专题6 函数中的双变量问题（解析版）-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之导数

专题6函数中的双变量问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下借组导数处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决.二、解题秘籍(一)与函数单调性有关的双变量问题此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.【例1】（2021届黑龙江省哈尔滨市高三下学期第五次模拟）已知函数,.（1）求函数在上的最值；（2）若对,总有成立,求实数的取值范围.【分析】（1）因为单调递增,时单调递减；时单调递增.由,,,得,.（2）等价于,令,则在上单调递增.问题化为对恒成立.分离参数得对恒成立.令,,故的取值范围是.(二)与极值点有关的双变量问题与极值点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数.【例2】（2021届福建省福州一中高三五模）已知函数,.（1）讨论的零点个数；（2）若有两个极值点,,且,证明：.【分析】（1）,令,时,,,在上单调递增,且,有且只有个零点：时,,,在上单调递增,且,故有且只有个零点；时,有两正根,,,由于,所以,,当时单调递增；时,,,单调递减；单调递增；因为,,所以在上有个零点,且,,又,,且,,在,上各有个零点.综上时,有且只有个零点：当时,有个零点.（2）,方程的根,,,,则,则,,所以等价于,即,令,则在上单调递减,所以,即.(三)与零点有关的双变量问题与函数零点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数,有时也可转化为关于的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以参数为自变量的函数.【例3】（2021届山西省名校联考高三三模）已知函数有两个零点,.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.【分析】（1）,当时,在上单调递增,至多有一个零点,不符合题意；当时,在上单调递减,在上单调递增,,若,,至多有一个零点,不符合题意；若,则,,.,,存在两个零点,分别在,内.实数的取值范围为.（2）方法1：由题意得,令,得,变形得.欲证,即证,即证,然后构造函数证明.方法2：令,则,,两式相除得,,,欲证,即证,即证.,根据在上单调递减证明.(四)独立双变量,各自构造一元函数此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解.【例4】设,g(x)=x3-x2-3.（1）如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M；（2）如果对于任意的,都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.【分析】（1）存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等价于[g(x1)-g(x2)]max≥M.由g(x)=x3-x2-3,得g′(x)=3x2-2x=3x(x-).令g′(x)>0得x<0或x>,令g′(x)<0得0<x<,又x∈[0,2],所以g(x)在区间[0,]上单调递减,在区间[,2]上单调递增,所以g(x)min=g()=,又g(0)=-3,g（2）=1,所以g(x)max=g（2）=1.故[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=≥M,则满足条件的最大整数M=4.（2）对于任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,等价于在区间[,2]上,函数f(x)min≥g(x)max,由（1）可知在区间[,2]上,g(x)的最大值为g（2）=1.在区间[,2]上,f(x)=+xlnx≥1恒成立等价于a≥x-x2lnx恒成立.设h(x)=x-x2lnx,h′(x)=1-2xlnx-x,令m(x)=xlnx,由m′(x)=lnx+1>0得x>.即m(x)=xlnx在(,+∞)上是增函数,可知h′(x)在区间[,2]上是减函数,又h′（1）=0,所以当1<x<2时,h′(x)<0；当<x<1时,h′(x)>0.即函数h(x)=x-x2lnx在区间(,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,所以h(x)max=h（1）=1,所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).(五)独立双变量,换元构造一元函数当两个以上的变元或是两个量的确定关系在解题过程中反复出现.通过变量的四则运算后,把整体处理为一个变量,从而达到消元的目的.【例5】（2021东北三省三校高三四模）已知.（1）求关于的函数的单调区间；（2）已知,证明：.【分析】（1）,的增区间为和,减区间为．（2）令,即不等式等价于,只需证,设,所以在递增,故,即,亦即．(六)独立双变量,把其中一个变量看作常数若问题中两个变量没有明确的数量等式关系,有时可以把其中一个当常数,另外一个当自变量【例6】（2021届四川省天府名校高三下学期4月诊断）已知函数．（1）讨论函数的零点的个数；（2）当时,若恒成立,证明：．【解析】（1）．当时恒成立,因为,函数只有一个零点；当时函数在区间单调递增,在单调递减．且；当时,因为,函数在区间单调递增,所以函数在区间只有一个零点,在区间有一个零点,当时,有两个零点．当时在区间上单调递增,在上单调递减．且此时函数只有一个零点；当时,函数在区间单调递增,在单调递减．且．函数在区间只有一个零点,在区间上有一个零点,当时,有两个零点．（2）恒成立,,即,所以,令,所以在上单调递减,在上单调递增,,所以,即．(七)独立双变量,通过放缩消元转化为单变量问题此类问题一般是把其中一个变量的式子放缩成常数,从而把双变量问题转化为单变量问题【例7】（2021届安徽省合肥高三下学期最后一卷）已知函数．（1）求证：恒成立；（2）若函数有两个不同零点,,求证：．【分析】（1）要证证不等式,即证,设,求出导函数,得出单的区间,求出其最小值,即可证明.

