专题07+导数有关的构造函数方法-2019年高考数学文命题热点全覆盖教师版

专题07导数有关的构造函数方法一.知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数①(cy=(C为常数)；②(x),=；@)(x2)，=；④曲=；⑤(%X)‘=.⑵初等函数的导数公式①(xn),=； ②(sinx),=；③(cosx),=； ④(ex)‘=；@(ax),=； ⑥(lnx)‘=；⑦(logJC),=..导数的运算法则(1)fx)±g(x)]，=；(2)fx)•g(x)]‘= ；(3frS)卜 -.复合函数的导数(1)对于两个函数y=fu)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y=fu)和u=g(x))的复合函数为y=fg(x)).(2)复合函数y=fg(x))的导数和函数y=fu),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.二.题型分析.构造多项式函数.构造三角函数型.构造”形式的函数.构造成积的形式.与lnx有关的构造.构造成商的形式.对称问题(一)构造多项式函数例1.已知函数f(%)(%eR)满足f(/)=1,且f(%)的导函数/(%)<1，则f(x)<-+-的解集为()2 22A.： B.{xlx<一1}C. D.{-1->1}【答案】D‘j‘' ",所以函数F(x)在定义域上为单调递减函数，因为f(x)<-+1，所以

22即”『‘”’，f(x)<-+1，所以

22故选D.考点：函数的单调性与导数的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知『识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数FG),利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.练习1.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x)，对于任意的实数x，都有一」二一二一「f,当xe(-8,0)时，."- -.若；:，贝按数m的取值范围是()[1 13 、 …、 . 、A.[—-,+8) B.[—-,+8) C.[―1,+8) D.[—2,+8)21 ^2【答案】A工解析】二八*—2/+/L0—2/=0,设式月二八月—2/,则双处+双—耳二5,以万为奇函数，又=尸出-也<=:，氟叶在(—4。)上是通国数，从而在史上是漏国额，又/(用十1)三一威)十4珑十2等价于/(ms+!)■—Km十1yM —2(—分i>,$即虱次[十1)W氧—淞),m+\>-m,解得加兰一L.7考点：导数在函数单调性中的应用.

【思路点睛】因为「…二’设与二二」一,则三二一r-二一，可得g(X)屋习=/3一4用工一：为奇函数，又 "得g(X)在(-8,0)上是减函数，从而在R上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得‘一一一」：，由此即可求出结果./(I-m)f(m)>?[(1-m)J-m3]练习2.设奇函数'；在"上存在导数 ,且在、上’ .，若 ，则实数■’的取值范围为()A.C.|-11]A.C.|-11]L231[-8引匕卜8)B.{~国D.【答案】B【解析】令 ’，因为 【解析】令 ’，因为 " : ,所以函数。''的奇函数，因为।‘时，9四"'二♦•.’「，所以函数。…在-一；为减函数，又题意可知，/(I-ra)-m)>-[(1-m)3-m^]一.t；,所以函数；•'在上上为减函数，所以 ^ , ，即H$"),1m/三所以-「'—"，所以 .'：，故选B.考点：函数的奇偶性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键练习3.设函数f(x)在R上存在导函数f(x)，对任意xeR，都有「一一「=…，且xw(0,+8)时,)D.L,+8)f'(X))D.L,+8)A.11,+8) B.(-8,1] C.(-8,2]【答案】B则—二二式.0=八©-[胃 双一工)则—二二【解析】令 ：，则 ■得g得g(X)为R上的奇函数.・.・X>0时，厂七二「故g(X)在(0,+8)单调递增，再结合g(0)=0£2—公—g⑷二八2—幻—殳？—号及g（%）为奇函数，知g（%）在（-8,+8）为增函数，又 一 -二可-/⑺―2+2。之Q-闻-2+2口=0皿1虱2-口）之虱力02-。上口O口Ml日口则 ，即a£（—8,11.故选B.考点：函数的单调性及导数的应用.【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化为关于a的不等式来求解.本题解答的关键是由已知条件/（％）>%进行联想，构造出新函数然后结合「二『 '来研究函数g（%）的奇偶性和单调性，再通过要解的不等式■.一一二二■二二一一"构造^.一:—M-：,最终得到关于.的不等式，解得答案.（二）构造三角函数型例2.已知函数f（%）的定义域为R,f,（%）为函数f（%）的导函数，当%£[0,+8）时，2sinA--COSJr—f(v]>0 、，八■ 且v%£R,2sinA--COSJr—f(v]>0 、，八■ 且v%£R,■ ■ .则下列说法一定正确的是（）【答案】B… F（r）=【答案】B… F（r）=an2r-【解析】令'「二则广―」.因为当%£[。,+8）时,二™一「：即」「，所以一"；，所以三—在％£[。,+8）上单调递增又V%£R，―—―""，所以，故/(一切+/(向二2sin (一工j-/(-x)=sin2x-1sm2工十/(k)=，故，所以.1为奇函数，所以f丫]=珈二x-f|ML 1为奇函数，所以' '在R上单调递增，所以考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）函数的综合应用.

