变化率的问题，都可以转化为对导数的计算问题.因此导数在现实生活中的应用是非常广泛的.5.1相关变化率定义1若xxt及yyt为可导函数，且函数yfx由xxt,yyt确定，则变化率gx与dy称为相关变化率.dtdt相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例1一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升，其速度为 140m/min,当气球高度为500m时，观察员视线的仰角增加率是多少？解设气球上升t分钟后其高度为hh(t),观察员视线的仰角为 (t),则tanh500上式两边对t求导，可得当h500m时，tan2d1dhsec .dt500dt1,即sec2 2,又因为生dtd70一 0.14rad/min.dt500140m/min,所以即此时观察员视线的仰角增加率是 0.14rad/min例2平静的水面由于石头的落入而产生同心波纹，如果最外一圈波纹半径的增大率总是6m/s,问在2s末水面扰动面积的增大率是多少？解设ts时最外一圈波纹半径为 rr(t),此时水面扰动面积为 SS(t),则上式两边对t求导，可得dSdt当t2s时，r6t12m.又因为dr

dtdrrdt,6m/s,所以,dt126144m2/s即在2s末水面扰动面积的增大率是144m2/s5.2经济学上的应用

5.2.1边际与边际分析在经济学中，边际概念是与导数密切相关的一个经济学概念， 它反映的是一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率.定义2设函数yfx在x可导，则称导函数fx为fX的边际函数.fx0称为边际函数fX在XX0处的边际函数值.下面介绍经济分析中几个常用的边际函数：1.边际成本定义3总成本函数CQ的导数CQ称为边际成本.边际成本表示当已生产了Q个单位产品时，再增加一个单位产品使总成本增加的数量.1_2例3设生产某种产品Q个单位的总成本为CQ100-Q2,试求当Q10时的总4成本及边际成本，并解释边际成本的经济意义.1一2一.解由CQ100—Q,可得边际成本函数为4CQQ.2当Q10时，总成本为C10125,边际成本为C105.经济意义：当产量为10个单位时，再增加一个单位产量，总成本需再增加 5个单位..边际收益定义4总收益函数RQ的导数RQ称为边际收益.边际收益表示销售例4某产品的价格边际收益表示销售例4某产品的价格P与销售量Q的关系为P10Q,求Q30时的总收益及边际5收益，并解释边际收益的经济意义.解总收益函数为PQ10QQ-

5边际收益函数为Q102Q.5当Q当Q30时，总收益为R30120,边际收益为R30 2.经济意义：当销售量为30个单位时，再多销售一个单位产品，总收益将减少 2个单位（或者说，再少销售一个单位产品，总收益将少损失 2个单位）..边际禾I润定义5总利润函数LQ的导数LQ称为边际利润.边际利润表示若已经生产了Q个单位的产品，再多生产一个单位的产品时所增加的总边际利润表示若已经生产了例5例5某煤炭公司每天生产煤Q吨的总成本函数为22Q2000450Q0.02Q2,如果每吨煤的销售价为490元,(1)边际成本CQ;(2)总利润函数LQ以及边际利润LQ如果每吨煤的销售价为490元,(1)边际成本CQ;(2)总利润函数LQ以及边际利润LQ;(3)当Q1000吨时的边际利润，并解释其经济意义.解(1)由CQ2000450Q0.02Q2,可得边际成本为CQ4500.04Q.(2)因为总收入函数为RQ490Q,所以总利润函数为LQ490Q2000450Q0.02Q2 200040Q0.02Q2,故边际利润为LQ400.04Q.(3)当Q1000吨时，边际利润为L1000 0.经济意义：当每天煤的产量在 1000吨的基础上再增加一吨时，总利润没有增加.5.2.2弹性与弹性分析弹性概念是经济学中的另一个重要概念，它是用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度.定义6设函数yfx在点X0处可导，函数的相对改变量yfX) x定义6设函数yfx在点X0处可导，函数的相对改变量yfX) xfX0y。fX0与自变量的相对改变量△之比X0J

yy0Xx0称为函数y在X0与X0x两点间的弹性，或两点间的相对变化率或两点间的相对变化率x0时,U0的极限Xx0时,U0的极限XX0yy0XX0lim」任

x0xy0X0X0fX0称为函数yfx在点x称为函数yfx在点x0处的弹性或相对变化率，记为EyEx弁E,戈—fx°•Ex对于一般的x,如果yfx可导，且f旦fxEx它是x的函数，称之为yfx的弹性函数，简称弹性它是x的函数，称之为yfx的弹性函数，简称弹性.注：—fx0表示在点Exx0处，当x改变1%时，函数yE