(2)不妨设,由题意即方程有两个不同实数根,,在上的图象位于曲线上方,设直线与抛物线交点横坐标为,由,结合图像知,所以,要证,即证,即证,设,且,由,解得,,解得∴在单调递增,在上单调递减,∴对成立,因为,∴.三、典例展示【例1】已知函数.（1）当时,讨论函数的单调性：（2）若函数恰有两个极值点,且,求的最大值.【解析】（1）函数的定义域为,,当时,恒成立,在上单调递增；当时,令,则,设,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,∴,∴,在上单调递增；综上,当时,在上单调递增；（2）依题意,,则,两式相除得,,设,则,,,∴,,∴,设,则,设,则,∴在单调递增,则,∴,则在单调递增,又,即,而,∴,即的最大值为3.【例2】（2021届安徽省安庆市高三下学期三模）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若,求证.【解析】（1）解：的定义域为令,方程的判别式,（i）当,即时,恒成立,即对任意,所以在上单调递增.（ii）当,即或①当时,恒成立,即对任意,所以在上单调递增.②当时,由,解得所以当时,当时,当时,,所以在上,在上,所以函数在和上单调递增；在上单调递减.综上,当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.（2）证明：由,可得得,因此,因为,令,则,所以,所以,要证明,只需证即证由（1）可知,时,在上是增函数,所以当时,,而,因此成立所以【例3】（2021届浙江省宁波市高三下学期5月仿真测试）已知（1）求的取值范围；（2）若,证明：；（3）求所有整数,使得恒成立.注：为自然对数的底数.【解析】（1）当时,有与矛盾；当时,有与而,与矛盾；当时,有则,由得,所以；综上所述：；（2）设,则,当时,,则在上递增,由于得,即,由（1）知,又,故要证即证即证且①要证,需证,即证需证,设,需证由,又,所以所以在单调减,则,所以成立,则成立；②要证,由于,则需证,即证需证,设,需证由,又,,故有,,所以在单调减,在单调增又,所以,则,得所以成立；（3）因为,所以由设,由,得在上单调减,在上单调增又因为则所以由恒成立,所以的值可以是【例4】（2021届湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中高三下学期仿真模拟）已知函数在点处取极值(其中是自然对数的底数),函数.（1）求实数,的值；（2）若对,,且都有成立,求实数的取值范围.【解析】（1）∵,∴由题意,,∴.当,时,,∵,∴当时,,单调递减；当时,,单调递增,在处取极小值.∴,符合题意.（2）∵不等式等价于或.由（1）知在区间上单调递增,∴不妨设,有,即∴不等式或等价于或,即或.为此构造函数,,,则上式等价于函数为增函数,为减函数.先考虑得对恒成立.∵函数在上单调递增,∴,再考虑得对恒成立.令函数,∵,∴当时,,单调递减；当时,,单调递增,∴∴综上所述,实数的取值范围.【例5】（2021届江苏省泰州中学高三下学期四模）已知函数存在唯一的极值点为．（1）求实数的取值范围；（2）若,证明：．