导数的几何意义 课件

5.1.2导数的几何意义1．了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图象理解导数的几何意义．2．了解导函数的概念，会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点、难点)平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为平均变化率的几何意义

设函数

的图象如图，点

，点

则

在

上的平均变化率为

结合直线斜率的定义可知：函数在点P0到点P1之间的平均变化率即为割线P0P1的斜率.导数的几何意义

我们知道，导数

表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况.那么，导数的几何意义是什么呢？

观察下图，当点

P沿着曲线趋近于点

P0时，割线

P0P的变化趋势是什么？

我们发现，当点

P

沿着曲线无限接近点

P

时，即Δx→0时，割线

P0P趋近于确定的位置，这个确定位置的直线

P0T

称为点

P0处的切线.

容易知道，割线

P0P

的斜率是

当点

P

无限趋近于点

P0时，k无限趋近于切线

P0T

的斜率.因此，函数

在处的导数就是切线

P0T

的斜率k，即1.函数

在

处的导数的几何意义，就是曲线

在点

处的切线的斜率．也即，曲线

在点

处的切线的斜率是

．2.曲线

在点

处的切线方程是:例1．函数

在

处的导数

的几何意义是()A．在点

x0处的斜率B．在点

处切线与

x轴所夹锐角的正切值C．曲线

在点

处切线的斜率D．点

与点(0，0)连线的斜率C导数的几何意义1.下列命题正确的是()A.若

，则函数

在

处无切线B.函数

的切线与函数的图象可以有两个公共点C.函数

在

处的导数D.曲线

在

处的切线方程为

，则B求曲线的切线例2．(1)已知曲线

，求曲线在

处的切线方程；(2)已知曲线

，求曲线在

处的切线方程.解：(1)因为所以切线方程为化简得

(2)因为所以切线方程为化简得

2．(1)已知曲线

，求曲线在点

处的切线方程；(2)已知曲线

，求曲线过点

的切线方程.解：(1)因为所以切线方程为化简得

解：(2)设切点坐标为

，因为切点在曲线

上，则

，又因为过点

的切线斜率为因为切线过

和

两点，所以即

，解得

或①当

时，切点为

，切线为

；②当

时，切点为

，切线为.求曲线上的点

P处的切线与求过点

P的切线有区别：(1)在点

P处的切线，点

P必为切点；(2)求过点

P的切线，点

P未必是切点，应注意概念不同，其求法也有所不同．导函数的定义

从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数．这样，当

x

变化时，

就是

x

的一个函数，我们称它为

的导函数(简称导数)．的导函数有时也记作y'，即函数在某点处的导数与导函数的区别：(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数；(2)函数

在

x0处的导数就是导函数

在

处的函数值．例3．(1)求函数

的导函数；(2)求函数

的导函数.解：(1)(2)1．已知曲线

上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为(

)A．4 B．16 C．8 D．2C

解：曲线在点A处切线的斜率就是函数

在

处的导数，因为故选C.2．曲线

在点(-2，-1)处的切线方程为____________.解：因为所以切线方程为化简得3．设曲线

在点(1，a)处的切线与直线

平行，则

a等于()A.1 B. C. D.A

解：因为又切线的斜率为

2，所以

，故.4.在曲线

上过哪一点的切线．(1)垂直于直线

；