天津蓟县许家台中学2023年高三数学文联考试题含解析

天津蓟县许家台中学2023年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（

）A.－

B.－C.＋

D.＋

参考答案：A解答：由题可知.

2.过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且，则双曲线M的离心率是A．

B.

C.

D.参考答案：答案：D解析：过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1,若与双曲线的两条渐近线分别相交于点,

联立方程组代入消元得，∴，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴b2=9，双曲线的离心率e=，选D.3.（3）已知点（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A4.设函数的最小正周期为，且，则

(A)在单调递减

(B)在单调递减

(C)在单调递增

(D）在单调递增参考答案：A略5.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的s值，则的值为（

）A．4

B．3

C．2

D．―1参考答案：A易知，所以。6.已知实数满足不等式组，则的最大值为（

）A.3

B.4

C.6

D.9参考答案：C【知识点】简单的线性规划问题作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），

变形目标函数z=2x+y可得y=-2x+z，

平移直线y=-2x可知，当直线经过点A（3，0）时，z取最大值，

代值计算可得z=2x+y的最大值为6

【思路点拨】作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得．7.已知复合命题“p且q”为假命题，则可以肯定的是（

）

A．p为假命题

B．q为假命题

C．p、q中至少有一个为假命

D．p、q均为假命题参考答案：C8.在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别是a、b、c，若bcosA=acosB,则△ＡＢＣ是（

）（Ａ）等腰三角形（Ｂ）直角三角形

（Ｃ）等腰直角三角形

（Ｄ）等边三角形参考答案：A略9.设（，），（，），…，（，）是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是

A．和的相关系数为直线的斜率

B．和的相关系数在0到1之间

C．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同

D．直线过点参考答案：D本题考查了回归直线方程最小二乘法、相关系数、样本中心等知识点，难度中等。

因为回归直线方程恒过样本点中心，故选D10.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（

）参考答案：C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中常数项是

．参考答案：15

.12.已知向量=（1，3），=（﹣2，m），若与垂直，则m的值为．参考答案：﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】运用向量的数乘及加法运算求出向量，然后再由垂直向量的数量积为0列式求解m的值．【解答】解：由=（1，3），=（﹣2，m），所以，又由与垂直，所以1×（﹣3）+3×（2m+3）=0，即m=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．13.已知定义在R上的函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．参考答案：【分析】先根据构造差函数，再根据条件化为一元函数，利用导数确定其单调性，最后根据单调性解不等式，解得结果.【详解】由，可得，即.因为，所以问题可转化为恒成立，记，所以在上单调递增.又，所以当时，恒成立，即实数的取值范围为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.14.设U=，A=，若，则实数m=____参考答案：-315.设,则=

。参考答案：1

16.在△中，角所对的边分别为，已知，，．则=_______________.参考答案：略17.已知双曲线则其渐近线方程为_____________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2，宽为1的矩形，矩形两边、紧靠两条互相垂直的路上，现要过点修一条直线的路，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点和.（1）设（），将的面积表示为的函数；（2）求的面积（）的最小值.参考答案：（1）；（2）时，.19.（12分）设函数f(x)=x2﹣(a+1)x+alnx，a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）的零点个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，求出f（x）的单调区间，从而求出f（x）的极大值，判断出函数的零点个数即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）∵==当0＜a＜1时，令f'（x）＜0得a＜x＜1；令f'（x）＞0得0＜x＜a或x＞1，所以函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）；当a=1时，恒成立，所以函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞1时，令f'（x）＜0得1＜x＜a；令f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a，所以函数f（x）的单调增区间为（0，1）和（a，+∞），单调减区间为（1，a）．（2）由（1）可知，当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1），所以，，注意到f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有唯一零点，当a=1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，又注意到，f（4）=ln4＞0所以函数f（x）有唯一零点；当a＞1时，函数f（x）的单调递增是（0，1）和（a，+∞）上，单调递减是（1，a）上，所以，，注意到f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有唯一零点，综上，函数f（x）有唯一零点．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20.已知,命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立。(Ⅰ）若为真命题，求的取值范围。(Ⅱ）当，若为假，为真，求的取值范围。参考答案：（1）

（2）或略21.已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，

（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为因为，由抛物线的定义可知，解得或（舍去）由，解得．所以抛物线的方程为．…….3（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，设．因为，则，由得，故，故直线的斜率因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线的方程得，由题意，得设，则当时，，可得直线的方程为，由，整理得，直线恒过点当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．…7（ⅱ）由（ⅰ）知直线过定点，所以。设直线的方程为，因为点在直线上故．设，直线的方程为由于，可得，代入抛物线的方程得所以，可求得，所以点到直线的距离为==则的面积，当且仅当即时等号成立，所以的面积的最小值为．……………………1222.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域中（含边界），且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为km．

（Ⅰ）设∠BAO=(rad)，将表示成的