工业产品材料力学设计拉压有限元法

2023/1/241工业产品材料力学设计2023/1/2422.4拉压问题的有限单元法

第2章轴向拉伸和压缩力学是数学的乐园，因为我们在这里获得了数学的果实。

-LeonardodeVinci2023/1/243第2章轴向拉伸和压缩2.4.1有限元法概述2.4拉压问题的有限单元法

FiniteElementMethod

有限元法就是将复杂的几何或受力对象划分为数量有限、形状简单、具有共同特征的子域，这些子域叫单元。

其核心思想是离散化，即将实际可变形体假想地离散为单元，然后采用能量原理进行单元分析，最后进行单元组装，完成复杂几何或受力对象的位移、应变和应力分析。element(单元)

node(节点)2023/1/244第2章轴向拉伸和压缩2.4.1有限元法概述2.4拉压问题的有限单元法

常用的一些典型单元一维杆单元。可采用材料力学理论进行分析二维板壳或三维体单元。以结构力学和弹性力学为理论基础。2023/1/245第2章轴向拉伸和压缩2.4.1有限元法概述2.4拉压问题的有限单元法

因此，在研究拉压杆问题时引入有限元的概念和方法，是学习有限元最好和最容易的方式，并将为以后对复杂的几何或受力对象开展有限元分析奠定坚实的理论基础。由于：（1）杆单元是最简单的有限元分析单元；（2）拉压问题是最简单的变形体分析问题；2023/1/2462.4.2拉压杆的有限元分析(1)单元划分与节点编号

●单元划分：根据“三同原则”→标准杆单元

①②③

●节点编号：每单元两端有1个节点→节点号1,2,3,4

●单元隔离：假设节点力和节点位移→2023/1/2472.4.2拉压杆的有限元分析(2)杆单元分析(2-1)单元几何与节点描述基本变量：节点位移(2-2)单元位移场分析

在有限元分析中，要求必须事先给出或设定位移函数。位移函数的设定方法有2种：直接法和试函数法(Trialfunction)。

位移场：即位移函数u(x)，它描述了单元各截面位移与其位置之间的关系。直接法：就是解析法。自主推导2023/1/248试函数法(Trialfunction)

就是在分析前假设一个位移函数，该函数称为“试函数”。对于如图所示的线弹性杆单元，根据解析法，我们知道其位移函数是1个线性函数，因此，我们假设的“试函数”为:其中，a1,b1为待定系数，可根据边界条件求出。N(x)称为形状函数矩阵显然这是一个真实的位移函数2023/1/249(2-3)单元应变场分析2023/1/2410(2-4)单元应力场分析2023/1/2411(2-5)单元变形能计算2023/1/2412(2-5)单元刚度方程变形能法：卡氏第一定理2023/1/2413(2-5)单元刚度方程虚功法：虚功原理两边分别对u1和u2求偏导数2023/1/2414(3)计算各单元的单元刚度方程2023/1/2415(4)组装各单元刚度方程2023/1/2416即2023/1/2417若已知2023/1/2418(5)处理边界条件2023/1/2419(6)求支座反力2023/1/2420(7)求应变与应力2023/1/2421

经过试验：你得到如图所示的位移曲线。你发现：无法用1个函数表达式来描述该位移曲线。

（1）关于试函数的讨论

假设你是一名企业的工程师，采用一种新型材料设计了如图所示的杆件。你的问题是：如果将该杆件作为一个杆单元处理，如何构造1个位移函数？如何分析其应变、应力？如何进一步构造单元刚度方程？2.4.3有限元法的相关讨论2023/1/2422思路：无法得到真实的位移函数→构造1个来近似数学“逼近”思想：一个复杂的函数，可以通过一系列基底函数的组合来“近似”，称为函数逼近。近似方法一：全域逼近基底函数逼近函数瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法2023/1/2423近似方法二：分段逼近有限元法☆将杆件分成n段（即划分为n个单元）☆将每段简化为线性单元，用线性函数定义。※显然，各单元也可以用其他试函数来定义，如

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显然，无论全域还是分段，得到的逼近函数就是1个试函数。其中，分段逼近的优势非常明显，它可“化繁为简”：可以把复杂形状简化为简单形状；可以把复杂函数问题简化为简单函数问题；可以把求解微分方程问题简化为简单的线性方程求解问题；如果单元划分得足够小时，其分析结果将相当精确。这就为我们分析复杂形状的物体和复杂结构提供了一个“化繁为简”的思路和方法。2023/1/2425

在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。

第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题，称为离散系统。尽管离散系统是可解的（如图：由6个“杆单元”组成的平面桁架结构），但是求解复杂离散系统，要依靠计算机技术。2023/1/2426

第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。尽管我们已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。为了解决这个困难，工程师和数学家们提出了许多近似方法。2023/1/2427

