北师大版高中数学选修1-2课时跟踪检测(10套,附解析)

北师大版高中数学选修一、回归分析1-2课时跟踪检测（10套，附解析）1．已知两个有线性相关关系的变量的相关系数为r，则r取下列何值时，两个变量的线性相关关系最强()A．－0.91B．0.25C．0.6D．0.86解析：选A在四个r值中，|－0.91|最接近1，故此时，两个变量的线性相关关系最强．2．根据如下样本数据xy3456784.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y＝bx＋a，则()A．a>0，b>0C．a<0，b>0B．a>0，b<0D．a<0，b<0解析：选B由表中数据画出散点图，如图．由散点图可知b<0，a>0，选B.3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(，)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解析：选D由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)支出y(万元)8.26.28.67.510.08.011.38.511.99.8根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝－b.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元解析：选B由题意知，＝＝10，＝＝8，∴a＝8－0.76×10＝0.4，∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．5．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(x，iyi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.答案：16．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：气温(℃)销售量(个)182413341038－164由表中数据，得线性回归方程y＝－2x＋a.当气温为－4℃时，预测销售量约为________．解析：∵＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.答案：687．某种产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据(单位：万元).x(万元)y(万元)245683040605070(1)画出散点图；(2)求回归方程；(3)据此估计广告费用支出为10万元时，销售额y的值．解：(1)作出散点图如下图．(2)由散点图可知，样本点近似地分布在一条直线附近，因此，x，y之间具有线性相关关系．由表中的数据可知，＝×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，＝×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.所以b＝＝6.5，a＝－b＝50－6.5×5＝17.5，因此线性回归方程为y＝17.5＋6.5x.(3)x＝10时，y＝17.5＋10×6.5＝82.5(万元)．即当支出广告费用10万元时，销售额为82.5万元．8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)销量y(件)88.2848.4838.6808.87599068(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a＝＋20＝80＋20×8.5＝250,故y＝－20x＋250.(2)由题意知，工厂获得利润z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1000＝－202＋361.25，所以当x＝＝8.25时，zmax＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．9．在钢铁碳含量对于电阻的效应研究中，得到如下数据表：碳含量x(%)20℃时电阻(Ω)150.100.300.40190.55210.7022.60.8023.60.952618求y与x的线性回归方程，并检验回归方程中的显著性．解：由已知数据得＝×i≈0.543，＝×145.2≈20.74，＝2.595，＝3094.72，iyi＝85.45.≈12.46，∴b≈a＝20.74－12.46×0.543≈13.97.线性回归方程为y＝13.97＋12.46x.下面利用相关系数检验是否显著．iyi－7＝85.45－7×0.543×20.74≈6.62，－72＝2.595－7×(0.543)2≈0.531，－72＝3094.72－7×(20.74)2＝83.687.∴r＝≈0.993.由于r接近于1，故钢铁碳含量对电阻的效应线性相关关系显著．二、条件概率与独立事件1．抛掷一颗骰子一次，A表示事件：“出现偶数点”，B表示事件：“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是()A．相互互斥事件B．相互独立事件C．既相互互斥又相互独立事件D．既不互斥又不独立事件解析：选BA＝{2,4,6}，B＝{3,6}，A∩B＝{6}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×，所以A与B是相互独立事件．2．把一枚硬币抛掷两次，事件A＝“第一次出现正面”，事件B＝“第二次出现反面”，则P(B|A)的值为()A.C.B．D．1解析：选AP(B)＝P(A)＝，P(AB)＝，P(B|A)＝＝＝.3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为()A．0.02B．0.08C．0.18D．0.72解析：选D设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，由条件概率公式，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.4．甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射击一次，那么等于()A．甲、乙都击中靶心的概率B．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D．甲、乙不全击中靶心的概率解析：选D设“甲、乙都击中靶心”为事件A，则P(A)＝×＝，甲、乙不全击中靶心的概率为P()＝1－P(A)＝1－＝.5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：甲、乙两人都未能解决为＝×＝，问题得到解决就是至少有1人能解决问题．∴P＝1－＝.答案：6．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．解析：法一：设A＝{第一次取到新球}，B＝{第二次取到新球}，则n(A)＝6×9＝54，n(AB)＝6×5＝30，∴P(B|A)＝＝＝.法二：在第一次取到新球的条件下，盒中装有9只乒乓球，其中5只新球，则第二次也取到新球的概率为P＝.答案：7．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求红队至少两名队员获胜的概率．