单因素试验结果的统计分析

单因素试验结果的统计分析第一页，共六十一页，2022年，8月28日单因素随机区组试验结果的方差分析单因素拉丁方试验结果的统计分析缺区估计原理及方法第二页，共六十一页，2022年，8月28日§12.1单因素随机区组试验结果的方差分析第三页，共六十一页，2022年，8月28日单因素随机区组可以看作是处理因素A有k个处理，区组因素B有n个重复的二因素试验，其试验结果是一个k行n列的两向表：第四页，共六十一页，2022年，8月28日A因素

B因素

B1B2—

Bn总计Ti.平均A1A2：AkX11x12—X1nT1.T2.︱Tk.X21x22—X2n︱︱︱︱xk1xk2—xkn总和T.jT.1T.2—T.kT..平均

组合内只有单个观察值的两向分组资料第五页，共六十一页，2022年，8月28日

由于这类试验往往只研究因素A的处理效应，而划分区组是为提高试验精确度而采用的局部控制手段，它不是一个真正的试验因素，故属单因素试验。试验因素：①可控的；②在数量或质量上可以划分成不同等级和水平的。

第六页，共六十一页，2022年，8月28日一、单因素随机区组的线性模型和期望均方

其中，为样本平均数；为第i处理效应（i=1,2,…,

k);

为第j区组效应（j=1,2,…

,n)；为随机误差，且相互独立，遵从分布。并满足对于k个处理、n个区组的单因素随机区组试验（数据结构见表），样本中每一个观察值的线性模型为：第七页，共六十一页，2022年，8月28日表12.1

单因素随机区组资料的方差分析和期望均方变异来源DFSSMS

期望均方固定模型随机模型区组间处理间试验误差n-1k-1(n-1)(k-1)SSbSStSSeMSbMStMSe总变异nk-1SST第八页，共六十一页，2022年，8月28日二、单因素随机区组试验结果分析示例【例12.1】有一烤烟品种产量比较试验，供试品种有A、B、C、D、E、F共六个品种，其中D为对照，采用随机区组设计，四次重复，小区计产面积60㎡其田间排列和小区产量如下图，试作分析。E13.7C16.6A15.3F17.0D16.4B18.0A16.2B18.3F17.5D17.8E14.0C17.8A14.9D17.3E13.6B17.6C17.8F17.6F18.2C17.6A16.2E13.9B18.6D17.3ⅣⅢⅠⅡ第九页，共六十一页，2022年，8月28日1、试验数据的整理

表12.2

品种和区组两向表

区组品种ⅠⅡⅢⅣTt.

亩产ABCDEF15.314.916.216.218.017.618.018.316.617.817.617.816.417.317.317.813.713.613.914.017.017.618.217.562.672.569.868.855.270.315.5618.1317.4517.2013.8017.58173.87201.42193.87191.09152.32195.31Tb.97.098.8101.8101.6T=399.2第十页，共六十一页，2022年，8月28日2、自由度与平方和的分解﹟自由度的分解：误差自由度dfe=(n-1)(k-1)=(4-1)(6-1)=15处理自由度dft=k-1=6-1=5区组自由度dfb=n-1=4-1=3总自由度dfT=nk-1=4×6-1=23第十一页，共六十一页，2022年，8月28日矫正数C=T2/nk=(399.2)2/(4×6)=6640.03SSe=SST-SSb-SSt=57.05-2.68-52.38=1.99﹟平方和的分解：第十二页，共六十一页，2022年，8月28日

3、方差分析及F测验

变异来源DFSSMSFF0.05F0.01

区组32.680.89

品种552.3810.48

误差151.990.13

总变异2357.05

表12.3表7.2资料的方差分析及F测验6.8580.623.295.422.904.56****第十三页，共六十一页，2022年，8月28日

对于区组项的变异在一般情况下，试验只需将他从误差中分离出来，并不一定要作F测验，更用不着进一步作区组间的比较。如果区组间的F值达到了显著水平，并不意味着试验的可靠性差，而正好说明由于采用了区组设计（局部控制），把区组间的变异从误差中排除，从而降低了误差，提高了试验的精确度。区组间的方差分析与F测验第十四页，共六十一页，2022年，8月28日4、品种间的多重比较LSD0.01=Sd×t0.01=0.25×2.947=0.74(kg/60m2)(1)最小显著差数法(LSD)※以小区平均数为比较标准查附表3，当df=15时，t0.05=2.131,t0.01=2.947LSD0.05=Sd×t0.05=0.25×2.131=0.53(kg/60m2)第十五页，共六十一页，2022年，8月28日因而得到各品种与对照品种（D）的差数及其显著性于下表：

