2023年四川凉山中考数学试卷及答案

第28页〔共28页〕2023年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题：〔共12个小题，每题4分，共48分〕1．〔4分〕〔2023•凉山州〕的倒数的绝对值是加油考〔〕A．﹣2023B．C．2023D．2．〔4分〕〔2023•凉山州〕如图，是由假设干个大小相同的正方体搭成的几何体的三视图，该几何体所用的正方体的个数是〔〕A．6B．4C．3D．23．〔4分〕〔2023•凉山州〕以下计算正确的是〔〕A．2a+3b=5abB．〔﹣2a2b〕3=﹣6a6b3C．D．〔a+b〕2=a2+b24．〔4分〕〔2023•凉山州〕一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为加油〔〕A．7B．7或8C．8或9D．7或8或95．〔4分〕〔2023•凉山州〕在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个6．〔4分〕〔2023•凉山州〕x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，那么x1﹣x1x2+x2的值是〔〕A．B．C．D．7．〔4分〕〔2023•凉山州〕关于x的方程无解，那么m的值为〔〕A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．58．〔4分〕〔2023•凉山州〕如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，假设∠EFG=52°，那么∠EGF等于〔〕A．26°B．64°C．52°D．128°9．〔4分〕〔2023•凉山州〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，那么反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是〔〕A．B．C．D．10．〔4分〕〔2023•凉山州〕教练要从甲、乙两名射击运发动中选一名成绩较稳定的运发动参加比赛．两人在形同条件下各打了5发子弹，命中环数如下：甲：9、8、7、7、9；乙：10、8、9、7、6．应该选〔〕参加．A．甲B．乙C．甲、乙都可以D．无法确定11．〔4分〕〔2023•凉山州〕，一元二次方程x2﹣8x+15=0的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径，当⊙O1和⊙O2相切时，O1O2的长度是〔〕A．2B．8C．2或8D．2＜O2O2＜812．〔4分〕〔2023•凉山州〕观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2023应标在〔〕A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角二、填空题：〔共5个小题，每题4分，共20分〕13．〔4分〕〔2023•凉山州〕分解因式：a3b﹣9ab=．14．〔4分〕〔2023•凉山州〕今年西昌市的洋葱喜获丰收，据估计洋葱的产量约是325000000千克，这个数据用科学记数法表示为克．15．〔4分〕〔2023•凉山州〕假设实数x满足x2﹣x﹣1=0，那么=．16．〔4分〕〔2023•凉山州〕将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．17．〔4分〕〔2023•凉山州〕如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，那么梯形DBCE的面积为cm2．三、解答题：〔共2小题，每题6分，共12分〕18．〔6分〕〔2023•凉山州〕计算：．19．〔6分〕〔2023•凉山州〕先化简，再求值：，其中实数x、y满足．四、解答题：〔共3小题，每题8分，共24分〕20．〔8分〕〔2023•凉山州〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．21．〔8分〕〔2023•凉山州〕为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了统计，以便国家精准扶贫政策有效落实．统计发现班上贫困家庭学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：〔1〕求该校一共有多少个班？并将条形图补充完整；〔2〕某爱心人士决定从2名贫困家庭学生的这些班级中，任选两名进行帮扶，请用列表法或树状图的方法，求出被选中的两名学生来自同一班级的概率．22．〔8分〕〔2023•凉山州〕如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A〔4，3〕、B〔4，1〕，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．〔1〕画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；〔2〕求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．五、解答题：〔共2小题，每题8分，共16分〕23．〔8分〕〔2023•凉山州〕为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购置A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．〔1〕求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？〔2〕经预算，市污水处理厂购置设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购置方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？24．〔8分〕〔2023•凉山州〕阅读以下材料并答复以下问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．①古希腊几何学家海伦〔Heron，约公元50年〕，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在?度量?一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．我国南宋数学家秦九韶〔约1202﹣﹣约1261〕，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：．②下面我们对公式②进行变形：=====．这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．〔1〕求△ABC的面积；〔2〕求⊙O的半径．六、B卷填空题：〔共2小题，每题5分，共10分〕25．〔5分〕〔2023•凉山州〕关于x的不等式组仅有三个整数解，那么a的取值范围是．26．〔5分〕〔2023•凉山州〕如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠DC=90°，AB=AD=，CD=，点P是四边形ABCD四条边上的一个动点，假设P到BD的距离为，那么满足条件的点P有个．七、B卷解答题：〔共2小题，27题8分，28题12分，共20分〕27．〔8分〕〔2023•凉山州〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且．〔1〕求证：△ADC∽△EBA；〔2〕如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．28．〔12分〕〔2023•凉山州〕如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕经过A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，﹣3〕三点，直线l是抛物线的对称轴．〔1〕求抛物线的函数关系式；〔2〕设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；〔3〕点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．2023年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：〔共12个小题，每题4分，共48分〕在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．〔4分〕〔2023•凉山州〕的倒数的绝对值是〔〕A．﹣2023B．C．2023D．【考点】倒数；绝对值．【分析】根据倒数的定义求出的倒数，再根据绝对值的定义即可求解．