北师版八年级数学下册第五章分式与分式方程教学课件

第五章分式5.1认识分式

第1课时分式的有关概念学习目标1.了解分式的概念；2.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件．（重点）3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．（难点）导入新课情境引入第十届田径运动会（1）如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（）秒；（2）如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（）秒；（3）如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间是（）秒.7100a100a+1100填空：乐乐同学参加百米赛跑（4）后勤老师若把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为()cm；若把体积为V

的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为().VS（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为

元.（8a+b）讲授新课分式的概念一问题1:请将上面问题中得到的式子分分类：7100a100a+1100单项式：多项式：既不是单项式也不是多项式：a100a+11008a+b8a+b整式7100问题2：式子它们有什么相同点和不同点？相同点不同点（观察分母）从形式上都具有分数形式分母中是否含有字母7100a100a+1100分子f、分母g都是整式知识要点分式的定义

一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成

的形式，

且B中含有字母，那么称为分式.其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母不能为零.理解要点：（1）分式也是代数式；（2）分式是两个整式的商，它的形式是（其中A，B都是

整式并且还要求B是含有字母的整式）；（3）A称为分式的分子，B为分式的分母.思考：（1）分式与分数有何联系？②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.整数整数整式整式(分母含有字母）分数分式类比思想特殊到一般思想①7100a+1100整数分数整式分式有理数有理式数、式通性(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？数的扩充式的扩充判一判：下面的式子哪些是分式？分式:归纳：1.判断时，注意含有的式子，是常数.2.式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如：

.规则：从本班选出6名同学到讲台选取自己的名牌:1,a+1,c-3,π,2(b-1)

,

d2再选1名学生发号指令，计时3秒钟6名学生按要求自由组合数学运动会想一想：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？当B=0时，分式无意义.当B≠0时，分式有意义.分式有意义的条件二问题3.已知分式,(1)当x=3时，分式的值是多少?(2)当x=-2时，你能算出来吗?不行，当x=-2时，分式分母为0，没有意义.

即当x______时，分式有意义.(3)当x为何值时，分式有意义？当x=3时，分式值为一般到特殊思想类比思想≠-2例1（1）当a=1,2，-1时，分别求出分式的值；（2）当a取何值时，分式有意义.解：（1）当a=1时，当a=2时，当a=-1时，（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义.

由分母2a-1=0，得所以，当时，分式有意义.

例2

已知分式有意义，则x应满足的条件是(

)A.x≠1B．x≠2C．x≠1且x≠2D．以上结果都不对方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.C（2）当x

时，分式有意义；（1）当x

时，分式有意义；x≠y（3）当b

时，分式有意义；（5）当x

时，分式有意义；（4）当

时，分式有意义.做一做：为任意实数想一想：分式的值为零应满足什么条件？当f=0而g≠0时，分式的值为零.注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.分式值为零的条件三解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零.的值为零.∴当x=1时分式∴x≠-1.而x+1≠0，∴x=±1，则x2-1=0，例3

当x为何值时，分式的值为零?变式训练（1）当

时，分式的值为零.x=2【解析】要使分式的值为零，只需分子为零且分母不为零，∴解得x=2.（2）若的值为零，则x＝

．【解析】分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零，即

解得－3分式

的值为

.因此当时，（2）当

x-2=0，即

x=2

时，解:（1）当2x-3=0，即时，分式的值不存在；例4:当x取什么值时，分式的值.（1）不存在；（2）等于0？有2x-3=4≠0，例5:求下列条件下分式

的值.

（1）x=3； （2）x=－0.4.解（1）当x=3时，（2）当x=－0.4时，3.填表：x…-3-2-10123………01-2-1练一练填表：当堂练习1.下列代数式中，属于分式的有（）

A.B.C.D.C2.当a＝－1时，分式的值()A.没有意义B.等于零C.等于1D.等于－1A3.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A.B.

C.D.A4.已知，当x=5时，分式的值等于零，则k=

.-105.列式表示下列各量：（1）某村有n个人，耕地40公顷,人均耕地面积为

公顷；（2）△ABC的面积为S，BC边长为a，高AD为

；（3）一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为

千米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为

千米/小时.6.在分式中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？

答：当x≠3时，该分式有意义；当x=-3时，该分式的值为零.7.分式的值能等于0吗？说明理由．

答：不能.因为必须x=-3，而x=-3时，分母x2-x-12=0，分式无意义.课堂小结分式定义值为零的条件有意义的条件分式有意义的条件是g≠0.分式值为零的条件是f=0且g≠0.概念：一个整式f除以一个非零整式g（g中含字母）所得的商.第五章分式5.1认识分式

第2课时分式的基本性质学习目标1.理解并掌握分式的基本性质．（重点）2.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．（难点）导入新课情境引入分数的基本性质

分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.

