微专题09 函数的单调性问题（解析版）

微专题09函数的单调性问题参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2020秋•威远县校级期中）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：在上单调递增，，解得，的取值范围是．故选：．2．（2020秋•徐州期中）已知是上的增函数，则的取值范围是A．， B． C． D．，【解答】解：是上的增函数，，解得，的取值范围是．故选：．3．（2020•西湖区校级模拟）已知函数是定义在上的单调函数，且，则（1）的值为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意，设（1），，令，则（1）（1），即，再令，则，即（1），是定义在，上的单调函数，解得或，（1），（1），故舍去．（1），故选：．4．（2021春•赤峰期末）定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④能被称为“理想函数”的有个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由，内，设，可得，，，函数上单调递增．①中，而这个函数在为减函数，与函数上单调递增矛盾，所以①不正确；②中，所以函数上单调递增，符合“理想函数”的定义，所以②正确；③中，在为减函数，与题意矛盾，所以③不正确；④中，在为增函数，符合题意，所以④正确；易知②④符合条件，故选：．5．（2020秋•靖远县期末）已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是A．， B．， C．，， D．，，【解答】解：函数在区间上既没有最大值也没有最小值根据二次函数的性质可知，函数在区间上是单调函数或或故选：．6．（2020•西湖区校级模拟）设在定义域上是单调函数，当时，都有，则（3）的值为A．2 B．3 C． D．【解答】解：是定义在上的单调函数，且，是常数，设，则，，解得，，，．故选：．7．（2020秋•浙江期中）已知函数，当，时，恒有成立，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，【解答】解：函数，在上是单调递增函数，且满足，当，时，恒有成立，在，恒成立，即在，恒成立，，，即实数的取值范围是．故选：．二．多选题（共1小题）8．已知函数的图象关于对称，且对，，当，，时，成立，若对任意的恒成立，则的可取值为A． B． C．1 D．【解答】解：因为函数的图象关于对称，所以的图象关于对称即为偶函数，因为当，，时，成立，所以在，上单调递减，根据偶函数对称性可知，在上单调递增，因为，所以恒成立，当时，不等式恒成立，当时，恒成立，因为，当且仅当即时取等号，所以，即．故选：．三．填空题（共9小题）9．（2020秋•郑州期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为．【解答】解：根据题意函数是上的单调减函数，则要求每一段都是减的，而且每一段分段点处的函数值满足左端点函数值右端点函数值，，解得，故答案为：．10．（2020春•浦东新区校级月考）函数的递减区间是，．【解答】解：，其图象如图所示，结合图象可知，函数的单调递减区间，故答案为：，．11．（2020秋•宁波期中）若函数在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，则实数的取值范围是．【解答】解：在区间，上是增函数，故，，在区间，上是减函数，对称中心在，，所以，故答案为：．12．（2020秋•余姚市校级期中）已知函数，，若对任意，，，当时都有，则实数的最小值为．【解答】解：当时都有即：当时都有，令：故需满足在，上是增函数即可，①时，，对称轴0，解得：．②时，，对称轴，解得：．综上：．故答案为：13．（2020•南通模拟）已知函数，，则的解集是．【解答】解：当时，，当时，作出的图象，可得在上递增，不等式即为，或，解得或，即有．则解集为．故答案为：．14．（2013秋•土默特右旗校级期中）已知函数，则满足不等式的的取值范围是，．（用区间表示）【解答】解：由函数的解析式可得，函数在上是增函数，由不等式，可得，解得，故答案为：，．15．（2013秋•红旗区校级期中）已知函数是定义在上的减函数，则满足不等式的取值范围是．【解答】解：根据函数是定义在上的减函数，则由不等式，可得，解得，故答案为：．16．（2013秋•天元区校级月考）已知函数，则满足不等式（1）的的范围是．【解答】解：函数，则函数在，上是增函数，最小值为1，当时，．再由不等式（1），可得，求得，故答案为：．17．（2020秋•汉阳区校级期中）函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是，．