练习1.已知函数y=f(x)对任意的 亍,满足肝.；0(其中f-(x)是函数TOC\o"1-5"\h\zf(x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )/<0)>2/(f) 也椁C. 3 D. 4【答案】A式小小【解析】构造函数 :七即函数g(x)在22单调递增，考点：利用导数研究函数的单调性)即函数g(x)在22单调递增，考点：利用导数研究函数的单调性)【答案】D(一九、(一九、【解析】在区间0,-上V2J(X)sinx-f(工)cosx>0令/(田<(X)sinx-f(工)cosx>0令不二即5m.・，则yf^'Jsinx—/fxlco-sx-Fx)= 二 5m.・，则yf^'Jsinx—/fxlco-sx-Fx)= 二 >0皿「 ，故F(Q在区间10,2]上单调递增.I2)兆■范 韬 .二7多二不三=-:a3■::玉■:：1■::为-I■ 则有渝1山巴；,D选项正确.考点：1、函数导数；2、构造函数法.sinx【思路点晴】本题有两个要点，第一个要点是“切化弦”，在不少题目中，如果遇到tanx，往往转化为cosx/(-V)<：/[--V)taiiA^=/(x)-来思考；第二个要点是构造函数法，题目中 ：注二，可以化简为ffyl与缶y—f(6COSY[>0 F(r)=~~-■,■■ ■■■■■ "，这样我们就可以构造一个除法的函数 SE二，而选项正好是判断"I：：单调性的问题，顺势而为.(三)构造ex形式的函数例3.已知函数f(x)的导数为fQ，且一+：二二」■.’对XGA恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为()A.f(x) B.xf(x)exf(x)xexf(x)【答案】D【解析】设—，则人—「「I」」二--.对xgR恒成立，且ex>0. 在R上递增，故选D.考点：1、函数的求导法则；2、利用导数研究函数的单调性.练习1.设函数f(x)是函数■二三二的导函数，f(0)=1，且一二」：—二，则-「「V的解集为()和2 、B.和2 、B.(—,+^)A.(―,+8)c.j)e、D.(-3-,+8)【答案】B3f10']=f['0']—3.f(0']=6 /f.r)=2/'-1.f[x'\=6『【解析】依题意 • • '-，构造函数・ ' '山一二：：,「■得一二。:--…二x＞ln2出 ，得 ，x；3考点：函数导数，构造函数法.【思路点晴】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性.构造函数法是在导数题目中一个常用的解法.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理.练习2.已知f（x）定义在R上的函数，尸（x）是f（x）的导函数，若“〜＞一-「’力，且f（0）=2,则不等式” ‘'一…"■（其中e为自然对数的底数）的解集是（）S⑼b.J,笆）C.（0*）D.EFWom]【答案】C【解析】设且㈤=白了（£|—心•立则/㈤Z=公[/㈤+/㈤—1],「r（工”1一/⑶rk）+r*]-i＞0,，『㈤，, 日㈤在定义域上单调递增，//㈤〉/十1,，式工）＞1,又「期。）二J『⑻一『二1,，式工）＞或01"，工=0j不等式的解集为（H+co）故选：c考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调/（X-）＞1—f'（A-'] /门'工）＞/+1性是解题的关键，属于中档题.结合已知条件中的.• ・・以及所求结论,• 可知应构造函数日工二’」工一二”三二，利用导数研究J=g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.练习3.定义在R上的函数f（x）的导函数为广（x），若对任意实数x，有"""’[“），且f（x）+1为奇函数，则不等式“*＜：°的解集是（）