2.这些分数相等的依据是什么？1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？讲授新课分式的基本性质一思考：下列两式成立吗？为什么？分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.分数的基本性质：即对于任意一个分数有：想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？思考：分式的基本性质：分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.上述性质可以用式表示为：其中A,B,C是整式.知识要点

例1填空：

看分母如何变化，想分子如何变化.

看分子如何变化，想分母如何变化.典例精析想一想：（1）中为什么不给出x≠0,而（2）中却给出了b≠0?想一想:运用分式的基本性质应注意什么?(1)“都”(2)“同一个”(3)“不为0”例2

不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.⑴⑵解：

不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号⑴⑵⑶解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=练一练想一想：联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进行约分？分式的约分二（）（）与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的最简公分母.

把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．知识要点约分的定义

在化简分式时，小颖和小明的做法出现了分歧：小颖：小明：你对他们俩的解法有何看法？说说看！一般约分要彻底,使分子、分母没有公因式.议一议

判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.注意知识要点最简分式分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式.

例3

约分:

典例精析分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.找公因式方法:（1）约去系数的最大公约数.（2）约去分子分母相同因式的最低次幂.解：(公因式是5abc)解：分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分.约分:做一做解：(公因式是ab)解：知识要点约分的基本步骤（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．注意事项：（1）约分前后分式的值要相等.（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.当堂练习2.下列各式中是最简分式的（）B1.下列各式成立的是（）A.B.C.D.D3.若把分式

A．扩大两倍B．不变

C．缩小两倍

D．缩小四倍

的x和y都扩大两倍,则分式的值()B4.若把分式中的和都扩大3倍,那么分式的值().

A．扩大3倍B．扩大9倍

C．扩大4倍D．不变A5.下列各分式，哪些是最简分式？哪些不是最简分式？解：

最简分式：不是最简分式：解：

6.约分课堂小结分式的基本性质内容作用分式进行约分的依据注意(1)分子分母同时进行；(2)分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；(3)分子分母只能同乘或同除同一个整式；(4)除式是不等于零的整式进行分式运算的基础第五章分式5.2分式的乘除法学习目标1.掌握分式的乘除运算法则.（重点）2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算．（难点）导入新课情境引入问题1

一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的时,水高多少?长方体容器的高为,水高为问题2

大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?

大拖拉机的工作效率是公顷/天,小拖拉机的工作效率是公顷/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的()倍.想一想：

类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？讲授新课分式的乘除一填空：类比探究类似于分数，分式有：乘法法则：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

除法法则：

两个分式相乘，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

上述法则用式子表示为：归纳法则例1

计算:解：典例精析注意：按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.先把除法转化为乘法约分解：（1）原式（2）原式（1）（2）做一做方法归纳

分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算．例2

计算：解：原式=

分子、分母是多项式时，先分解因式便于约分.约分解：原式=

先把除法转化为乘法.整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式．负号怎么得来的？(1)解：原式做一做解：原式(2)1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式．)要点归纳分式乘除法的解题步骤当x=1999,y=-2000时,得做一做方法总结：根据分式乘除法法则将代数式先进行计算化简，再代入求值.同时注意字母的取值要使分数有意义！思考：本题中，x的取值不能为哪些数？分式的乘方二根据乘方的意义计算下列各式：类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？10个想一想：一般地，当n是正整数时，n个n个n个这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.想一想：目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？(1)am·an＝am+n

；(2)am÷an＝am-n；(3)(am)n＝amn；(4)(ab)n＝anbn；知识要点分式的乘方法则理解要点：（1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成.（2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除.×√

例4

“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克.（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？1mam（a-1）m分式的乘除法应用三am1m（a-1）m∵a>1,

0＜（a－1）2,a

2-1>0，由图可得（a－1）2＜a

2-1.∴解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是（a

2-1）m2，单位面积产量是kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是（a－1）2m2，单位面积产量是kg/m2.

∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.（2）所以“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍.一条船往返于水路相距100km的A,B两地之间，已知水流的速度是每小时2km，船在静水中的速度是每小时xkm（x>2），那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.【解析】顺流速度为（x+2）km/h，逆流速度为（x-2）km/h，由题意得做一做当堂练习1.计算等于（）A.B.C.D.C2.化简的结果是（）B

3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？对4.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？解：设花生的总产量是1，则解：（1）原式（1）（2）5.计算：（2）原式解析：利用分式的乘法法则先进行计算化简，然后代入求值．6.先化简，再求值：解析：将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．课堂小结分式乘除运算乘除法运算注意(1)分子分母是单项式的，先按法则进行，再约分化成最简分式或整式除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算(2)分子分母是多项式的，通常要先分解因式再按法则进行(3)运用法则时要注意符号的变化第五章分式5.3分式的加减法

第1课时同分母分式的加减1.理解同分母分式的加减法的法则，会进行同分母分式的加减法运算；（重点）2.会把分母互为相反数的分式化为同分母分式进行加减运算.（难点）学习目标

1.同分母分数的加减法则是什么吗？2.计算：12同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.导入新课回顾与思考思考：类比前面同分母分数的加减，想想下面式子怎么计算？a1a2+猜一猜：同分母的分式应该如何加减？讲授新课同分母分式的加减一类比探究观察下列分数加减运算的式子,你想到了什么？请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减?知识要点同分母分式的加减法则同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减上述法则可用式子表示为例1

计算：解：注意:把分子相加减后，要进行因式分解，通过约分，把所得结果化成最简分式．（2）原式典例精析例2

计算：解:原式=分母不变分子相加减合并整理能约分的要约分注意：把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个分子都要用括号括起来解：原式===注意：结果要化为最简分式！=例3

计算：

解：原式===

注意：结果要化为最简分式！=把分子看作一个整体，先用括号括起来！（去括号）（合并同类项）注意：当分子是多项式时要加括号！

注意：结果要化为最简形式！做一做思考：下列等式是否成立？为什么？

分式的符号法则二例3

计算:解：典例精析

分式的分母是互为相反数时，可以把其中一个分母放到带有负号的括号内，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．方法总结1.计算：当堂练习2.计算：3.计算：4.先化简，再求值：其中x=3.∵x=3,∴原式=课堂小结分式加减运算同分母加减法则符号法则第五章分式5.3分式的加减法

第2课时异分母分式的加减(1)1.会确定几个分式的最简公分母，并根据分式的基本性质进行统分；（重点）2.会运用通分法则进行异分母分式的加减.（重点、难点）学习目标1.分式的基本性质：一个分式的分子与分母同乘（或除以）一个________________,分式的值_______.不变不为0的整式2.什么叫约分？

把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分.导入新课回顾与思考3.把下面分数通分：最简公倍数：4×3×2=24类比分数，怎样把分式通分呢？例1找出下面各组分式最简公分母：最小公倍数最简公分母最高次幂单独字母

类似于分数的通分要找最小公倍数，分式的通分要先确定分式的最简公分母.讲授新课最简公分母一不同的因式

最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有分母和式子的最高次幂.找最简公分母:x(x-5)（x+5）(x+y)2(x-y)练一练异分母分式的加减二问题：请计算()，().异分母分数相加减分数的通分依据：分数的基本性质转化同分母分数相加减异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减.

请计算()，();

依据:分数基本性质分数的通分同分母分数相加减异分母分数相加减转化异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减.异分母分式相加减分式的通分依据:分式基本性质转化同分母分式相加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.请思考

b

d

b

d

类比：异分母的分式应该如何加减?解：最简公分母是例2

通分:解：最简公分母是(x-5)(x+5)找最简公分母：第一要看系数；第二要看字母(式子）.分母是多项式的先因式分解，再找公分母.总结归纳

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.知识要点异分母分式的加减法则

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.上述法则可用式子表示为例3

计算：解:(2)注意：先确定公分母(各个分式的分母变成相同)，通分后，再计算.因式分解先化简，再确定最简公分母通分整式加减法则最简分式做一做例5小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2vkm/h．小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h．那么：（1）小刚从家到学校需要多长时间？（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间．解：（1）小刚从家到学校需要（2）小丽从家到学校需要小丽比小刚在路上花费时间少因为所以小丽在路上花费的时间少.2.分式的最简公分母是______________.C1.三个分式的最简公分母是（）

B.

C.

D.

A.4xy3y212xy212x2y22x(x-1)(x+1)当堂练习

3.