【解答】解：的倒数是﹣2023，﹣2023的绝对值是2023．应选：C．【点评】主要考查绝对值，倒数的概念及性质．假设两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．〔4分〕〔2023•凉山州〕如图，是由假设干个大小相同的正方体搭成的几何体的三视图，该几何体所用的正方体的个数是〔〕A．6B．4C．3D．2【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有3个小正方体，第2层有1个小正方体，第3层有1个小正方体，第4层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是3+1+1+1=6个．应选：A．【点评】此题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也表达了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章〞就更容易得到答案．3．〔4分〕〔2023•凉山州〕以下计算正确的是〔〕A．2a+3b=5abB．〔﹣2a2b〕3=﹣6a6b3C．D．〔a+b〕2=a2+b2【考点】二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】直接利用二次根式加减运算法那么以及完全平方公式和积的乘方运算法那么分别化简求出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；B、〔﹣2a2b〕3=﹣8a6b3，故此选项错误；C、+=2+=3，正确；D、〔a+b〕2=a2+b2+2ab，故此选项错误；应选：C．【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及完全平方公式和积的乘方运算等知识，正确把握相关运算法那么是解题关键．4．〔4分〕〔2023•凉山州〕一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为〔〕A．7B．7或8C．8或9D．7或8或9【考点】多边形内角与外角．【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，那么〔n﹣2〕•180°=1080°，解得：n=8．那么原多边形的边数为7或8或9．应选：D．【点评】此题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．5．〔4分〕〔2023•凉山州〕在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：线段、矩形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形不是中心对称图形，应选：B．【点评】此题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．6．〔4分〕〔2023•凉山州〕x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，那么x1﹣x1x2+x2的值是〔〕A．B．C．D．【考点】根与系数的关系．【分析】由x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2=﹣，x1•x2=﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，∴x1+x2=﹣=﹣，x1•x2==﹣2，∴x1﹣x1x2+x2=﹣﹣〔﹣2〕=．应选D．【点评】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2=﹣，x1•x2=﹣2．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．7．〔4分〕〔2023•凉山州〕关于x的方程无解，那么m的值为〔〕A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5【考点】分式方程的解．【专题】计算题；分式方程及应用．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m，由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5，应选A【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．8．〔4分〕〔2023•凉山州〕如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，假设∠EFG=52°，那么∠EGF等于〔〕A．26°B．64°C．52°D．128°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线及角平分线的性质解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴∠BEF=180°﹣52°=128°；∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=64°；∴∠EGF=∠BEG=64°〔内错角相等〕．应选：B．【点评】此题考查了平行线的性质，解答此题用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；角平分线分得相等的两角．9．〔4分〕〔2023•凉山州〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，那么反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是〔〕A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．【分析】根据二次函数的图象找出a、b、c的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．【解答】解：观察二次函数图象可知：开口向上，a＞0；对称轴大于0，﹣＞0，b＜0；二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴，c＞0．∵反比例函数中k=﹣a＜0，∴反比例函数图象在第二、四象限内；∵一次函数y=bx﹣c中，b＜0，﹣c＜0，∴一次函数图象经过第二、三、四象限．应选C．【点评】此题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a、b、c的正负．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象找出a、b、c的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．10．〔4分〕〔2023•凉山州〕教练要从甲、乙两名射击运发动中选一名成绩较稳定的运发动参加比赛．两人在形同条件下各打了5发子弹，命中环数如下：甲：9、8、7、7、9；乙：10、8、9、7、6．应该选〔〕参加．A．甲B．乙C．甲、乙都可以D．无法确定【考点】方差．【专题】统计与概率．【分析】根据题意分别求出甲、乙的平均数和方差，根据方差越小越稳定，可以解答此题．【解答】解：由题意可得，甲的平均数为：，方差为：=0.8，乙的平均数为：，方差为：=2，∵0.8＜2，∴选择甲射击运发动，应选A．【点评】此题考查方差，解题的关键是明确题意，可以求出甲乙的方差．11．〔4分〕〔2023•凉山州〕，一元二次方程x2﹣8x+15=0的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径，当⊙O1和⊙O2相切时，O1O2的长度是〔〕A．2B．8C．2或8D．2＜O2O2＜8【考点】圆与圆的位置关系；根与系数的关系．【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是3和5．∴①当两圆外切时，圆心距O1O2=3+5=8；②当两圆内切时，圆心距O1O2=5﹣2=2．应选C．【点评】考查解一元二次方程﹣因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解此题的难点．12．〔4分〕〔2023•凉山州〕观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2023应标在〔〕A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【专题】规律型．【分析】根据图形中对应的数字和各个数字所在的位置，可以推出数2023在第多少个正方形和它所在的位置，此题得以解决．