A.(fA.(f0) B.(0,+s)C.)D.一,+8Ie )【答案】B［解析］设’’ ■■■.由产，得 ，故函',■.不等式数g(x)在R上单调递减.由f(x)+1为奇函数f(0)=—1',■.不等式・‘产''等价于f3<-1，即』'，结合函数g(x)的单调性可得x>0，从而不等式ex的的" ''的解集为(0,+8),故答案为B.考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题.常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为0，即‘-W』'得二，当是形如'…'时构造，；当是‘门口‘‘门一"二时构造=,=」工一’，在本题中令丁■■ ,(xeR)，从而求导)<0，从而可判断y=g(x)单调递减，从而可得到不等式的解集.练习4.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数f'(x)，满足‘一-，且f(x+2)为偶函数,f(4)=1，则不等式f(x)<ex的解集为()A.(-2,+8)(4,+8) C.(1,+8) D.A.(-2,+8)【答案】D式八屋式八屋X)【解析】设 ■■■，贝U/'iX)</(#二葭3<0.・•・函数(x)是R上的减函数，•・•函数f(x+2)是偶函数，

. /(-v+2)=/(.x+2)•函数 ■•.函数关于x=2对称，—•原不等式等价为(x)<1，不等式fG)<私等价g(x)<1即式.<式,E・•(X)是R上的减函数，x>0•・不等式f(X)<ex式的解集为(0,+8).选D考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，属于中档题.解题时根据题意构造函数 是解题的关键练习5.设函数f'(x)是函数‘：1寸二的导函数，f(0)=1,且「 二「一二，贝U二：的解集是()A.工一，十8V3 7A.工一，十8V3 7B.工一，十8V3C.D.【答案】B厂"调工一33二㈤一3/3 3【解析】设，则【解析】设，则，所以E S (c为常数)，则「二1二二一;由「；二一一二"。「；二一一二"。=2，所以|…,所以！”：：'1二；•.”即f(x)>3，即2e3x-1>3，解得x>g2.故选B.(四)构造成积的形式例4.已知定义在R上的函数y=f(x)满足：函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称，且当x式-8,0)时，,", <(f'(x)是函数f(x)的导函数)成立.若二:二二‘'一，b,c的大小关系是()a>b>cb>a>cc>a>bD.a>c>ba>b>cb>a>cc>a>bD.a>c>b【答案】A【解析】易知f(x)关于y轴对称，设二、：二二二，当X£(-8,0)时「<-■,・•・F(x)在(-8,0)上为递减函数，且F(X)为奇函数,，F(X)在r上是递减函数.H=hi-feH=hi-fe<1d2<l.log!g=2>1F：>尸以2)>1log1—I打a>b>c，故选a.考点：函数的性质.【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质，属于中档题目.从选项可以看出，要想比较a,b,c的大小关系，需要构造新函数'口，通过已知函数f(x)的奇偶性，对称性和单调性，判断F(x)的各种性质，可得F(x)在R上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系，通过分别对各个自变量与临界值0,1作比较，判断出三者的关系，即可得到函数值得大小关系.练习1.设函数f(X)是定义在(-8,0)上的可导函数，其导函数为f1(X)，且有一一；：二则不等式「"6—一：；—一1的解集为(B1B.C.C.(-2018,0)D.(-2016,0)【答案】B【解析】构造函数F 「匚由于:―…「‘，故7 F(x)为减函数.原不等式即一大"，故.v+2016<-2:_r<-20IS考点：函数导数与不等式，构造函数.【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件