表12.4考烟品种小区平均产量与差异显著性(LSD)品种小区平均产量与对照的差数及其显著性BFCD(CK)AE18.1317.5817.4517.2015.6513.800.93**0.380.25--1.55**-3.40**第十六页，共六十一页，2022年，8月28日

推论：以上比较表明，只有B品种的产量极显著地高于对照种D，F、C品种皆与对照种无显著差异，A、E品种极显著地低于对照种。

第十七页，共六十一页，2022年，8月28日※以亩产量为比较标准

cf=666.67/试验小区的计产面积（以平方米为单位）cf=6000/试验小区的计产面积

(以平方尺为单位）

将试验小区的平均产量折算成亩产量，通常需扩大cf倍第十八页，共六十一页，2022年，8月28日LSD0.01=Sd×t0.01=2.78×2.947=8.19（kg/亩）

因本试验的小区面积为60m2，故:cf=666.67/60=11.1倍，差数标准误也应扩大11.1倍，即：LSD0.05=Sd×t0.05=2.78×2.131=5.92（kg/亩)第十九页，共六十一页，2022年，8月28日品种亩产量与对照的差数及其显著性BFCD（CK）AE201.42195.31193.87191.09173.87153.31烤烟品种亩产量与亩产量比较的差异显著性

推论：比较结果表明，B品种极显著地高于对照种，F、C品种与对照种无显著差异，A、E品种极显著低于对照种。10.33**4.222.78-17.42**-37.78**第二十页，共六十一页，2022年，8月28日※以小区总产量为比较标准

差数标准误LSD0.01=Sd×t0.01=1.02×2.947=3.01(kg/4×60m2)LSD0.05=Sd×t0.05=1.02×2.131=2.17(kg/4×60m2)第二十一页，共六十一页，2022年，8月28日品种小区总产量与对照的差异及其显著性B72.50F70.30C69.80D(ck)68.80A62.60E55.20

烤烟品种的小区总产及其差异显著性3.7**1.51.0-6.2**-13.6**第二十二页，共六十一页，2022年，8月28日（2）最小显著极差法（LSR）当df=15，k=2、3、…、6时，由附表6可查出相应5%、1%的SSR值，根据公式：如果我们的试验目的在于不仅要测验各品种与对照相的差异显著性，而且要测验各品种相互比较的差异显著性，此时应选用SSR法。※以小区平均数为比较标准

品种标准误第二十三页，共六十一页，2022年，8月28日即可求得各k的最小显著极差值（LSR），结果列于下表：表12.5烤烟品种新复极差测验的最小显著极差(LSR)K23456SSR0.053.013.163.253.313.36SSR0.014.174.374.504.584.64LSR0.050.540.570.590.600.61LSR0.010.750.790.810.820.84第二十四页，共六十一页，2022年，8月28日表12.6烤烟品种产量的新复极差测验品种小区平均产量差异显著性

5%1%B18.13F17.58C17.45D(CK)17.20A15.65E13.80abbbcdAAABDCBB第二十五页，共六十一页，2022年，8月28日

推论：以上结果表明，考烟品种B的产量，显著高于其他品种，并极显著地高于D、A、E品种。F、C、D品种之间没有显著的差异，但均极显著地高于A、E品种。第二十六页，共六十一页，2022年，8月28日品种标准误品种标准误※以亩产量为比较标准※以小区总产量为比较标准第二十七页，共六十一页，2022年，8月28日