【解答】解：∵2023÷4=504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2023，∴数2023在第505个正方形的右下角，应选D．【点评】此题考查规律型：点的坐标，解题的关键是根据题目中的图形可以发现其中的规律，明确各个数所在的位置．二、填空题：〔共5个小题，每题4分，共20分〕13．〔4分〕〔2023•凉山州〕分解因式：a3b﹣9ab=ab〔a+3〕〔a﹣3〕．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式ab，然后再利用平方差公式继续分解，即可求得答案．【解答】解：a3b﹣9ab=a〔a2﹣9〕=ab〔a+3〕〔a﹣3〕．故答案为：ab〔a+3〕〔a﹣3〕．【点评】此题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．注意先提公因式，再利用公式法分解因式，注意分解要彻底．14．〔4分〕〔2023•凉山州〕今年西昌市的洋葱喜获丰收，据估计洋葱的产量约是325000000千克，这个数据用科学记数法表示为3.25×1011克．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：325000000千克=325000000000克=3.25×1011，故答案为：3.25×1011．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15．〔4分〕〔2023•凉山州〕假设实数x满足x2﹣x﹣1=0，那么=10．【考点】代数式求值．【专题】推理填空题．【分析】根据x2﹣x﹣1=0，可以求得的值，从而可以得到的值，此题得以解决．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，∴，∴，∴，即，∴，故答案为：10．【点评】此题考查代数式求值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16．〔4分〕〔2023•凉山州〕将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣6x﹣11．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据平移规律：上加下减，左加右减写出解析式即可．【解答】解：抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y=﹣〔x﹣3〕2﹣2即y=﹣x2+6x﹣11，故答案为y=﹣x2﹣6x﹣11．【点评】此题考查二次函数图象与坐标变换，记住上加下减，左加右减这个规律，属于中考常考题型．17．〔4分〕〔2023•凉山州〕如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，那么梯形DBCE的面积为9cm2．【考点】三角形中位线定理．【分析】根据三角形的中位线得出DE=BC，DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，再求出△ABC和△ADE的面积比值求出，进而可求出梯形DBCE的面积．【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ABC的面积为12cm2，∴△ADE的面积为3cm2，∴梯形DBCE的面积=12﹣3=9cm2，故答案为：9．【点评】此题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABC和△ADE的面积比值，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．三、解答题：〔共2小题，每题6分，共12分〕18．〔6分〕〔2023•凉山州〕计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解：=﹣1﹣3+2+1+1=1．【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．19．〔6分〕〔2023•凉山州〕先化简，再求值：，其中实数x、y满足．【考点】分式的化简求值；二次根式有意义的条件．【专题】计算题；分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分得到最简结果，根据负数没有平方根求出x与y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=，∵y=﹣+1，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，即x﹣2=0，解得：x=2，y=1，那么原式=2．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．四、解答题：〔共3小题，每题8分，共24分〕20．〔8分〕〔2023•凉山州〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】先猜出AE与CF的关系，然后说明理由即可，由题意可以推出四边形AECF是平行四边形，从而可以推出AE与CF的关系．【解答】解：AE与CF的关系是平行且相等．理由：∵在，▱ABCD中，∴OA=OC，AF∥EC，∴∠OAF=∠OCE，在△OAF和△OCE中，，∴△OAF≌△OCE〔ASA〕，∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF且AE=CF，即AE与CF的关系是平行且相等．【点评】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的证明，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．21．〔8分〕〔2023•凉山州〕为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了统计，以便国家精准扶贫政策有效落实．统计发现班上贫困家庭学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：〔1〕求该校一共有多少个班？并将条形图补充完整；〔2〕某爱心人士决定从2名贫困家庭学生的这些班级中，任选两名进行帮扶，请用列表法或树状图的方法，求出被选中的两名学生来自同一班级的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【分析】〔1〕根据留守儿童有4名的班级有6个，占30%，可求得有留守儿童的班级总数，再求得留守儿童是2名的班数；〔2〕由〔1〕得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列表可得出来自一个班的共有4种情况，继而可得所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．【解答】解：〔1〕该校的班级共有6÷30%=20〔个〕，有2名贫困生的班级有20﹣5﹣6﹣5﹣2=2〔个〕，补全条形图如图：〔2〕根据题意，将两个班级4名学生分别记作A1、A2、B1、B2，列表如下：A1A2B1B2A1A1，A2A1，B1A1，B2A2A2，A1A2，B1A2，B2B1B1，A1B1，A2B1，B2B2B2，A1B2，A2B2，B1由上表可知，从这两个班级任选两名学生进行帮扶共有12种等可能结果，其中被选中的两名学生来自同一班级的有4种结果，∴被选中的两名学生来自同一班级的概率为=．【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图、树状图的画法以及规律公式；读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．22．〔8分〕〔2023•凉山州〕如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A〔4，3〕、B〔4，1〕，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．〔1〕画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；〔2〕求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．【分析】〔1〕根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；〔2〕利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．【解答】解：〔1〕所求作△A1B1C如下列图：由A〔4，3〕、B〔4，1〕可建立如下列图坐标系，那么点A1的坐标为〔﹣1，4〕，点B1的坐标为〔1，4〕；〔2〕∵AC===，∠ACA1=90°∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：S扇形CAA1+S△ABC=+×3×2=+3．