广东石油化工学院数学2009级初等数论复习资料

1．设r是正奇数，证明：对任意的正整数n，有n21r2rnr。解对于任意的正整数a，b以及正奇数k，有akbk=(ab)(ak1ak2bak3b2bk1)=(ab)q，其中q是整数。记s=1r2rnr，则2s=2(2rnr)(3r(n1)r)(nr2r)=2(n2)Q，其中Q是整数。若n2s，由上式知n22，因为n2>2，这是不可能的，所以n2s。2．证明：存在无穷多个正整数a，使得n4a（n=1,2,3,）都是合数。解取a=4k4，对于任意的nN，有n44k4=(n22k2)24n2k2=(n22k22nk)(n22k22nk)。因为n22k22nk=(nk)2k2k2，所以，对于任意的k=2,3,以及任意的nN，n4a是合数。3．证明：若a被9除的余数是3，4，5或6，则方程x3y3=a没有整数解。解对任意的整数x，y，记x=3q1r1，y=3q2r2，0r1,r2<3。则存在Q1,R1,Q2,R2Z，使得x3=9Q1R1，y3=9Q2R2，其中R1和R2被9除的余数分别与r13和r23被9除的余数相同，即R1=0，1或8，R2=0，1或8。(1)因此x3y3=9(Q1Q2)R1R2。又由式(1)可知，R1R2被9除的余数只可能是0，1，2，7或8，所以，x3y3不可能等于a。4．证明：若n是正整数，则是既约分数。解(21n4,14n3)=(7n1,14n3)=(7n1,1)=1。注：一般地，若(x,y)=1，那么，对于任意的整数a，b，有(x,y)=(xay,y)=(xay,yb(xay))=(xay,(ab1)ybx)，因此，是既约分数。5．用辗转相除法求(125,17)，以及x，y，使得125x17y=(125,17)。解做辗转相除法：125=7176，q1=7，r1=6，17=265，q2=2，r2=5，6=151，q3=1，r3=1，5=51，q4=5。由定理4，(125,17)=r3=1。利用定理2计算（n=3）P0=1，P1=7，P2=271=15，P3=1157=22，Q0=0，Q1=1，Q2=210=2，Q3=121=3，取x=(1)31Q3=3，y=(1)3P3=22，则125317(22)=(125,17)=1。6．求(12345,678)。解(12345,678)=(12345,339)=(12006,339)=(6003,339)=(5664,339)=(177,339)=(177,162)=(177,81)=(96,81)=(3,81)=3。7．写出51480的标准分解式。解我们有51480=225740=2212870=236435=2351287=2353429=23532143=233251113。8．求最大的正整数k，使得10k199!。解由定理3，199!的标准分解式中所含的5的幂指数是=47，所以，所求的最大整数是k=47。9．设x与y是实数，则[2x][2y][x][xy][y]。(1)解设x=[x]，0<1，y=[y]，0<1，则[x][xy][y]=2[x]2[y][]，[2x][2y]=2[x]2[y][2][2]。(2)(3)如果[]=0，那么显然有[][2][2]；如果[]=1，那么与中至少有一个不小于，于是[2][2]1=[]。因此无论[]=0或1，都有[][2][2]，由此及式(2)和式(3)可以推出式(1)。10．若a>1，an1是素数，则a=2，并且n是素数。解若a>2，则由an1=(a1)(an1an21)可知an1是合数。所以a=2。若n是合数，则n=xy，x>1，y>1，于是由2xy1=(2x1)(2x(y1)2x(y2)1)以及2x1>1可知2n1是合数，所以2n1是素数时，n必是素数。注：若n是素数，则称2n1是Mersenne数。11．求N=被7整除的条件，并说明1123456789能否被7整除。解1001，1013，1022，1031(mod7)，因此即7N7。由于7894561231=455，7455，所以71123456789。12．说明是否被641整除。解依次计算同余式224，2416，28256，216154，2321(mod641)。因