九年级中考数学 一轮复习：锐角三角函数及其应用（含答案）

2021中考数学一轮复习：锐角三角函数及其应用一、选择题1.（2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为 （） A. B.

C. D.2.如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（）A.B.C.D.3.(2019•江苏苏州)如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是A． B． C． D．4.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是()A.eq\f(1,2)B.1C.eq\r(3)D.25.(2019•湖南长沙•3分)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．(30+30)nmile6.(2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx7.（2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．acosx+bsinxB．acosx+bcosxC．asinx+bcosxD．asinx+bsinx8.如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是()A.(sinα，sinα)B.(cosα，cosα)C.(cosα，sinα)D.(sinα，cosα)二、填空题9.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m.10.(2019•湖北荆门)计算+|sin30°﹣π0|+=__________．11.齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的边缘光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1m，则该车大灯照亮的宽度BC是________m．(不考虑其他因素，参考数据：sin8°＝eq\f(4,25)，tan8°＝eq\f(1,7)，sin10°＝eq\f(9,10)，tan10°＝eq\f(5,28))12.(2019•湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．13.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)14.如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)15.【题目】（2020·哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝，CD＝1,则BC的长为.16.（2020·苏州）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线.过点作，交射线于点，过点作，交于点.设，，则________.三、解答题17.若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A处到B处约需时间几分．(参考数据：eq\r(3)≈1.7)18.如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．

19.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF.(1)求证:BF是☉O的切线;(2)若☉O的直径为3，sin∠CBF=33，求BC和BF的长

20.(2019·本溪)小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF=30cm，CE：CD=1：3，∠DCF=45°，∠CDF=30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求AC的长度(结果保留根号)；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果保留根号)．21.如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1图22021中考数学一轮复习：锐角三角函数及其应用-答案一、选择题1.【答案】

B【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，∴在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC，∵AC＝2，CB＝3，∴AB，∴sin∠ABC，∴∠ADC的正弦值等于，因此本题选B．2.【答案】B【解析】过点B作BD⊥AC于D点D，则∠ADB=90°，设小正方形方格的边长为1，根据勾股定理得AB=，BD=,∴在Rt△ABD中，sin∠BAC=,故选B．3.【答案】C【解析】过作交于，，在中，，，，故选C．4.【答案】D【解析】如解图，将AB平移到PE位置，连接QE,则PQ＝2eq\r(10)，PE＝2eq\r(2)，QE＝4eq\r(2)，∵△PEQ中，PE2＋QE2＝PQ2，则∠PEQ＝90°，∴tan∠QMB＝tan∠P＝eq\f(QE,PE)＝2.5.【答案】D【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC•cos∠ACD=60×=30．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．所以此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30+30)nmile．故选D．6.【答案】D【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选D．7.【答案】A【解析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，∴∠CDE+∠ADO＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAO＝x，∵sin∠DAO，cos∠CDE，∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝D×cos∠CDE＝acosx，∴OE＝DE+OD＝acosx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；因此本题选A．8.【答案】C【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，则在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即点P的坐标为(cosα，sinα)．二、填空题9.【答案】2(eq\r(3)－eq\r(2))【解析】开始时梯子顶端离地面距离为4×sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，移动后梯子顶端离地面距离为4×sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，故梯子顶端沿墙面升高了2eq\r(3)－2eq\r(2)＝2(eq\r(3)－eq\r(2))m.10.【答案】1﹣【解析】原式=2﹣+1﹣﹣=1﹣．故答案为：1﹣．11.【答案】1.4【解析】如解图，作AD⊥MN于点D，由题意得，AD＝1m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴BD＝eq\f(AD,tan8°)＝eq\f(1,\f(1,7))＝7m，CD＝eq\f(AD,tan10°)＝eq\f(1,\f(5,28))＝eq\f(28,5)＝5.6m，∴BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4m.

12.【答案】0【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．13.【答案】11【解析】∵∠A＝30°，∴PM＝eq\f(1,2)PA＝9海里．∵∠B＝55°，sinB＝eq\f(PM,PB)，∴0.8＝eq\f(9,PB)，∴PB≈11海里．14.【答案】10eq\r(3)＋1【解析】如解图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则AE＝CD＝10m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×eq\r(3)＝10eq\r(3)m，∴BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10eq\r(3)＋1)m.

15.【答案】5或7【解析】本题考查了特殊三角函数，三角形的高，因为钝锐三角形的高的不同，此题有两种情况，①点D在BC延长线上，在△ABD中tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD－CD＝6－1＝5；②点D在BC上，在△ABD中tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD＋CD＝6＋1＝7，因此本题答案为5或7．16.【答案】【答案】三、解答题17.【答案】解：如解图，过点B作BC垂直于河岸，垂足为C，则在Rt△ACB中，有AB＝eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(900,sin60°)＝600eq\r(3).因而时间t＝eq\f(600\r(3),5×60)＝2eq\r(3)≈3.4(分)即船从A处到B处约需3.4分．解图18.【答案】【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关系．由ABCD是正方形，BD是角平分线，可想到连接CG，易得CG＝AG，再由四边形CEGF是矩形可得AG2＝GE2＋GF2；(2)给出∠AGF＝105°，可得出∠AGB＝60°，再由∠ABG＝45°，可想到过点A作BG的垂线，交BG于点M，分别在两个直角三角形中得出BM和MG的长，相加即可得出BG的长．

解：(1)AG2＝GE2＋GF2；(1分)理由：连结CG，∵ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，(2分)∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠GFC＝90°，∴四边形CEGF是矩形，(3分)∴CF＝GE，在直角△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(4分)(2)过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，(6分)∵AB＝1，∴AM＝BM＝eq\f(\r(2),2)，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝eq\f(AM,GM)，∴GM＝eq\f(\r(6),6)，(8分)∴BG＝BM＋GM＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(6),6)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),6).(10分)19.【答案】解:(1)证明:连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC.∵AB=AC，∴BE=EC，∠BAE=∠CAE.∵∠BAC=2∠CBF，∴∠BAE=∠CBF