【点评】此题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．五、解答题：〔共2小题，每题8分，共16分〕23．〔8分〕〔2023•凉山州〕为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购置A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．〔1〕求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？〔2〕经预算，市污水处理厂购置设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购置方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．【专题】探究型．【分析】〔1〕根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答此题；〔2〕根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购置方案，从而可以算出每种方案购置资金，从而可以解答此题．【解答】解：〔1〕设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，解得，即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；〔2〕设购置A型污水处理设备x台，那么购置B型污水处理设备〔20﹣x〕台，那么解得，12.5≤x≤15，第一种方案：当x=13时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；第二种方案：当x=14时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；第三种方案；当x=15时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；即购置A型污水处理设备13台，那么购置B型污水处理设备7台时，所需购置资金最少，最少是226万元．【点评】此题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24．〔8分〕〔2023•凉山州〕阅读以下材料并答复以下问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．①古希腊几何学家海伦〔Heron，约公元50年〕，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在?度量?一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．我国南宋数学家秦九韶〔约1202﹣﹣约1261〕，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：．②下面我们对公式②进行变形：=====．这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．〔1〕求△ABC的面积；〔2〕求⊙O的半径．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】〔1〕由△ABC的三边a=3，b=12，c=7，可知这是一个一般的三角形，应选用海伦﹣秦九韶公式求解即可；〔2〕由三角形的面积=lr，计算即可．【解答】解：〔1〕∵AB=13，BC=12，AC=7，∴p==16，∴==24；〔2〕∵△ABC的周长l=AB+BC+AC=32，∴S=lr=24，∴r==．【点评】此题考查了三角形面积的求解方法．此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键．六、B卷填空题：〔共2小题，每题5分，共10分〕25．〔5分〕〔2023•凉山州〕关于x的不等式组仅有三个整数解，那么a的取值范围是﹣1＜a＜﹣．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】根据解方程组，可得方程组的解，根据方程组的解是整数，可得答案．【解答】解：由4x+2＞3x+3a，解得x＞3a﹣2，由2x＞3〔x﹣2〕+5，解得3a﹣2＜x＜﹣1，由关于x的不等式组仅有三个整数解，得﹣5＜3a﹣2＜﹣4，解得﹣1＜a＜﹣，故答案为：﹣1＜a＜﹣．【点评】此题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．26．〔5分〕〔2023•凉山州〕如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠DC=90°，AB=AD=，CD=，点P是四边形ABCD四条边上的一个动点，假设P到BD的距离为，那么满足条件的点P有2个．【考点】点到直线的距离．【分析】首先作出AB、AD边上的点P〔点A〕到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P〔点C〕到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由计算出AE、CF的长为，比较得出答案．【解答】解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=2，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°，∵sin∠ABD=，∴AE=AB•sin∠ABD=3•sin45°=3＞，CF=2＜，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，故答案为：2．【点评】此题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．七、B卷解答题：〔共2小题，27题8分，28题12分，共20分〕27．〔8分〕〔2023•凉山州〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且．〔1〕求证：△ADC∽△EBA；〔2〕如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】〔1〕欲证△ADC∽△EBA，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明且就可以；〔2〕A是的中点，的中点，那么AC=AB=8，根据△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC，求得AE，根据正切三角函数的定义就可以求出结论．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA=∠ABE．∵，∴∠DCA=∠BAE．∴△ADC∽△EBA；〔2〕解：∵A是的中点，∴∴AB=AC=8，∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD=∠AEC，，即，∴AE=，∴tan∠CAD=tan∠AEC===．【点评】此题考查的是圆的综合题，涉及到弧、弦的关系，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．28．〔12分〕〔2023•凉山州〕如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕经过A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，﹣3〕三点，直线l是抛物线的对称轴．〔1〕求抛物线的函数关系式；〔2〕设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；〔3〕点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；〔2〕由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点；〔3〕由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．【解答】解：〔1〕将A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，﹣3〕代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：故抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3．