计算：4.计算：

(1)223267xyyx-

；(2)

3-xx─2-xx.(1)原式=

=(2)原式=

─

==解：1.分式加减运算的方法思路：

通分

转化为异分母相加减同分母相加减分子（整式）相加减分母不变转化为2.分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式）.课堂小结第五章分式5.3分式的加减法

第3课时异分母分式的加减(2)学习目标1.复习并巩固分式的运算法则.2.能熟练地进行分式的混合运算.（难点）导入新课复习引入1.分式的乘除法法则是什么，用字母表示出来？2.分式的加减法法则是什么，用字母表示出来？解：原式===注意：(1-x)=-(x-1)例1

计算：分母不同，先化为同分母.异分母分式的加减一讲授新课解：原式=先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.解：原式===注意：分母是多项式先分解因式先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.=知识要点分式的加减法的思路

通分

转化为异分母相加减同分母相加减分子（整式）相加减分母不变转化为例2.计算：法一：原式=法二：原式=把整式看成分母为“1”的分式阅读下面题目的计算过程.

①=②=③=④（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的代号_______；（2）错误原因___________；（3）本题的正确结果为：

.②漏掉了分母做一做例3

计算：解：原式从1、-3、3中任选一个你喜欢的m值代入求值当m=1时，原式先化简，再求值：,其中．解：

做一做分式的混合运算二问题：如何计算？

请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.

解：先乘方，再乘除，最后加减分式的混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.要点归纳计算结果要化为最简分式或整式．例4

计算：

解：原式先算括号里的加法，再算括号外的乘法注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把分母看做“1”或解：原式注意：分子或分母是多项式的先因式分解，不能分解的要视为整体.做一做解：原式计算：解：原式方法总结：观察题目的结构特点，灵活运用运算律，适当运用计算技巧，可简化运算，提高速度.例5

计算：

利用乘法分配率简化运算用两种方法计算：解：（按运算顺序）原式做一做解：（利用乘法分配律）

原式例6：计算分析：把和看成整体，题目的实质是平方差公式的应用.解：原式巧用公式例7.繁分式的化简：解法1:原式把繁分式写成分子除以分母的形式，利用除法法则化简拓展提升解法2：利用分式的基本性质化简例8.若，求A、B的值.解：∴解得解析：先将等式两边化成同分母分式，然后对照两边的分子，可得到关于A、B的方程组.分式的混合运算（1）进行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算乘除，后算加减；（2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算.

混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，综合性强.总结归纳A. B．C．－1D．2当堂练习1.

计算的结果为（

) C2.填空：

43.计算:解：(1)原式=(2)原式=4.先化简，再求值：：，其中x＝2016.课堂小结2.分式的混合运算法则先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.1.分式加减运算的方法思路：

通分

转化为异分母相加减同分母相加减分子（整式）相加减分母不变转化为第五章分式5.4分式方程

第1课时分式方程的概念及列分式方程学习目标1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.（难点）2.能根据题意列分式方程.(重点）导入新课情境引入

甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程；（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh．那么y满足怎样的方程．讲授新课分式方程的概念及列分式方程一问题1甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程；等量关系：①乘高铁列车=乘特快列车-9，②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍；（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh．那么y满足怎样的方程．问题2

为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？思考

由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？分母中都含有未知数.分式方程的概念

分式方程的特征分母中含有未知数的方程叫做分式方程.（1）是等式；（2）方程中含有分母；（3）分母中含有未知数.知识要点判一判下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方程分式方程方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．

例1下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？解：（2）、（3）是分式方程，（1）、（4）、（5）是整式方程，（6）不是方程.注意：判断一个方程是不是分式方程，关键是看分母中有没有未知数.（4）中π是一确定的数不是未知数.典例精析例2

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?

解：设江水的流速为

v

千米/时，根据题意，得思考：结合问题1和2，我们发现列分式方程和一元一次方程有什么共同特点？步骤一样列分式方程的步骤：（1）审清题意，明确题目中的未知数；（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.归纳总结当堂练习1.下列属于分式方程的是（）

A2.岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则可列方程__________.

3.某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道xm，则可得方程_______________.

课堂小结分式方程概念列方程步骤分母中含有未知数的方程叫做分式方程.1.审清题意，明确题目中的未知数；2.根据题意找等量关系，列出分式方程.第五章分式5.4分式方程

第2课时分式方程的解法1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；（重点）2.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.（难点）学习目标导入新课复习引入1.解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，未知数系数化为1.2.解一元一次方程解：3x-2（x+1）=63x-2x=6+2

x=8你能试着解这个分式方程吗？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？（4）这样做的依据是什么？解分式方程最关键的问题是什么？（1）如何把它转化为整式方程呢？“去分母”分式方程的解法讲授新课方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x)解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得

检验：将x=6代入原分式方程中，左边==右边，因此x=6是原分式方程的解.90（30-x)=60(30+x)，解得x=6.x=6是原分式方程的解吗？解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.归纳总结下面我们再讨论一个分式方程：解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得x+5=10，解得

x=5.x=5是原分式方程的解吗？检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解，实际上，这个分式方程无解.想一想：上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？真相揭秘：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.

