-13.4　课题学习　最短路径问题 提优课时训练 人教版数学八年级上册

13.4课题学习最短路径问题一一条对称轴距离和最短问题1.如图,直线l是一条河,P,Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M,向P,Q两村供水,现有如下四种铺设方案,图中PM,MQ表示铺设的管道,则所需管道最短的是()2.如图,点P,Q在直线AB外,在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中,形成无数个三角形:△O1PQ,△O2PQ,…,△OnPQ,在这样的运动变化过程中,这些三角形的周长 ()A.不断变大 B.不断变小C.先变小再变大 D.先变大再变小3.如图,等腰三角形ABC的底边BC的长为4,面积为24,腰AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E,F,若D为BC边的中点,M为线段EF上一动点,则△CDM的周长的最小值为()A.8 B.10 C.12 D.144.如图,在河岸l的同侧有两个居民小区A,B,现欲在河岸边建一个长为a的绿化带CD(宽度不计),使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小.在图中画出绿化带的位置,并写出画图过程.二两条对称轴距离和最短问题5.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ANM的度数为 ()A.80° B.90° C.100° D.130°6.如图,在△ABC中,AB=BC,点D在AC上,BD=6cm,E,F分别是AB,BC边上的动点,△DEF周长的最小值为6cm,则∠ABC的度数为 ()A.20° B.25° C.30° D.35°7.如图,已知牧马营地在点M处,每天牧马人要赶着马群到河边饮水.(1)求到河边饮水的最短路线;(2)如果饮完水后,需再到草地吃草,然后回到营地,试设计出最短的牧马路线.8.如图,某护城河在C和C'处直角转弯,河宽均相等,从A处到达B处,须经两座桥DD',EE'(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西或南北走向的,请设计出架桥路线,使ADD'E'EB的长最短.

典题讲评与答案详析1.D2.C[解析]如图,作点P关于直线AB的对称点P',连接P'Q交直线AB于点O.∵两点之间线段最短,且PQ的长为定值,∴当点O运动到此点时三角形的周长最短.∴这些三角形的周长先变小再变大.3.D[解析]如图,连接AD,MA.∵△ABC是等腰三角形,D是底边BC的中点,∴AD⊥BC.∴S△ABC=12BC·AD=12×4解得AD=12.∵EF是线段AC的垂直平分线,∴点A关于直线EF的对称点为点C,MA=MC.∴MC+DM=MA+DM≥AD.∴AD的长为MC+MD的最小值.∴△CDM的周长的最小值为(MC+MD)+CD=AD+12BC=12+12×4=14.4.解:如图,作线段AP∥l,使AP=a,且点P在点A的右侧;作点P关于直线l的对称点P',连接BP'交l于点D;在l上点D的左侧截取DC=a,则CD就是所求绿化带的位置.5.C[解析]如图,延长AB到点A',使得BA'=BA,延长AD到点A″,使得DA″=AD,连接A'A″与BC,CD分别交于点M,N.∵∠ABC=∠ADC=90°,∴点A,A'关于BC对称,点A,A″关于CD对称,此时△AMN的周长最小.∵BA=BA',MB⊥AB,∴MA=MA'.同理NA=NA″.∴∠A'=∠MAB,∠A″=∠NAD.∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A',∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″,∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″).∵∠BAD=130°,∴∠A'+∠A″=180°-∠BAD=50°.∴∠AMN+∠ANM=2×50°=100°.6.C[解析]如图,将△ABD和△DBC分别沿着AB和BC向外翻折,得△ABG和△HBC,连接GH,分别交AB,BC于点E,F,此时△DEF的周长最小,即为GH的长,∴GH=6cm.∵BD=6cm,∴BG=BH=BD=6cm=GH.∴△BGH是等边三角形.∴∠GBH=60°.∴2∠ABD+2∠DBC=60°.∴∠ABD+∠DBC=30°.∴∠ABC=30°.故选C.7.解:把河流抽象成直线a,把草地抽象成直线b.(1)如图①,过点M作MP⊥直线a于点P,则MP即为最短路线.(2)如图②,分别作点M关于直线a,b的对称点A,B,连接AB与直线a,b分别交于点C,D,则最短的牧马路线为M→C→D→M.8.解:过点A作河岸的垂线并向河岸方向截取AF=河