工-7''、-'」，这样我们就可以构造函数'‘■""'1",它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出FG）的单调性，即函数FG）为减函数.注意到原不等式可以看成”』 ，利用函数的单调性就可以解出来.练习2.设函数/（。是定义在（0,+8）上的可导函数，其导函数为尸（。，且有'一''（.r-2014）3小―2014）—4/⑵>0则不等式 的解集为（）A.（2012,+8） B.（0,2012） C.（0,2016） D.（2016,+8）【答案】D【解析】•・•函数fG）是定义在（0,+8）上的可导函数，3[""V,函数y=x2（X）在（0,+8）上是增函数，（x-2014）V（v-2014]-V^）>0.-..-.Cx-2014）^^014）>22f（2）,.-.r-2014・•.不等式的解集为（2016,+8）练习3.函数f（x）是定义在区间（0,+8）上可导函数，其导函数为f'（x），且满足T’口一‘「、’”」，则（^+2016）/（x+2016）^5/（5）不等式A.----不等式A.r-2011}k-2016<.<<-20H}C.【答案】CD.{x-2011<.v<0}k-2016<.<<-20H}C.【答案】CD.{x-2011<.v<0}【解析】由则当X£（。,+8）时，…：即[VW]'=工7[k+2V]出>o,(.v+2016)/(..r+201&) 5/(5)所以函数xf（X）为单调「递增函数，由-v+2016,即一二；一•.；「一；所以「所以不等式的解集为{.v-2016<r<-2011}故选C.（五）与lnx有关的构造例5.已知定义在实数集R的函数f(x)满足f(1)=4月f(x)导函数f(x)<3,则不等式‘Q11工)>引"+1的解集为()A.(1,+8) B.(e,+8) C.(0,1) D.(0,e)【答案】D【解析】设t=lnx,则不等式"111工"“"工+1化为f(t)>3t+】，设g(x)=f(x)-3x-1，则且(“二/(*)一,。因为1nx)<3，所以‘:二:二一'<0,此时函数g(x)单调递减。因为f(1)=4,所以g(1)=f(1)-3-1=0，所以当x>1时，g(x)<g(1)=0此时g(x)=f(x)-3x-1<0,即不等式f(x)>3x+1的解为x<1，即不等式f(t)>3t+1的解集为t<1.由lnx<1得0<x<e。选D。考点：函数的单调性与导函数，不等式。练习1.设一 为自然对数的底数.若 ，则()A①尸"叩心")".」)B./(2)<八叩心2/⑼■：：/《)/riXD.D.•【答案】B/,(知口工>以3【解析】由不等式' '启发,/,(知口工>以3【解析】由不等式' '启发,可构造函数 "：，则 •/1('.v]lnA-->ZLil f('x)1n.t- >0又由 『，得 •：即F(x)在(0,+s)上为单调递增函数，因为F(xF(x)在(0,+8)上为单调递增函数，又2<e<e2，即F(2)<F”：下⑺，化简整理即得正确答案./(2)〃电)/9口F(2)<F(s)<刊力TV<：L£~T~^~ he=l1」J=22<e<e2，所以，, ，- •，即岛.出eln・：，又小一"口一 ■，整理可得/(2)</(e)ln22/(e)<f(^)， ■.故正确答案选B.考点：1.导数的应用；2.函数单调性的应用.【方法点晴】此题主要考查导数在研究函数单调性的应用等方面的知识，属于中高档题首先根据条件三' -；三' -；三二一三可知，可知U-V，构造函数 1口」，对函数F(x)求导，则有-V，（六）构造成商的形式例6,已知f（x）在（0,+8）上非负可导，且满足''' ?；*，，对于任意正数m,n，若m<n，则必有（）严（瑜三时⑻A.c「一•「.【答案】D尹2【解析】构造函数尹2【解析】构造函数，则由"So…3可知函数是单调递减函数,因为m<n，所以二：，：，二",即■ ]，也即；"‘…・：，因此应选D.考点：导数的运算和灵活运用.【易错点晴】本题是一道抽象型的函数性质判断题.考查的是运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解答本题的难点是不清楚函数的解析式也无法弄清楚，所以具有较大的难度.求解时通过深刻的观察和抽象产⑴=于f概括,先构造一个新的函数‘'，然后再带该函数进行求导，借助题设中的条件上.一..[：*]/⑴=足2判断出函数一'是单调递减函数.从而运用单调函数的定义使得本题巧妙获解.练习1.已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x丰0时，有 ，则函数产任）二刀㈤+工■■■的零点个数是（）0B.1C.2D.3【答案】BFM=v（^+-=o：^W=--fMw+/rw=[VW1>0【解析】令 r v. r r，即当八■：-「：二 1一二一,二 1X>0时，- - ，为增函数，当X<0时，- - ，为减函数，函数y=一在区间X