〔2〕当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时x=﹣=1，故P〔1，0〕；〔3〕如下列图：抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M〔1，m〕，A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕，那么：MA2=m2+4，MC2=〔3+m〕2+1=m2+6m+10，AC2=10；①假设MA=MC，那么MA2=MC2，得：m2+4=m2+6m+10，解得：m=﹣1，②假设MA=AC，那么MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；③假设MC=AC，那么MC2=AC2，得：m2+6m+10=10，得：m1=0，m2=﹣6；当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M〔1，〕〔1，﹣〕〔1，﹣1〕〔1，0〕．【点评】此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式确实定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．参与本试卷答题和审题的老师有：HLing；HJJ；gbl210；wdzyzmsy@126；1286697702；曹先生；sks；zgm666；sjzx；zcx；王学峰；弯弯的小河；wd1899；三界无我；2300680618；sd2023〔排名不分先后〕菁优网2023年6月23日考点卡片1．绝对值〔1〕概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．〔2〕如果用字母a表示有理数，那么数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|={a〔a＞0〕0〔a=0〕﹣a〔a＜0〕2．倒数〔1〕倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1a=1〔a≠0〕，就说a〔a≠0〕的倒数是1a．〔2〕方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁〞和“渡船〞．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣〞即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．3．科学记数法—表示较大的数〔1〕科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】〔2〕规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．4．实数的运算〔1〕实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．〔2〕在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键〞1．运算法那么：乘方和开方运算、幂的运算、指数〔特别是负整数指数，0指数〕运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．5．代数式求值〔1〕代数式的：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．〔2〕代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①条件不化简，所给代数式化简；②条件化简，所给代数式不化简；③条件和所给代数式都要化简．6．合并同类项〔1〕定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．〔2〕合并同类项的法那么：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．〔3〕合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会区分同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，到达化简多项式的目的；③“合并〞是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．7．幂的乘方与积的乘方〔1〕幂的乘方法那么：底数不变，指数相乘．〔am〕n=amn〔m，n是正整数〕注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘〞指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加〞的区别．〔2〕积的乘方法那么：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．〔ab〕n=anbn〔n是正整数〕注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法那么仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．8．完全平方公式〔1〕完全平方公式：〔a±b〕2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放〞．〔2〕完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项为哪一项两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．〔3〕应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和〔或差〕的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．9．提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．10．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…〞．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择适宜的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．11．零指数幂零指数幂：a0=1〔a≠0〕由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1〔a≠0〕注意：00≠1．12．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：〔1〕二次根式的概念．形如a〔a≥0〕的式子叫做二次根式．〔2〕二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．〔3〕二次根式具有非负性．a〔a≥0〕是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，那么除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．13．二次根式的加减法〔1〕法那么：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．〔2〕步骤：①如果有括号，根据去括号法那么去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．〔3〕合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同那么可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．14．二元一次方程组的应用〔一〕、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：〔1〕审题：找出问题中的条件和未知量及它们之间的关系．〔2〕设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．〔3〕列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．〔4〕求解．〔5〕检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．〔二〕、设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．15．根与系数的关系〔1〕假设二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣〔x1+x2〕，q=x1x2，前者是系数确定根的相关问题，后者是两根确定方程中未知系数．