天津杨家楼中学2023年高三数学理期末试卷含解析

天津杨家楼中学2023年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=log2x+，若x1∈（1，2），x2∈（2，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0参考答案：【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据函数f（x）=log2x+利以及复合函数的单调性的判定方法可知，该函数在（1，+∞）是增函数，并且可以求得f（2）=0，利用单调性可以得到答案．【解答】解：函数f（x）=log2x+在（1，+∞）是增函数，（根据复合函数的单调性）而f（2）=0，∵x1∈（1，2），x2∈（2，+∞），∴f（x1）＜0，f（x2）＞0，故选B．2.已知i为虚数单位，复数z满足，则

（

）A.1

B.2

C.

D.参考答案：C，，，故选C.

3.右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图,其俯视图是面积为8的矩形,则该几何体的表面积是（

）A．20+8 B．24+8C．8 D．16参考答案：A【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2此几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为，（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．4.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.双曲线?y2=1的焦点坐标是(

)A.(?，0)，(，0) B.(?2，0)，(2，0) C.(0，?)，(0，) D.(0，?2)，(0，2)参考答案：B∵，∴双曲线的焦点坐标是，.6.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为 （

） A． B． C． D．参考答案：【知识点】抛物线的几何性质

H7D是抛物线的准线，则到的距离等于，抛物线的焦点，过P作垂线，和抛物线的交点就是，所以点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值，就是到直线距离，所以最小值=，故选择D.【思路点拨】到的距离等于，过P作垂线，和抛物线的交点就是，所以点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值.7.已知向量a,b满足|a|=1，且对任意实数，|a－b|的最小值为，|b－a|的最小值为，则|a+b|＝（

）A．

B． C．或

D．或参考答案：C8.已知角的终边经过,则等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A9.设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：D略10.已知等差数列中，是方程的两根，则A．

B．

C．1007

D．2014参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个组合体的三视图如图，则其体积为________________

参考答案：【答案解析】

解析：三视图复原的几何体是下部为底面半径为2高为4的圆柱，上部是底面半径为2为3的圆锥，所以几何体的体积为：故答案为：．【思路点拨】利用三视图复原的几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．12.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间［0,m］上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为

参考答案：〔1，2〕13.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为

.参考答案：将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以,则球的表面积为.14.若各项均为正数的等比数列满足，则公比

．参考答案：15.已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为_________。参考答案：略16.某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是

元参考答案：5000设每天安排生产个遥控小车模型，个遥控飞机模型，则生产个遥控火车模型，依题得，实数满足线性约束条件目标函数为，化简得，作出不等式组表示的可行域(如图所示)：作直线，将直线向右上方平移过点时，直线在y轴上的截距最大，由得所以，此时（元）.17.在△中，，，，则_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数为实数).(1)若为偶函数，求实数的值；

(2)设，求函数的最小值.参考答案：(1)由已知；(2)，当时，，由得，从而，故在时单调递增，的最小值为；当时，，故当时，单调递增，当时，单调递减，则的最小值为；由，知的最小值为.19.已知数列{an}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项即可求出公差d，再写出通项公式即可，（2）化简bn根据式子的特点进行裂项，再代入数列{bn}的前n项和Sn，利用裂项相消法求出Sn．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．∴（2+2d）2=（3+3d）（2+d），解得d=2，∴an=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n，（2）bn====（﹣），∴Sn=（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣20.已知数列{an}中，a1=1，a2=3，其前n项和为Sn，且当n≥2时，an+1Sn﹣1﹣anSn=0．（1）求证：数列{Sn}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）令bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可证明．（2）当n≥2时，bn==，又．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）证明：当n≥2时，an+1Sn﹣1﹣anSn=0．∴，∴，又由S1=1≠0，S2=4≠0，可推知对一切正整数n均有Sn≠0，则数列{Sn}是等比数列，公比q==4，首项为1．∴．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3×4n﹣2，又a1=S1=1，∴an=．（2）解：当n≥2时，bn===，又．∴，则，当n≥2时，bn=，则，n=1时也成立．综上：．21.（本小题满分12分）某校开设了甲、乙、丙、丁四门选修课，每名学生必须且只需选修1门选修课，有3名学生A、B、C选修什么课相互独立.(Ⅰ)求学生A、B、C中有且只有一人选修课程甲，无一人选修课程乙的概率；(Ⅱ)求课程丙或丁被这3名学生选修的人数的数学期望.参考答案：解：(Ⅰ)记“学生A、B、C中有一人选修课程甲，且无人选修课程乙”为事件R……（1分）

………………（5分）答：学生A、B、C中有一人选修课程甲，且无一人选修课程乙的概率为.………（6分）(Ⅱ)课程丙或丁被这3名学生选修的人数=0、1、2、3

…………（7分），

，，.

…（11分）所以（人）.

………………（12分）22.（12分）已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）。现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点。

（I）求证：BC⊥平面AEC；

（II）求二面角C—AB—E的正切值；

（III）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由。

参考答案：解析：证：（I）在图1中，过C作CF⊥EB，∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD=1，∴EF=1。∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3。∴AE=BF=1。∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1。连结CE，则CE=CB=∵EB=2，∴∠BCE=90°。则BC⊥CE。

…………3分在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，∴AE⊥平面BCDE。∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC。

…………5分∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC。

…………6分

（II）∵AE⊥平面BCDE，CF平面BCDE。∴AE⊥CF。∴CF⊥平面ABE。过C作CG⊥AB，连结FG，则∠CGF就是二面角C—AB—E的平面角。……6分又CF=1，AE=1，CE=BC=。∴AC=在Rt△ACB中，AB=又AC·BC=AB·CG，∴CG=∴FG=∴二面角C—AB—E的正切值为

…………8分

（III）用反证法。假设EM∥