二项式定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）

PAGE6.3二项式定理知识梳理知识梳理1、二项式定理：其中各项的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：2、二项式定理的性质（1）对称性（2）增减性与最大值：当n为偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值（3）各二项式系数的和等于知识典例知识典例题型一二项式定理展开式例1求的展开式.【答案】【分析】直接利用二项式定理求解即可.【详解】巩固练习巩固练习求的展开式：【分析】直接利用二项式定理求解即可.【详解】题型二特殊项例2在的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答）【答案】-160【分析】的展开式的通项为，取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：-160巩固练习巩固练习展开式的二项式系数之和为32，则展开式中的系数是________.（用数字填写答案）【答案】80【分析】先根据展开式的二项式系数之和为32求出的值，再利用二项式展开式的通项求解.【详解】因为展开式的二项式系数之和为32，所以.展开式的通项为，令.所以展开式中的系数是.故答案为：80题型三参数问题例3的展开式中，项的系数为，则实数___________.【答案】【分析】由，分别写出和的展开式通项，分别令的指数为，求出对应的参数值，代入通项可得出关于的等式，进而可求得实数的值.【详解】，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，令，可得，由题意可得，解得.故答案为：.巩固练习巩固练习展开式中的常数项为180，则_________________.【答案】2或【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得的值．【详解】解：展开式中的通项公式为，令，求得，可得它的常数项为，故，故答案为：．题型四系数之和问题例4(1－x)6展开式中，x的奇次项系数和为（）A．32 B．－32C．0 D．－64【答案】B【分析】首先求二项展开式，再求奇次项系数的和.【详解】，所以x的奇次项系数和为，故选：B.巩固练习巩固练习的展开式中，的奇次幂项的系数之和为（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先将展开，再利用赋值法求出奇次幂项的系数之和.【详解】设，令，则，令，则，两式相减，整理得.故选：A题型五两个式子的二项式定理例5展开式中含项的系数为（）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】利用展开式的一次项与的一次项相乘，展开式的二次项与的常数项相乘，即可得到的展开式中含项的系数.【详解】展开式通项，令可得，令可得；含项的系数为：.故选：.巩固练习巩固练习求的展开式中的系数.【答案】【分析】根据，由得，得求解.【详解】因为的展开式中含的项为，所以其系数为.故答案为：600题型六最大项问题例6若的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且的系数为7，求实数的值.【答案】【分析】先由二项式系数最大的项，确定，再由二项展开式的通项公式，得出的系数，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以为唯一最大值，根据二项式系数的性质可得：，则，其展开式的通项公式为，令得，所以，由解得.即实数的值为.巩固练习巩固练习在二项式展开式中，前三项的系数成等差数列．求：（1）展开式中各项系数和；（2）展开式中系数最大的项．【答案】（1）（2），【分析】（1）利用通项公式求出展开式中前三项的系数，根据等差中项列式出，然后令可求得结果；（2）设

展

开

式

中

第

r+1

项

系

数

最

大，根据解得结果即可得解.【详解】（1）因为，所以，

由

题

意

得

2×=1+×，化为：n2-9n+8=0，解得n=1（舍去）或8，∴n=8，在

中，令x=1，可得展开式中各项系数和为=；（2）

设

展

开

式

中

第

r+1

项

系

数

最

大，则

Tr+1==，则，即，即，即，解得

2≤r≤3，因

此

r=2

或

3，即

展

开

式

中

第

3

项

和

第

4

项

系

数

最

大，且

T3==，T4==．∴展开式中系数最大的项分别为：，．巩固提升巩固提升1、二项式的展开式中的系数是________.(用数字作答).【答案】【分析】求得二项展开式的通项为，令，即可求解.【详解】由题意，二项式展开式的通项为，令，可得，所以展开式中的系数是.故答案为：.2、的展开式中的常数项为______.【答案】【分析】先求得展开式的通项公式，再分1乘以和乘以两种情况求解.【详解】展开式的通项公式为，当1乘以时，令，解得，常数项为；当乘以时，令，解得，常数项为；所以的展开式中的常数项为-5，故答案为：-53、若在展开式中，若奇数项的系数之和为32，则含的系数是______.【答案】-6【分析】由题意可知，奇数项的系数之和为，求出，然后求出展开式的通项，利用的指数为，求出参数的值，然后将参数的值代入通项，即可求出含项的系数.【详解】展开式的通项为，奇数项的系数为，解得，展开式的通项为，令，得，因此，展开式中含的系数为.故答案为：.4、若的展开式关于x的系数和为64，则展开式中含项的系数为______.【答案】18【分析】令，由系数和求得，再利用二项式定理得的系数．【详解】由题意，解得，展开式中系数是，的系数是，∴所求系数为．故答案为：18．5、的展开式中的系数为_____________.【答案】【分析】将代数式变形为，写出展开式的通项，令的指数为，求得参数的值，代入通项即可得解.【详解】，展开式通项为，令，可得，因此，展开式中的系数为.故答案为：.6、在的展开式中，的系数为______(用数字作答).【答案】【分析】本题首先可以写出二项式的展开式的通项，然后令的幂的指数等于，求出的值，即可求得的系数.【详解】二项式的展开式的通项，令，解得，则，的系数为，故答案为：.7、二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）【答案】60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解.【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：令可得，此时.8、若展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项为_____.(用数字作答)【答案】10【解析】∵展开式的各项系数之和为32，∴=32解得n=5，n展开式的通项为，当r=2时，常数项为=109、若的二项展开式中所有项的二项式系数和为64，则常数项为____（用数字作答）【答案】-20【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n＝6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【详解】若的二项展开式中所有项的二项式系数和为64可得2n＝64，n＝6，∴，它的展开式的通项公式为，令6﹣2r＝0，得r＝3，可得常数项为﹣，故答案为：﹣20．10、在的展开式中.求：（1）所有项的系数和；（2）的系数；（3）系数最大的