我们再来观察去分母的过程:90(30-x)=60(30+x)两边同乘(30+x)(30-x)当x=6时,(30+x)(30-x)≠0真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.x+5=10两边同乘(x+5)(x-5)当x=5时,(x+5)(x-5)=0解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．怎样检验？这个整式方程的解是不是原分式的解呢？分式方程解的检验------必不可少的步骤检验方法：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。4.写出原方程的根.简记为：“一化二解三检验”.知识要点“去分母法”解分式方程的步骤例1

解方程：解：方程两边都乘最简公分母x(x－2)，得解这个一元一次方程，得x=－3.检验：把x=－3代入原方程的左边和右边，得因此x=－3是原方程的解．典例精析解：两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得x+2=4.解得x=2.检验：把x=2代入原方程，两边分母为0，分式无意义.因此x=2不是原分式方程的解，从而原方程无解.提醒：在去分母,将分式方程转化为整式方程解的过程中出现使最简公分母（或分母）为零的根是增根.用框图的方式总结为：分式方程整式方程去分母解整式方程x=a

检验x=a是分式方程的解

x=a不是分式方程的解

x=a最简公分母是否为零？否是例2关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是____________．解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵关于x的方程的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.a＜－1且a≠－2若关于x的分式方程无解，求m的值．例3

解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.

分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．方法总结1.解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（）A.2（x-8)+5x=16(x-7)B.2(x-8)+5x=8C.2(x-8)-5x=16(x-7)D.2(x-8)-5x=8A2．若关于x的分式方程无解，则m的值为()A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5D当堂练习3.解方程解：

方程两边乘x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.检验：当x=9时，x(x-3)≠0.所以，原分式方程的解为x=9.4.解方程解：

方程两边乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.5.解方程：解：去分母，得解得检验：把代入所以原方程的解为6.若关于x的方程有增根，求m的值.解：方程两边同乘以x-2，得2-x+m=2x-4,

合并同类项,得3x=6+m,∴m=3x-6.∵该分式方程有增根，∴x=2，∴m=0.课堂小结分式方程的解法注意(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．步骤（去分母法）一化（分式方程转化为整式方程）；二解（整式方程）；三检验（代入最简公分母看是否为零）(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用）(3)忘记检验第五章分式5.4分式方程

第3课时分式方程的应用学习目标1.理解数量关系正确列出分式方程.（难点）2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.（重点）导入新课问题引入1.解分式方程的基本思路是什么？2.解分式方程有哪几个步骤？3.验根有哪几种方法？分式方程整式方程转化去分母一化二解三检验有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？基本上有4种：（1）行程问题：路程=速度×时间以及它的两个变式；（2）数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；（3）工程问题：

工作量=工时×工效以及它的两个变式；（4）利润问题：批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价。讲授新课列分式方程解决工程问题一例1

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？表格法分析如下：工作时间（月）工作效率工作总量（1）甲队乙队等量关系：甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”设乙单独完成这项工程需要x天.解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是，根据题意得即方程两边都乘以2x,得解得x=1.

检验：当x=1时，2x≠0.所以，原分式方程的解为x=1.由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.想一想：本题的等量关系还可以怎么找？甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”此时表格怎么列，方程又怎么列呢？工作时间（月）工作效率工作总量（1）甲单独两队合作设乙单独完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是甲队的工作效率是，合作的工作效率是.此时方程是：1表格为“3行4列”知识要点工程问题1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；2.通常间接设元，如××单独完成需x（单位时间），则可表示出其工作效率；4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．做一做解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．由题意得.解得x＝6.经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．例2朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？0180200列分式方程解决行程问题二路程速度时间面包车小轿车200180x+10x分析：设小轿车的速度为x千米/小时

面包车的时间=小轿车的时间

等量关系：

列表格如下：解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意得解得x＝90经检验，x＝90是原方程的解，且x=90，x+10=100，符合题意.答：面包车的速度为100千米/小时，小轿车的速度为90千米/小时.注意两次检验:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.做一做

1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？0180200300解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得解得x＝30经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意.答：