解：设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知，P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.8．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：设“只购买甲种商品”为事件A，“只购买乙种商品”为事件B，“购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C，“至少购买甲、乙两种商品中的一种”为事件D.(1)因为C＝(A)＋(B)，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.6＝0.5.(2)因为＝，所以P()＝P()＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2.所以P(D)＝1－P()＝1－0.2＝0.8.9．2018年某中学对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为，，，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率．解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D.则P(D)＝1－P()＝1－P()P()P()＝.＝1－××(2)由题意，得在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为3分的概率为P()＝＝，)＝P()P()P(××在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为4分的概率为P(A)＋P(B)＋P(×＝.C)＝××＋××＋×所以在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率为＋＝.三、独立性检验独立性检验的基本思想及应用1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：男402060女203050总计60爱好不爱好总计50110由χ2＝算得，χ2＝≈7.8.附表：P(χ2≥k)0.0503.8410.0100.001k6.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”解析：选C因为χ2≈7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．2．两个分类变量X和Y,值域分别为{x1，x2}和{y1，y2},其样本频数分别是a＝10,b＝21,c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于95%,则c等于()A．3B．7C．5D．6解析：选A列表如下：x110cx221d总计31y1y235总计10＋c21＋d66故χ2＝≥3.841.把选项A、B、C、D代入验证可知选A.3．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1成绩性别男女总计不及格及格总计61422362032521016表2表3表4视力性别男女总计好差总计41620362032521216智商性别男女总计偏高正常总计8122436203252816阅读量性别男女总计丰富不丰富总计1426203252303616A．成绩B．视力C．智商D．阅读量解析：选D因为χ＝＝，χ＝χ＝χ＝＝，＝，＝，则有χ>χ>χ>χ，所以阅读量与性别关联的可能性最大．4．在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的序号是________．①若χ2>6.635，则我们有99%的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②由独立性检验可知，在有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③由独立性检验可知，在有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误．解析：χ2是指确定有多大的把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知，当有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③.答案：③5．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表：晚上45白天A总计B男婴女婴总计E35C98D180那么A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________.解析：由45＋E＝98得E＝53，由98＋D＝180可知D＝82.由A＋35＝D知A＝47.所以B＝45＋47＝92.C＝E＋35＝88.答案：47928882536．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示.死亡14存活11总计25第一种剂量第二种剂量总计61925203050在研究小白鼠的死亡与剂量是否有关时，根据以上数据求得χ2≈________.解析：χ2＝答案：5.333≈5.333.7．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否有95%的把握认为性别与休闲方式有关系．解：(1)2×2列联表为：休闲方式性别女男总计看电视运动总计4321642733607054124(2)由列联表中的数据，计算χ2＝≈6.201.因为6.201>3.841，所以有95%的把握认为“性别与休闲方式有关”．8．某地区甲校高二年级有1100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如表．(已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%)甲校高二年级数学成绩：分组频数[50,60)10[60,70)25[70,80)35[80,90)30[90,100]x乙校高二年级数学成绩：分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100](1)计算x，y的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到1分)；(2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否有95%的把握认为“两个学校的数学成绩有差异”？分类甲校乙校总计优秀非优秀总计解：(1)依题意，知甲校应抽取110人，乙应抽取90人，所以x＝10，y＝15.甲校的平均分为×(55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10)≈75.乙校的平均分为×(55×15＋65×30＋75×25＋85×15＋95×5)≈71.(2)数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，得到列联表如下：分类优秀甲校40乙校20总计60非优秀总计707014020011090所以χ2＝≈4.714，又因为4.714>3.841，故有95%的把握认为“两个学校的数学成绩有差异”．9．