在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果(见发展简史)，即有限元法。另外，鉴于：产品设计的极端重要性（据统计，产品质量事故，约有50%是设计不当造成的；产品的成本60%-70%取决于设计）；设计时并不了解产品的真实力学信息，其原因在于：或者没有试验结果（如无法确定材料、尺寸等，故无法开展试验），或者根本无法得到精确的解析解。因此，在这种情况下，就可以采用基于试函数的有限元分析方法对设计的产品进行近似的、满足工程精度的力学分析，以获得相关的、尽可能接近真实的力学信息（位移、应变与应力），以便在设计阶段对可能出现的各种问题进行安全评判和参数修改（即在设计阶段就尽可能地解决一些事故问题和成本问题等）。2023/1/2428

对于离散系统，有限元法首先将其离散为1维杆单元，然后基于试函数对杆单元采用能量原理进行描述（即描述其位移、应变、应力和刚度方程），最后进行单元组装，并处理边界条件，完成离散系统的位移、应变和应力分析。单元刚度方程具有通用性和标准型，适用于计算机求解2023/1/2429

对于连续系统，有限元法将其分为两类问题。一类是2维板壳类问题，一类是3维块体类问题。

对于2维板壳类问题，有限元法：首先，将板壳离散为简单的平面单元（如三角形或矩形单元）；然后，构造试函数，描述平面单元的力学信息；最后，单元组装，并处理边界条件，完成板壳类问题的分析。基本变量基本变量位移函数(试函数-假设为线性)位移函数(试函数-假设为线性)离散化代入位移边界条件2023/1/2430

对于3维块体类问题，有限元法：首先，将块体离散为简单的体单元（如四面体单元）；然后，构造试函数，描述体单元的力学信息；最后，单元组装，并处理边界条件，完成块体类问题的分析。基本变量位移函数(试函数-假设为线性)代入位移边界条件2023/1/2431

事实上，有限元是用于大型复杂工程问题的近似分析方法，但这种近似有严谨的理论基础（即以结构力学和弹性力学为基础），并且，得出的近似结果完全满足工程精度的要求。有限元分析（FEA，FiniteElementAnalysis）是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。将复杂对象看成是由许多称为有限元的小的互连简单子域组成对每一单元假定一个较简单的近似解推导求解复杂问题，得到其近似解（2）有限元分析综述原因在于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。特点：近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh-Ritz法＋分片函数”。究其实质，有限元法是Rayleigh-Ritz法的一种局部化情况

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有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目简单单元的组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散单元进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析。

一般而论，试函数显然很难碰巧是真实的位移函数，但理论和实践表明，基于试函数的有限元分析完全可以得出满足工程精度的近似结果。当然，选取不同的试函数会影响甚至严重影响计算结果的精度。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。2023/1/24332.4.4有限元的历史、现在与未来（1）有限元发展简史【1】1956年在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。【2】1954-1955年，在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。【3】1960年，Clough在他的名为“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的论文中首次提出了有限元（finiteelement）这一术语。

数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。【4】在1963年前后，经过（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。【5】1965年和（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。【6】1969年和指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。2023/1/2434

有限元分析通常借助计算机软件完成，著名工程软件有MSC-NASTRAN，ADINA，LS-DYNA，ANSYS，ABAQUS，2D-sigma等。（2）有限元的现状MSC-NASTRAN软件在航空航天领域有着很高的地位，目前世界上规模最大的有限元分析系统。ANSYS软件致力于耦合场的分析计算，能够进行结构、流体、热、电磁四种场的计算。ADINA由于其在非线性求解、流固耦合分析等方面的强大功能，迅速成为有限元分析软件的后起之秀，现已成为非线性分析计算的首选软件。

近年来有限元分析在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器，国防军工，船舶，铁道，石化，能源，科学研究等各个领域的得到广泛使用。2023/1/2435（3）国际上有限元分析方法的发展趋势①与CAD软件的无缝集成许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有些CAE软件为了实现和CAD软件的无缝集成而采用了CAD的建模技术，如ADINA软件由于采用了基于Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasolid为核心的CAD软件（如Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）实现真正无缝的双向数据交换。2023/1/2436②更为强大的网格处理能力(技术难题，关键步骤)

有限元法求解问题的基本过程主要包括：分析对象的离散化、有限元求解、计算结果的后处理三部分。结构离散后的网格质量直接影响到求解时间及求解结果的正确性与否，在有些方面一直没有得到改进，如对三维实体模型进行自动六面体网格划分和根据求解结果对模型进行自适应网格划分。自动六面体网格划分是指对三维实体模型程序能自动的划分出六面体网格单元，现在大多数软件都能采用映射、拖拉、扫略等功能生成六面体单元，但这些功能都只能对简单规则模型适用，对于复杂的三维模型则只能采用自动四面体网格划分技术生成四面体单元。对于四面体单元，如果不使用中间节点，在很多问题中将会产生不正确的结果，如果使用中间节点将会引起求解时间、收敛速度等方面的一系列问题，因此人们迫切的希望自动六面体网格功能的出现。自适应性网格划分