2023年甘肃省天水市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年甘肃省天水市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.下列命题中正确的有（）．A.A.

B.

C.

D.

2.

3.

A.

B.

C.

D.

4.设y=2x，则dy=A.A.x2x-1dx

B.2xdx

C.(2x/ln2)dx

D.2xln2dx

5.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定敛散性

6.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.2

7.A.(－5，5)B.(－∞，0)C.(0，+∞)D.(－∞，+∞)

8.

9.

10.

11.

12.

13.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

14.设f(x)在点x0处连续，则下面命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

15.函数f(x)=2x3-9x2+12x-3单调减少的区间为A.(-∞，1]B.[1，2]C.[2，+∞)D.[1，+∞)

16.

17.

18.

19.

20.下列说法中不能提高梁的抗弯刚度的是()。

A.增大梁的弯度B.增加梁的支座C.提高梁的强度D.增大单位面积的抗弯截面系数

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.设f(0)=0，f'(0)存在，则

29.

30.

31.

32.函数f(x)=ex，g(x)=sinx，则f[g(x)]=__________。

33.

34.设y=ex/x，则dy=________。

35.

36.若f(ex)=1+e2x，且f(0)=1，则f(x)=________。

37.

38.设f(x)=xex，则f'(x)__________。

39.设，且k为常数，则k=______．

40.

三、计算题(20题)41.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

42.

43.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

44.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

46.求微分方程的通解．

47.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

48.

49.

50.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

51.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

52.

53.

54.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

55.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

56.

57.证明：

58.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

59.

60.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

四、解答题(10题)61.

62.设z=z(x，y)由ez-z+xy=3所确定，求dz。

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.求在区间[0，π]上由曲线y=sinx与y=0所围成的图形的面积A及该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积Vx。

五、高等数学(0题)71.

_________当a=__________时f(x)在(一∞，+∞)内连续。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B本题考查的知识点为级数的性质．

可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．

2.D解析：un、vn可能为任意数值，因此正项级数的比较判别法不能成立，可知应选D。

3.D

故选D．

4.Dy=2x，y'=2xln2，dy=y'dx=2xln2dx，故选D。

5.A本题考察了级数的绝对收敛的知识点。

6.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

7.C本题考查的知识点为判定函数的单调性。

8.C

9.A

10.C

11.D解析：

12.D

13.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

14.C本题考查的知识点有两个：连续性与极限的关系；连续性与可导的关系．

连续性的定义包含三个要素：若f(x)在点x0处连续，则

(1)f(x)在点x0处必定有定义；

(2)必定存在；

(3)

由此可知所给命题C正确，A，B不正确．

注意连续性与可导的关系：可导必定连续；连续不一定可导，可知命题D不正确．故知，应选C．

本题常见的错误是选D．这是由于考生没有正确理解可导与连续的关系．

若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必定连续．

但是其逆命题不成立．

15.Bf(x)=2x3-9x2+12x-3的定义域为(-∞，+∞)

f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。

令f'(x)=0得驻点x1=1，x2=2。

当x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。

当1＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调减少。

当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。因此知应选B。

16.C

17.B

18.B

19.A解析：

20.A

21.tanθ-cotθ+C

22.

23.

24.2．

本题考查的知识点为极限的运算．

能利用洛必达法则求解．

如果计算极限，应该先判定其类型，再选择计算方法．当所求极限为分式时：

若分子与分母的极限都存在，且分母的极限不为零，则可以利用极限的商的运算法则求极限．

若分子与分母的极限都存在，但是分子的极限不为零，而分母的极限为零，则所求极限为无穷大量．

检查是否满足洛必达法则的其他条件，是否可以进行等价无穷小量代换，所求极限的分子或分母是否有非零因子，可以单独进行极限运算等．

25.2

26.

27.

28.f'(0)本题考查的知识点为导数的定义．

由于f(0)=0，f'(0)存在，因此

本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误：

因为题设中只给出f'(0)存在，并没有给出，f'(z)(x≠0)存在，也没有给出，f'(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误．

29.

30.6．

本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

31.e-3/2

32.由f(x)=exg(x)=sinx；∴f[g(x)]=f[sinx]=esinx

33.e1/2e1/2

解析：

34.

35.0

36.

因为f"(ex)=1+e2x，则等式两边对ex积分有

37.

38.(1+x)ex

39.

本题考查的知识点为广义积分的计算．

40.0

41.

42.

则

43.由等价无穷小量的定义可知

44.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

45.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

46.

47.

48.

49.

50.

51.函数的定义域为

注意

52.

53.

54.由二重积分物理意义知

55.

列表：

说明

56.由一阶线性微分方程通解公式有

57.

58.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.本题考查的知识点为求隐函数的微分．

解法1将方程两端关于x求导，可得

解法2将方程两端求微分

【解题指导】

若y＝y(x)由方程F(x，y)＝0确定，求dy常常有两种方法．

(1)将方程F(x，y)＝0直接求微分，然后解出dy．

(2)先由方程F(x，y)＝0求y，再由dy＝ydx得出微