|'0:-KD)|'0:-KD):(-co=0j一上为增函数，故在区间(—8,0)上有一个交点.即 &的零点个数是1.考点：1.函数与导数；2.零点.【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的’ ‘ 「的零点，可以转化为""、也就是左右两个函数图象的交点个数，函数y=-1在区间'、'「•"上为增x,㈤।/W二-r3十一㈤二M㈤])0函数，通过已知条件分析,■ ''' ，即当X>0时，为增函数，当X<0时，、’，为减函数，由此判断这两个函数在区间(—8,0)上有一个交点.练习2..已知定义在R上的函数f(x)满足二'一'：—，当:t："二时，下面选项中最大的一项是( )f(mn)A.f(mn)A. mnC.nm【答案】B虱刈一出虱刈一出/(五)=2 >°【解析】令 '，贝U立阳光/ <1 〜〜曰又 '，所以最gQogrzh)= ———-选B.大的一项是忆…叫，.」一：考点：利用导数研究函数单调性选B.f(^)造辅助函数常根据导数法则进行：如,-•一「二构造三二=—，.--■■■-- ■■■■■•二-,构造二，二一,"构造E二=一，"二■=构造M'' ■'等X/('.¥)—十-4工v：。练习3.已知f(x)是定义在R上的减函数，而满足' ，其中f(Q为f(x)的导数，则()mwR.ffx]<0 ,v€kJ>0A.对任意的 ■ B.对任意的 .

ttYEf-X.lL/f.V]<0 ttYEfl+aoY/fx]>0C.当且仅当■ ' D.当且仅当【答案】B十工。1 ^ ^【解析】由题意f'(X)<0恒成立，由八■匚 得'：.令X=1得f(1)>0，又f(x)一一一•.・「 . —：「 f(X)一为减函数，所以当X<1时，，、“‘,，而当X>1时，由‘・’ 得〈二<0，从而f(X)>0f(x)综上有当X£R时，f(X)>0.故选B.练习4.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f(x)满足f(x)>k>1,则下列结论中定错误的是()fB.fD.f(fD.C.【答案】CfCk)-f(0)【解析】根据导数的概念得出>k>1,用x=-^—代入可判断出f(>7)>/7，即k_1 k_1【解析】根据导数的概念得出可判断答案.铲•・一、「£⑺-f(Q)解；・f(x)=m 11f口 s-0f(x)>k>1,f(k)-f(0)>k>1,F(s)+1即 〉k>F(s)+1即 〉k>1,当x=K1k-11所以f(/k-1f(金)+1>/乂女二仔)</7，一定出错，kT故选：C.学科网练习5.已知奇函数f（X）定义域为「J 为其导函数，且满足以下条件①X>0时,"" M:②f（1）=1；③*"'=W,则不等式4^<2X2的解集为 ,2 4x（1Y,M1【答案】「犯刃【解析】X【解析】X>0时,令人工二「夏」：」二?又f（X）为奇函数，所以g（X）为偶函数，因为〃2句=2/（工），所以，，；=|/|；；=；,（1）=；，氏；）=-^=8，从而f（^\ 1 1 / 1[/I]-^-<2d=虱丁）<区=,第Iw）<仪-v>- 解集为[一双一.口[不找/考点：利用导数解不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函