改变——

Exfxo%.下面介绍经济分析中常见的弹性函数:.需求的价格弹性定义7设某商品的需求函数定义7设某商品的需求函数QfP(P表示商品价格,Q表不需求量)在点P P0处可导，Q0fB,由于一般情形下QfP单调减少，P和Q符号相反，且P0为 QQ P正数，故——和fP0-」均为非正数为了用正数表示弹性，我们称PF0 fP0P0,P0 P为该商品在P为该商品在P0和P0P两点间的需求的价格弹性EQEP为该商品在点P处的需求的价格弹性函数，简称为需求弹性.根据需求弹性的大小，可分为下面三种情况：(1)当P1时，称需求富有弹性，此时需求变动的幅度大于价格变动的幅度，价格变动对需求量的影响较大.(2)当P1时，称需求有单位弹性，此时需求变动的幅度等于价格变动的幅度.P1时，称需求缺乏弹性，此时需求变动的幅度小于价格变动的幅度，价格变动对需求量的影响不大.1200例6已知某商品的需求函数为QfP1200,求:P—30,25,并解释其经济意义；(2)需求弹性函数 P;P28时的需求弹性，并解释其经济意义.解（1）当P030时，有Q01200——40.P0解（1）当P030时，有Q01200——40.P0当P25时，有1200 “Q 48,从而P30,25P0 5,QQ08,其经济意义：当商品价格P从30降到P0Q8530 .c——1.2.4025时，在该区间内，价格P从30每降低1%,需求量从(2)40需求量从(2)40平均增加1.2%.一. 1200因为fP一六，所以需求弹性函数P2(3)P28时的需求弹性为 281.其经济意义：当P28时,2.(3)P28时的需求弹性为 281.其经济意义：当P28时,2.供给的价格弹性价格每上涨（下跌）定义8设某商品的供给函数1200

P21%,上1.1200P需求量则减少（增加）1%.（P表示商品价格，Q表示供给量）在点PP0处可导，Q0fP0,则称Q0为该商品在P。和F0 P两点间的供给弹性PEQEP为该商品在点P为该商品在点P处的供给的价格弹性函数，简称为供给弹性.注：由于供给函数QfP一般为价格的递增函数，故当价格上涨时，供给量相应增加；当价格下跌时，供给量相应减少.例7例7设某商品的供给函数为QfP e2P,求:（1）供给弹性函数 P;（2）当P3时的供给弹性，并解释其经济意义.解（1）因为fP2e2P,所以供给弹性函数为