〔2〕假设二次项系数不为1，那么常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣〔x1+x2〕，=x1x2．〔3〕常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．16．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．17．一元一次不等式组的整数解〔1〕利用数轴确定不等式组的解〔整数解〕．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．〔2〕解集〔整数解〕求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．18．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：〔1〕分析题意，找出不等关系；〔2〕设未知数，列出不等式组；〔3〕解不等式组；〔4〕从不等式组解集中找出符合题意的答案；〔5〕作答．19．规律型：点的坐标规律型：点的坐标．20．一次函数的图象〔1〕一次函数的图象的画法：经过两点〔0，b〕、〔﹣bk，0〕或〔1，k+b〕作直线y=kx+b．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线〔正比例函数是过原点的直线〕，但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．〔2〕一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，那么其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．21．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．〔1〕列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0〞为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．〔2〕由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．〔3〕连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．〔4〕由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．22．二次函数的图象〔1〕二次函数y=ax2〔a≠0〕的图象的画法：①列表：先取原点〔0，0〕，然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大〔或从大到小〕的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2〔a≠0〕的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．〔2〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．23．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．24．二次函数综合题〔1〕二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，那么符合所有特征的图象即为正确选项．〔2〕二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．〔3〕二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创立，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．25．点到直线的距离〔1〕点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．〔2〕点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．26．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．27．全等三角形的判定与性质〔1〕全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．〔2〕在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．28．三角形中位线定理〔1〕三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．〔2〕几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=BC．29．多边形内角与外角〔1〕多边形内角和定理：〔n﹣2〕•180〔n≥3〕且n为整数〕此公式推导的根本方法是从n边形的一个顶点出发引出〔n﹣3〕条对角线，将n边形分割为〔n﹣2〕个三角形，这〔n﹣2〕个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的根本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．〔2〕多边形的外角和等于360度．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，那么n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以上结论：外角和=180°n〔n﹣2〕•180°=360°．30．平行四边形的性质〔1〕平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．〔2〕平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．〔3〕平行线间的距离处处相等．〔4〕平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底〔等底〕同高〔等高〕的平行四边形面积相等．31．圆周角定理〔1〕圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．〔2〕圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．〔3〕在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种根本技能技巧一定要掌握．〔4〕注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁〞﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的〞两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．32．三角形的内切圆与内心〔1〕内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．〔2〕任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．〔3〕三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．33．圆与圆的位置关系〔1〕圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．〔2〕圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r〔R≥r〕；④两圆内切⇔d=R﹣r〔R＞r〕；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r〔R＞r〕．34．扇形面积的计算〔1〕圆面积公式：S=πr2〔2〕扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．〔3〕扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，那么S扇形=πR2或S扇形=lR〔其中l为扇形的弧长〕〔4〕求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．〔5〕求阴影面积的主要思路是将不规那么图形面积转化为规那么图形的面积．35．轴对称图形〔1〕轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折