【解答】解：若在定义域上满足对任意实数都有，则函数，在定义域上为减函数，则，解得：，，故答案为：，四．解答题（共12小题）18．讨论函数在的单调性，其中为非零常数．【解答】解：设，，且，则：；；，，，；；①时，；在上为减函数；②时，；在上为增函数．19．（2020秋•东湖区校级月考）已知函数，其中为非零常数．（1）若（2），求实数的值；（2）若，判断函数在区间上的单调性并证明．【解答】解：（1）因为，所以（2），（2），解可得，或，证明：（2）若，则，，设，则，因为，所以，，，所以，所以，在区间上的单调递增．20．（2020秋•义乌市期末）定义在上的函数对于任意的，，总有，且当时，且（e）．（1）求（1）的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明；【解答】解：（1）因为，令，则有（1）（1）（1），故（1）；（2）在上单调递减，证明如下：令，，，有，，可得，则，故对任意，，若，则，所以在上单调递减；21．（2020秋•浙江期中）已知函数，其中．若，，判断函数在，上的单调性，并用定义加以证明；【解答】解：（Ⅰ）当，，函数在，上的单调递减．用定义证明如下：设，则，，，，，，，，，，当，，函数在，上的单调递减，22．已知函数对任意，，总有，且当时，，（1）．（1）求；（2）求证：在上是减函数；（3）求在，上的最大值和最小值．【解答】解：（1）令，则；（2）令，则，在上任意取，，且，则△，△，，又时，，，即，由定义可知函数在上为单调递减函数．（3）在上是减函数，在，上也是减函数．又（3）（2）（1）（1）（1）（1），由可得（3），故在，上最大值为2，最小值为．23．（2011秋•思明区校级期中）设二次函数满足条件：①当时，，且；②在上的最小值为0．（1）求（1）的值及的解析式；（2）若在，上是单调函数，求的取值范围；（3）求最大值，使得存在，只要，，就有．【解答】解：（1）在上恒成立，，即（1），函数图象关于直线对称，．（1），又在上的最小值为0，，即，由，解得，；（2）由（1）得，，对称轴方程为，在，上是单调函数，或，解得或或，的取值范围是或或．（3）假设存在满足条件，由（1）知，且，，在，上恒成立在，上递减，，在，上递减，，，，，，，的最大值为9．24．（2020秋•桂林期末）已知函数．（1）求实数的值；（2）用定义证明的单调性，并求出其最大值和最小值．【解答】解：（1）（3），，（2）设是区间，上的任意两个实数，则，由，得，，于是，即，所以，函数在区间，上是减函数，因此，函数在区间，的两个端点分别取得最大值和最小值，即在时取得最大值，最大值是2，在时取得最小值，最小值是0.425．（2020秋•天津期中）已知函数，且（1）（2）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）用定义证明在区间，上单调递增．【解答】解：由（1）（2）可得，解得，，，设，则，，，，，，，在区间，上单调递增．26．（2020•浙江模拟）设函数的定义域为，其中．（1）当时，写出函数的单调区间（不要求证明）；（2）若对于任意的，，均有成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）单调递增区间，，单调递减区间是，．（2）时，不等式成立，时，成立，等价于．设．①时，在，上单调递增，（2），即，，②当时，在，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．（2），（2），；③当时，在，上单调递增，在，上单调递减，在上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递增，（1）（2），且，（2），，且．当时，，；当时，，．综上所述，当时，；当时，．27．（2020•浙江校级模拟）设，，，．（Ⅰ）若，，求的单调区间；（Ⅱ）求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）首先，因为当时，在，上是增函数，在，上也是增函数．所以当时，在，上是增函数；（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）知，（1），②当时，在，上是增函数，在，上是减函数，在，上是增函数．又（1），（a），且（1）（a），解得所以当时，（1），当时，（a）．综上可知，．28．（2020秋•思明区校级期中）已知函数．（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若，求函数在上的值域．【解答】解：（1）根据题意，函数，设，则；当时，，，则，得，函数在上是减函数；同理可得，当时，函数在上是增函数；（2）当时，由（1）得在上是减函数函数在，上也是减函数，其最小值为，最大值为，由此可得，函数在，上的值域为，．29．（20