某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其30位亲属的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如下2×2列联表；主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(3)试问：其亲属的饮食与年龄有关吗？解：(1)由茎叶图，可知30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主，50岁以下的人饮食多以肉类为主．(2)2×2列联表如下所示：主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计481218301620210(3)由题意，知χ2＝＝10>6.635，故有99%以上的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系．四、流程图1．下列关于流程图的说法中不正确的是()A．流程图用来描述一个动态过程B．算法框图是一种特殊的流程图C．流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D．解决某一问题的流程图的画法是唯一的解析：选DA，C均符合流程图的特征，算法框图是一种特殊的流程图，故B正确．2．某人带着包裹进入超市购物的流程图如图所示，则在空白处应填()―→―→―→―→―→A．退换物品B．归还货车C．取回包裹D．参加抽奖答案：C3.如图所示，已知集合A＝{x|框图中输出的x的值}，集合B＝{y|框图中输出的y的值}．全集U＝Z，Z为整数集．当x＝－1时，(∁UA)∩B＝()A．{－3，－1,5}B．{－3，－1,5,7}C．{－3，－1,7}D．{－3，－1,7,9}解析：选D根据程序框图功能知：y＝－3，x＝0；y＝－1，x＝1；y＝1，x＝2；…；y＝9，x＝6.所以A＝{0,1,2,3,4,5,6}．B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}．则(∁UA)∩B＝{－3，－1,7,9}．4.执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S等于()A．2B．3C．4D．5解析：选B运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝3.5．某工程的工序流程图如图，则该工程的总工时最多为________天．解析：因为各个不同工序中用时最多的是①→②→④→⑥→⑦，即9天．答案：96．执行如图所示的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________.解析：输入n＝3，则i＝0，S＝0，T＝0，i≤n成立，故i＝1，S＝0＋1＝1，T＝0＋1＝1，此时i＝1≤n成立，故i＝2，S＝1＋2＝3，T＝1＋3＝4，此时i＝2≤n成立，故i＝3，S＝3＋3＝6，T＝4＋6＝10，此时i＝3≤n成立，故i＝4，S＝6＋4＝10，T＝10＋10＝20，此时i＝4≤n不成立，故输出T＝20.答案：207．如图是某工厂加工某种零件的一个工序操作流程图．按照这个工序流程图，回答下列问题：(1)一件成品最多经过几道加工和检验程序；(2)导致废品的产生有几种不同的情形．解：由流程图可得：(1)最多经过“粗加工”“检验”“返修加工”“返修检验”“精加工”“最后检验”六道加工和检验程序．(2)三种不同情形：①返修加工―→返修检验不合格．②检验精加工―→最后检验不合格．精加工―→最后检验不合格．③返修检验8．求两底面半径分别为1和4，高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．解：算法步骤如下：第一步r1＝1，r2＝4，h＝4.第二步计算l＝.第三步计算S1＝πr，S2＝πr，S3＝π(r1＋r2)l.第四步计算S＝S1＋S2＋S3，V＝(S1＋＋S2)h.第五步输出S和V.该算法的程序框图如下：9．高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩不符，可以在规定的时间内申请查分，其步骤如下：①本人填写《查分登记表》，交县(区)招生办申请查分，县(区)招生办呈交市招生办，再报省招生办．②省招生办复查，若无误，则查分工作结束后通知市招生办；若有误，则再具体认定并改正，也在查分工作结束后通知市招生办．③市招生办接通知后通知县(区)招生办，再由县(区)招生办通知考生．试画出该事件的流程图．解：流程图如图所示．五、结构图1．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是()A．流程图用来描述一个动态过程B．结构图是用来刻画系统结构的C．流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D．结构图只能用带箭头的连线表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系解析：选D结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成，故D不正确．2．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是()①平行②垂直③相交④斜交A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①④③解析：选C平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．3．下图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在()A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位解析：选C子集是集合与集合之间的关系，故应为“基本关系”的下位．4．下图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C共有“策划部”“政府行为”“社会需求”，三个要素影响计划的执行．5．我国是华南虎的故乡，且华南虎是所有老虎的祖先，现在我国野生华南虎的数量已不足20只，弥足珍贵，老虎属于猫科动物，猫科动物的分类(如图所示)．据图回答：华南虎属于________科，________属．解析：该结构图是按从左到右的顺序画出的，从左到右第二层是科类，第三层是属类，分类由大到小，逐层细化，单线观察：----，和相连的第二层是豹亚科，第三层是豹属．答案：豹亚豹6．下列关于结构图的说法中，正确的是________．①结构图只能是从左向右分解；②结构图只能是从上向下分解；③结构图只能是从下向上分解；④结构图一般呈“树”形结构；⑤结构图有时呈“环”形结构．解析：结构图分解方向一般依据具体情况选择从上向下或从左向右．答案：④⑤7．一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：(1)用户管理：能修改密码，显示用户信息，修改用户信息．(2)用户登录．(3)名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改、查询．(4)出错信息处理．请根据这些要求画出该系统的结构图．解：由题意可得：8．如图所示是某大学的学校组织结构图，由图回答下列问题：(1)学生工作处的下位要素是什么？(2)学生工作处与其下位要素是什么关系？解：(1)由题图可知学生工作处的下位要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．