2e2PP1 TP 2P.e2e2PP1 TP 2P.e2）P 3时的供给弹性为 3 6.其经济意义：当P3时，价格再上涨（下跌）.收益的价格弹性1%,供应量将增加（减少） 6%.定义9设某商品的需求函数为可导函数P（P表布商品价格，Q表不需求量），则收益关于价格的函数为RPPQEREP为该商品在点P处的收益的价格弹性函数例8已知某商品的需求函数为Q502P,求:（1）该商品的收益弹性函数(2)P15时的收益弹性,ER—；EP并解释其经济意义.解（1）该商品的收益弹性函数(2)P15时的收益弹性,ER—；EP并解释其经济意义.解（1）商品的收益函数为__ __ 2RPPQ50P2P,从而收益弹性函数为ER「——RPEPP504P——R 50PP2P2252P25P(2)PER(2)PER15时的收益弹性为旦EP1P15 2其经济意义：当P其经济意义：当P15时，价格再上涨（下跌）1%,总收益将减少（增加）0.5%.习题2-5假设在充气过程中气球始终保持球形,.气球充气时，其半径r以1cm/s的速度增大,假设在充气过程中气球始终保持球形,求r10cm时气球体积的变化率.注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4m3/min,当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？Q2.已知某商品的成本函数为CQ100求当Q10时的总成本及边际成本.4.设某产品的需求函数为P20Q,其中P为价格，Q为销售量，求销售量为155个单位时的总收益和边际收益.5.已知某商品的需求函数为5.已知某商品的需求函数为Q75P2,求:(1)—5,8,并解释其经济意义；(2)需求弹性函数 P；(3) 3、 5和8,并解释其经济意义..设某商品的供给函数为QfP205P,求：(1)供给弹性函数 P;(2)当P6时的供给弹性，并解释其经济意义..设某商品的需求函数为可导函数 QfP(P表示商品价格， Q表示需求量)收益函数为RRPPfP,证明EREQ彳———1.EPEP.已知某公司生产经营的某种电器的需求弹性在 1.5:3.5之间，如果该公司计划在下一年度内将价格降低10%,试求这种电器的销售量将会增加多少？总收益将会增加多少？第6节MATLAB软件应用MATLA酎号工具箱中提供的函数 diff可以求取一般函数的导数及高阶导数， 也可求隐函数和由参数方程确定的函数的导数.函数diff的调用格式如下：D=diff(fun,x,n)参数说明：D是求得的导数，fun是函数的符号表达式，x是符号变量，n是求导阶数，若n缺省，其默认值为1.在MATLA珅还可以使用函数subs来计算函数在某一点的导数值.函数subs的调用格式如下：Z=subs(fun,old,new)参数说明：fun是函数的符号表达式，01d是符号变量，Z是在函数fun中用变量new替换01d后所求得的导数值.例1求ylnxja_X2的导数.解输入命令：symsax;daoshu=diff(1og(x+sqrt(aA2+xA2)),'x');daoshu=simplify(daoshu)%使输出的结果简单化输出结果：daoshu=1/(aA2+xA2)A(l/2)例2求y e2x的5阶导数.解输入命令：symsx;daoshu5=diff(exp(2*x),x,5)输出结果：daoshu5=32*exp(2*x)例3求由方程eyxye0所确定的隐函数的导数 dy.dx解输入命令：symsxy;z=exp(y)+x*y-exp⑴；dydx=-diff(z,x)/diff(z,y)输出结果：dydx=-y/(x+exp(y))例4求由参数方程xetcost,yetsint所确定的函数的导数.解输入命令：symstx=exp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);daoshu=diff(y,t)/diff(x,t);daoshu=simplify(daoshu)输出结果：daoshu=(cos(t)+sin(t))/(cos(t)-sin(t))例5求ycos3x2的微分.解输入命令：symsx;y=cos(3*x+2);dy=[char(diff(y)),'dx']输出结果：dy=-3*sin(3*x+2)dx处的导数值例6求函数fx x3 4sinx在x处的导数值解输入命令：symsxf=xA3+4*sin(x);dfdx=diff(f,x);f_pi=subs(dfdx,x,pi)输出结果：f_pi=3*piA2-4总习题2

(A)2一 .…1.一物体的运动方程为st6,求下列各值:(1)物体在t2到t2t这段时间的平均速度；(2)物体在t2时的速度.r…1ngxsin—.x0.已知函数fxgx,,g0g00,求f00, x0.讨论下列函数在 x 0点的连续性和可导性fx1efx1ex0,x0fxsinx4.设4.设fxbx2,x0在点x0处可导，求a,b的值.aInx1,x05.求曲线5.求曲线yx3 1在点1,2处的切线方程和法线方程6.求下列函数的导数6.求下列函数的导数,、 10(1)y4x1■2.sin22xye；2(2)ylnxx1；sinx,xyxsinxy3x2xxy3x2xx，ey110x110x(8)ye(8)ye2xln32x；yxtan2x.1x2；ylnln4x；cosxyx；(13)lnxx；(15)3yxarctanxy0；yxtan2x.1x2；ylnln4x；cosxyx；(13)lnxx；(15)3yxarctanxy0；y1xey；-x(14)y1x；2y2xyecosxy；tanx1sinx；y、・x1sinx3 . 一x1 x2(19)y7.求下列函数的二阶导数(19)y7.求下列函数的二阶导数(1)y1x2ln1x2；y22lnyx4；(20)yJxcosxln1x2⑵x1nk；yarctantysinxy.8.求由方程sinxyInyxx所确定的隐函数y在x08.求由方程sinxyInyxdxxo xcost.9.求曲线 在t一的相应点MXo,y0处的切线方程和法线方程.y2sint410.求下列函数的微分.3x ,、 ， 2,一ysinxe； (2)ylnxlnVx；yexcos5x；(5)ycosxyexcos5x；(5)ycosx ;1sinx/r\2 2⑺xycosxy0；,、 x2yxe；(6)yJarctanxarctanx2x _y(8)esinyecosx..半径为10cm的金属圆片加热后，其半径伸长了 0.05cm,求其面积增大的精确值和近似值？.一长度为10m的梯子斜靠在墙上顺墙下滑.当梯子下端在离墙 6m时沿着地面以2m/s的速率离墙时，问此时梯子上端下降的速率是多少？.溶液从深18m,顶直径为12m的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10m的圆柱形筒中.已知开始时漏斗