天津中山中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析

天津中山中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用8个数字可以组成不同的四位数个数是（

）A．168

B.180

C.204

D.456参考答案：C2.已知是第二象限的角，其终边上的一点为，且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.等于

（

） A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.已知集合A={x|x2﹣5x+6＞0}，B={x||x﹣3|＜1}，则A∪B=（）A．（3，4） B．R C．（﹣∞，2）∪（2，+∞） D．（3，4）∪{2}参考答案：C【考点】1D：并集及其运算．【分析】运用二次不等式的解法，化简集合A，由绝对值不等式的解法，化简集合B，再由并集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合A={x|x2﹣5x+6＞0=（﹣∞，2）∪（3，+∞），B={x||x﹣3|＜1}=（2，4），∴A∪B=（﹣∞，2）∪（2，+∞）．故选：C．5.执行如图所示的程序框图，若输出x的值为127，则输入的正整数x的所有可能取值的个数为（）A．2 B．5 C．3 D．7参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】根据题中程序框图的含义，分别令x=7，6，5，4，3，2，1检验，即可得到满足条件的正整数的个数．【解答】解：令2x﹣1=127，解得：x=7，故输入x=7符合，当输入的x＞7时，输出的结果总是大于127，不符合，x=6时，输出的x=263﹣1，不符合，x=5时，输出的x=231﹣1，不符合，x=4时，输出的x=215﹣1，不符合，x=3时，输出的x=127，符合，x=2时，输出的x=127，符合，x=1，没有输出结果，故输入的所有x的可能的值是2，3，7，共3个，故选：C．6.设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆M：所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据垂径定理求出圆心到直线距离为，再根据点到直线的距离公式可得，得到，即可求出，根据正弦定理可得【详解】双曲线的一条渐近线方程为双曲线的渐近线被圆：即所截得的两条弦长之和为，设圆心到直线的距离为，则，即，，，根据正弦定理可得，，故选【点睛】本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，考查了直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，考查了学生的计算能力，属于中档题。7.命题p：?a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga（x﹣1）的图象过点（2，0），命题q：?x∈N，x3＜x2．则（）A．p假q假 B．p真q假 C．p假q真 D．p真q真参考答案：B【考点】2K：命题的真假判断与应用；4N：对数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的单调性及幂函数图象和性质，分析命题p，q的真假，可得答案．【解答】解：当x=2时，loga（x﹣1）=loga1=0恒成立，故命题p：?a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga（x﹣1）的图象过点（2，0），为真命题；?x∈N，x3≥x2恒成立，故命题q：?x∈N，x3＜x2为假命题，故选：B8.集合,,则

A.{(1,0)}

B.{y|0≤y≤1}

C.{1,0}

D.参考答案：A9.已知||=2，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】利用平面向量投影的定义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小．【解答】解：记向量与向量的夹角为θ，∴在上的投影为||cosθ=2cosθ．∵在上的投影为，∴cosθ=，∵θ∈[0，π]，∴θ=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，基础题目．10.设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，则CuM=A．U

B．{1,3,5}

C．{3,5,6}

D．{2,4,6}

参考答案：C，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的取值范围为

．参考答案：【考点】函数最值的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】将不等式转化为k2≥．只要求得最大值即可．【解答】解：显然k＞0，故k2≥．令t=＞0，则k2≥令u=4t+1＞1，则t=．可转化为：s（u）=，于是，≤（1+2）=．∴k2≥，即k≥时，不等式恒成立（当x=4y＞0时等号成立）．故答案为：【点评】本题考查将不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，求最值时一般是转化为基本函数解决，或用基本不等式，或用导数求解．12.用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位数有个．参考答案：14考点： 计数原理的应用．专题： 排列组合．分析： 本题需要分三类第一类，3个1，1个2，第二类，3个2，1个1，第三类，2个1，2个2，根据分类计数原理可得，或者利用列举法．解答： 解：方法一：1，2”组成一个四位数，数字“1，2”都出现的共3类，第一类，3个1，1个2，有3个1的排列顺序只有1种，把2插入到3个1所形成的4个间隔中，故有=4种，第二类，3个2，1个1，有3个2的排列顺序只有1种，把1插入到3个2所形成的4个间隔中，故有=4种，第三类，2个1，2个2，先排2个1只有一种，再把其中一个2插入到2个1只形成的3个间隔中，再把另一个2插入所形成的四个间隔中，2个2一样，故=6，根据分类计数原理，数字“1，2”都出现的四位数有4+4+6=14个方法二，列举即可，1112，1121，1211，2111，1122，1212，1221，2121，2112，2211，2221，2212，2122，1222，共14种故答案为14点评： 本题主要考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题13.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（1，2），C（3，﹣1），点P（x，y）为△ABC边界及内部的任意一点，则x+y的最大值为

．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】由三角形三个顶点的坐标作出平面区域，令z=x+y，化为y=﹣x+z，数形结合顶点最优解，把最优解的坐标代入得答案．【解答】解：△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（1，2），C（3，﹣1），如图，令z=x+y，化为y=﹣x+z，可知当直线y=﹣x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故答案为：3．14.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则_________．参考答案：1028略15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是_____________;参考答案：116.已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．参考答案：2﹣4【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．17.已知x，y满足条件，则z=x+3y的最大值是．参考答案：10考点： 简单线性规划．

专题： 计算题；不等式的解法及应用．分析： 由x，y满足条件，作出可行域，利用角点法能求出z=x+3y的最大值．解答： 解：由x，y满足条件，作出可行域：∵z=x+3y，A（，0），∴zA=；解方程组，得B（1，3），∴zB=1+3×3=10；∵C（0，2），∴zC=0+3×2=6；∴O（0，0），∴zO=0．故z=x+3y的最大值是10．故答案为：10．点评： 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=mx﹣，g（x）=2lnx．（Ⅰ）当m=1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根．（Ⅱ）若x∈（1，e]时，不等式f（x）﹣g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）m=1时，令，求导数，证明h（x）在（0，+∞）上为增函数，利用h（1）=0，可得结论；（Ⅱ）恒成立，即m（x2﹣1）＜2x+2xlnx恒成立，又x2﹣1＞0，则当x∈（1，e]时，恒成立，构造函数，只需m小于G（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）m=1时，令，…，…∴h（x）在（0，+∞）上为增函数…又h（1）=0，∴f（x）=g（x）在（1，+∞）内无实数根…（Ⅱ）恒成立，即m（x2﹣1）＜2x+2xlnx恒成立，又x2﹣1＞0，则当x∈（1，e]时，恒成立，…令，只需m小于G（x）的最小值，，…∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时，G′（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上单调递减，∴G（x）在（1，e]的最小值为，则m的取值范围是…【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数，构造函数求最值是关键．19.（本小题满分12分）数列的前项和是，且.

⑴求数列的通项公式；

⑵记，数列的前项和为，证明：.参考答案：解：(1)由题

①

②①-②可得，则.

(3分)当时，则，则是以为首项，为公比的等比数列，因此.

(6分)(2)，

(8分)所以，

(10分)

(12分)20.设函数，不等式的解集为M.（1）求M；（2）当时，恒成立，求正数a的取值范围.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式f（x）≤6的解集即可；(2)结合第一问的表达式，分情况讨论即可.【详解】（1）当时，，解得；当时，可得；当时，，解得.综上，不等式的解集.（2）当时，等价于，得；当时，等价于，得；当时，等价于得综上，实数的取值范围