§7.2

单因素拉丁方试验结果的方差分析第二十八页，共六十一页，2022年，8月28日因此在总变异中要扣除行区组间变异、列区组间变异和处理间变异后，剩余的部分才是试验误差。拉丁方试验在纵横两个方向都应用了局部控制，使得纵横两向皆成区组。在试验结果的统计分析上拉丁方设计要比随机区组设计多一项区组间变异，试验的结果比随机区组更准确.拉丁方设计第二十九页，共六十一页，2022年，8月28日行区组列区组误差处理效应行区组处理效应误差4124单因素拉丁方设计单因素随机区组设计4321第三十页，共六十一页，2022年，8月28日一、拉丁方设计的线性模型与期望均方

假定以代表拉丁方的i横行、j纵行的交叉观察值，再以t代表处理，则样本中任一观察值的线性模型为：其中，为样本平均数；为第i行区组的效应；为第j列区组的效应；为第l处理的效应；为随机误差，且相互独立，遵从分布。第三十一页，共六十一页，2022年，8月28日

、、间彼此独立，没有互作，并且满足：第三十二页，共六十一页，2022年，8月28日表12.7k×k拉丁方设计的方差分析与期望均方变异来源DFSSMS期望均方（EMS)

固定模型随机模型横行区组间k-1SSaMsa纵行区组间k-1SSbMSb处理间k-1SStMSt试验误差(k-1)(k-2)SSeMSe

总变异k2–1SST第三十三页，共六十一页，2022年，8月28日二、试验结果的分析示例【例12.2】有A、B、C、D、E五个水稻品种作比较试验，其中E为对照种，采用5×5拉丁方设计，小区计产面积20㎡，其田间排列和小区产量如下表，试作分析。第三十四页，共六十一页，2022年，8月28日

列区组

ⅠⅡⅢⅣⅤⅠ行

Ⅱ区

Ⅲ组

ⅣⅤ

表12.8水稻品种比较5×5拉丁方试验的田间排列和小区产量D21.0B19.2C19.6A13.2E16.0A14.0D20.0E14.0C19.4B18.2E15.2C19.4D20.0B18.6A13.6C20.2A15.8B19.6E14.4D19.4B17.8E17.8A17.2D21.2C20.2第三十五页，共六十一页，2022年，8月28日

列区组

ⅠⅡⅢⅣⅤTa

Ⅰ行Ⅱ区Ⅲ组ⅣⅤ

Tb

1、试验数据的整理横向区组和纵向区组两向表D21.0B19.2C19.6A13.2E16.089.0A14.0D20.0E14.0C19.4B18.285.0E15.2C19.4D20.0B18.6A13.686.8C20.2A15.8B19.6E14.4D19.489.4B17.8E17.8A17.2D21.2C20.294.288.292.290.486.887.4T=455第三十六页，共六十一页，2022年，8月28日表12.9水稻各品种的小区总和、小区平均和亩产量（kg)品种小区总和（Tt.）小区平均亩产量

A13.2+14.0+13.6+15.8+17.2=73.814.76491.95B19.2+18.2+18.6+19.6+17.4=93.418.68622.60C19.6+19.4+19.4+20.2+20.2=98.819.76658.60D21.0+20.0+20.0+19.4+21.2=101.620.32677.27

E16.0+14.0+15.2+14.4+17.8=77.415.48515.95第三十七页，共六十一页，2022年，8月28日

矫正数:C=T2/k2=4552/(5×5)=7921

横向区组:dfa=k-1=5-1=4总变异:dfT=k2

–1=52-1=242、自由度与平方和的分解第三十八页，共六十一页，2022年，8月28日纵行区组:dfb=k-1=5-1=4品种:

dft=k-1=5-1=4

误差:dfe=(k-1)(k-2)=(5-1)(5-2)=12第三十九页，共六十一页，2022年，8月28日3、方差分析与F测验

表12.10水稻品种比较试验的方差分析变异来源DFSSMSFF0.05F0.01横行区组48.722.18----纵行区组44.051.01----品种4127.9531.99误差1212.801.07总变异24153.522.040.9429.903.265.41**第四十页，共六十一页，2022年，8月28日

由于F=29.9＞F0.01故应接受HA,即各供试品种的产量之间是有极显著差异的。因此需进一步对品种作多重比较。＃对区组间通常可以不必进行F测验与多重比较＃对品种间作F测验：第四十一页，共六十一页，2022年，8月28日