【解析】（1）由题意,函数,可得的定义域为,且,令,①若,可得,所以在上单调递增,不合题意；②若,可得,令,得,所以在上单调递减,在上单调递增,可得,（ⅰ）若,即时,,即,所以在上单调递增,不合题意；（ⅱ）若,即时,,,因为,则,所以在上有两个变号零点,所以有两个极值点,不合题意；③若,,则在上单调递减,且,,存在唯一,使,当时,,,当时,,,所以是的唯一极值点,符合题意；综上,实数的取值范围是．（2）由（1）可知,,因为,,所以,,,由（1）可知函数在上单调递减,所以,,即,,现证明不等式：,其中要证,即证,即证,即证,易知成立．所以,即,即,所以,证毕．四、跟踪检测1.（2021届黑龙江省大庆高三训练）已知函数,．其中为自然对数的底数．（1）若,讨论的单调性；（2）已知,函数恰有两个不同的极值点,,证明：．【解析】（1）,,（i）当时,,函数在上递减；（ii）当时,令,解得；令,解得,函数在递减,在递增；综上,当时,函数在上单调递减；当时,函数在上单调递减,在单调递增；（2）证明：,依题意,不妨设,则,两式相减得,,因为,要证,即证,即证,两边同除以,即证.令,即证,令,则,令,则,当时,,所以在上递减,,在上递减,,即,故．2.已知函数,（1）设函数,求的单调区间和极值；（2）对任意的,存在,使得,求的最小值【解析】（1）由已知所以当时,恒成立,所以在定义域单调递增,没有极值．当时,令,得,所以,即在区间单调递减,在单调递增,时取到极小值,没有极大值综上,当时,在定义域单调递增,没有极值．当时,在区间单调递减,在单调递增,,没有极大值（2）由已知,设即,解得,,所以,令,则令,则恒成立,所以在单调递增,且当时,,所以单调递减当时,,所以单调递增,即时取到极小值,也是最小值,所以,所以的最小值为1.3.（2021届百师联盟高三冲刺卷）已知函数,(),其中是自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）若,对于任意的,,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.【解析】（1）①若,,由,得,则当时,当时,,故在单调递减,在单调递增②若,由,得或当时,,则当时,,故在单调递增当时,,则当时,当时,,故在,单调递增,在单调递减3°当时,,则当时,当时,,故在,单调递增,在单调递减（2）当时,不等式可变形为即因为上式对于任意的,,且时恒成立所以函数在上单调递增令,则在上恒成立即在上恒成立设,则因为时,所以函数在上单调递减,所以所以即实数的取值范围是4.（2021届安徽省合肥市高三下学期高考考前诊断）已知函数.（1）若,求实数的取值范围；（2）若有两个极值点分别为,,求的最小值.【解析】（1）因为,所以,由得或.①当时,因为,不满足题意,②当时,在上单调递减,在上单调递增,于是,解得,所以的取值范围为.（2）函数,定义域为,,因为,是函数的两个极值点,所以,是方程的两个不等正根,则有,,,得,对称轴,故,.且有,,.令,则,,,当时,单调递减,当时,单调递增,所以,所以的最小值为.5.（2021浙江省金华市高三下学期5月模拟）已知函数.（1）若f(x)的最小值为2,求的值；（2）若m=1,a>e,实数为函数f(x)大于1的零点,求证：①②【解析】（1）当时,,单调递增,没有最小值；当时,在(0,m)上单调递减,在上单调递增∴,∴.（2）①时,,由（1）可知f(x)在(0,1)上单调递减,在单调递增,∴,由于,∴存在,使得,也即,也即.要证,只需证设,则只需证,即证.取,则,∴,∴在(0,1)上单调递增∴,∴在(0,1)上