(2)学生工作处与其下位要素的关系是从属关系．9．画出三角函数的知识结构图．解：三角函数的知识结构图如下：六、归纳推理1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是()A．10B．13C．14D．100解析：选C∵＝91，∴从第92项到第105项都是14，故选C.2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()111121133114a4115101051A．2B．4C．6D．8解析：选C由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为()□●▲○▲●■△A．■B．△C．□D．○解析：选A图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．4．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋()A.B．πC.πD．2π解析：选B三角形内角和为π，四边形为2π，五边形为3π，…，故f(k＋1)＝f(k)＋π.5．已知x∈(0，＋∞)，有下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4成立，观察上面各式，按此规律若x＋≥5，则正数a＝________.解析：观察给出的各个不等式，不难得到x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，从而第4个不等式为x＋≥5，所以当x＋≥5时，正数a＝44.答案：446．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列{an}的通项公式为an＝__________.解析：根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和题图②中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝an＝.＝＝，a3＝OA3＝＝＝，…，故可归纳推测出答案：7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n－1)＝n2(n≥2，n∈N＋)．8．已知a，b为正整数，设两直线l1：y＝b－x与l2：y＝x的交点为P1(x1，y1)，且对于n≥2的自然数，两点(0，b)，(xn－1,0)的连线与直线y＝x交于点Pn(xn，yn)．(1)求P1，P2的坐标；(2)猜想Pn的坐标(n∈N＋)．解：(1)解方程组得P1.过(0，b)，两点的直线方程为＋＝1，与y＝x联立解得P2.(2)由(1)可猜想Pn.9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n)．(1)求出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式；(3)猜想f(n)的表达式，并写出推导过程．解：(1)图①中只有一个小正方形，得f(1)＝1；图②中有3层，以第2层为对称轴，有1＋3＋1＝5(个)小正方形，得f(2)＝5；图③中有5层，以第3层为对称轴，有1＋3＋5＋3＋1＝13(个)小正方形，得f(3)＝13；图④中有7层，以第4层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25(个)小正方形，得f(4)＝25；第五步所对应的图形中有9层，以第5层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41(个)小正方形，得f(5)＝41.(2)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝41，∴f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，∴f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4.∴f(n＋1)与f(n)的关系式为f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)猜想f(n)的表达式为f(n)＝2n2－2n＋1.由(2)可知f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4，将上述n－1个式子相加，得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]，则f(n)＝2n2－2n＋1.七、类比推理1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r＝()A.C.B.D.解析：选C设内切球的球心为O，所以可将四面体PABC分为四个小的三棱锥，即OABC，OPAB，OPAC，OPBC，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体PABC的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，∴r＝.3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D类比等比数列{bn}中b1b2b3…b9＝b，可得在等差数列{an}中a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝9×2.4．类比三角形中的性质：①两边之和大于第三边；②中位线长等于底边长的一半；③三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的；③四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有()A．①B．①②C．①②③D．都不对解析：选C以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．在△ABC中，D为BC的中点，则＝，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体ABCD中，G是△BCD的重心，则＝6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①②中体会③这个原理．现在图中的两个曲线方程分别是＋＝1(ab0)x＞＞与2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．解析：由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，即k＝，所以椭圆面积S＝πa2·＝πab.答案：πab7．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝2＋2＝＝1.于是把结论类比到四面体PA′B′C′中，我们猜想，三棱锥PA′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.8．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{an}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋＝100d＝300，10个同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.