4、品种间的多重比较

以小区平均数作比较单位

(1)最小显著差数法（LSD)

差数的标准误查附表3，当df=12时，t0.05=2.179,t0.01=3.055,LSD0.05=0.65×2.179=1.41(kg)LSD0.01=0.65×3.055=1.99(kg)第四十二页，共六十一页，2022年，8月28日表12.11水稻品种小区平均产量与对照种的差异显著性品种小区平均产量与对照的差数及其显著性D

C

B

E(CK)

A20.3219.7618.6815.4814.76

----

推论：测验结果表明，D、C、B三品种的产量均极显著地高于对照种。4.84**4.28**3.20**-0.72第四十三页，共六十一页，2022年，8月28日（2）最小显著极差法（SSR）

当df=12,k=2、3、4、5时，由附表6可查出相应的5%，1%临界SSR值，平均数的标准误第四十四页，共六十一页，2022年，8月28日可求得各k的最小显著极差值LSR，所得结果列于下表：

K2345SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.013.084.321.421.993.234.551.492.093.334.681.532.153.364.761.552.19根据公式：表12.12水稻品种新复极差测验的最小显著极差第四十五页，共六十一页，2022年，8月28日

表12.13水稻品比试验的新复极差测验品种小区平均产量

差异显著性5%1%DCBEA20.3219.7618.6815.4814.76

推论：D品种显著高于B、E、A品种，C与D之间、B与C之间差异均不显著。D、C、B三品种极显著地高于E、A品种。aabbccAAABB第四十六页，共六十一页，2022年，8月28日

§12.3缺区估计一、缺区估计的需要

在田间试验中，由于某种意外因素的影响，使某些小区的性状观察值发生丢失的现象，称为缺区。

试验中若有缺区，则试验结果就会丧失均衡性，方差分析也因此不能按原计划进行。第四十七页，共六十一页，2022年，8月28日

在试验中对缺区的处理，通常有两种：①如果某一区组的缺区较多，应考虑放弃这一区组；如果某一处理的缺区较多，则应考虑不要这一处理。第四十八页，共六十一页，2022年，8月28日②如果整个试验只有个别缺区，而取消一个处理又会严重影响试验结果的分析，这时可考虑应用统计方法“补上”缺区的相应估计值。这种“补上”并不能增加任何试验信息，仅是为了便于分析。第四十九页，共六十一页，2022年，8月28日二、缺区估计的基本原理一个小区的观察值发生缺失,要估计出相应小区的最可能的值或最可信的值，从统计学的观点看，实际上就是误差为零的值。添加误差为零的值进行分析，不会改变误差的平方和，从而又能保证误差的无偏估计。第五十页，共六十一页，2022年，8月28日对缺区进行估计，应首先找出相应于有关设计的误差效应表达式;令估计值的误差效应为0，即可计算出相应的估计值。第五十一页，共六十一页，2022年，8月28日单因素随机区组试验的线性模型为：且满足，，

线性模型的误差项总和必等于零，但任一观察值的误差则不一定等于零。

第五十二页，共六十一页，2022年，8月28日

现假定有缺值，则要求将该添进资料后能满足上述模型中误差项总和等于零的条件。因此缺值的误差值必须等于零。=0第五十三页，共六十一页，2022年，8月28日即其中，为区组数；为处理数；为缺区所在的处理总和（不含缺区）；为缺区所在的区组总和（不含缺区）；为全试验总和（不含缺区）。第五十四页，共六十一页，2022年，8月28日

拉丁方试验的缺区估计原理和随机区组试验一样。根据拉丁方设计的线性模型，缺区估计值应满足下式：其中，为试验处理数；为缺区所在横行区组的总和（不含缺区）；为缺区所在纵行区组的总和（不含缺区）；为缺区所在处理的总和（不含缺区）；为全试验的的总和（不含缺区）；第五十五页，共六十一页，2022年，8月28日三、缺一个小区的随机区组试验结果分析示例【例12.3】假设在例12.1中，烤烟品种C在第Ⅱ区