(2)在公差为d的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则对于任意k∈N＋，数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k也成等差数列，且公差为k2d.9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证a＋a≥.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，则f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a.因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，所以a＋a≥.(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；(2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明．解：(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求证：a＋a＋…＋a≥.(2)证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，则f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0.所以a＋a＋…＋a≥.八、数学证明1．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．故选B.2．“9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故此奇数是3的倍数”，上述推理是()A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错解析：选C∵大前提，小前提，推理形式都正确，∴结论正确．3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是()A．a2＜b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2＞b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：选C由cosA＝＜0，∴b2＋c2－a2＜0，∴a2＞b2＋c2.4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是()A．①④B．②④C．①③D．②③解析：选A根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．5.如图，α⊥β，α∩β＝l，P∈α，PO⊥l交l于O，则可以得到的结论是________．解析：由面面垂直的性质定理知PO⊥β.答案：PO⊥β6．函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为：大前提：_____________________________________________；小前提：_____________________________________________；结论：_____________________________________________.答案：一次函数的图像是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图像是一条直线7．已知a，b，m均为正实数，b<a，用三段论形式证明<.证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b<a，m>0，(小前提)(结论)所以，mb<ma.因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)mb<ma，(小前提)所以，mb＋ab<ma＋ab，即b(a＋m)<a(b＋m)，(结论)(大前提)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，b(a＋m)<a(b＋m)，a(a＋m)>0，(小前提)所以，<，即<.(结论)8.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C，AB的中点，A1B交AB1于点G.(1)求证：A1B⊥AD；(2)求证：CE∥平面AB1D.证明：(1)如图，连接A1D，DG，BD，∵三棱柱ABCA1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，∴四边形A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1.∵D是C1C的中点，∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD.∵G为A1B的中点，∴A1B⊥DG.又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D，又∵AD平面AB1D，∴A1B⊥AD.(2)连接GE，∵EG∥A1A，DC∥AA1，∴GE∥DC.∵GE＝AA1＝a，DC＝CC1＝a，∴GE＝DC.∴四边形GECD为平行四边形，∴EC∥GD.又∵EC⃘平面AB1D，DG平面AB1D，∴EC∥平面AB1D.9．求证：函数f(x)＝是奇函数且在定义域上是增函数．证明：f(x)＝＝1－，所以f(x)的定义域为R.f(－x)＋f(x)＝＋＝2－＝2－＝2－＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，由于x1<x2，从而2x1<2x2，2x1－2x2<0.所以f(x1)<f(x2)，故f(x)为增函数．九、综合法与分析法1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的说法有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选C由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确.2．平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形解析：选D∵＋＝＋，∴－＝－.∴∴四边形ABCD为平行四边形．3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．a≤B．ab≥＝.C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：选C∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.4．用分析法证明命题“已知a－b＝1.求证：a2－b2＋2a－4b－3＝0.”最后要具备的等式为()A．a＝bB．a＋b＝1C．a＋b＝－3D．a－b＝1解析：选D要证a2－b2＋2a－4b－3＝0，即证a2＋2a＋1＝b2＋4b＋4，即(a＋1)2＝(b＋2)2，即证|a＋1|＝|b＋2|，即证a＋1＝b＋2或a＋1＝－b－2，故a－b＝1或a＋b＝－3，而a－b＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件．5．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：