内蒙古自治区赤峰市宁城紫蒙中学2023年高二数学理联考试卷含解析

内蒙古自治区赤峰市宁城紫蒙中学2023年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．2.下列求导运算正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.在中，，，则的值是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A4.曲线在点处的切线方程为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A5.已知O是棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线的交点，平面α经过点O，正方体的8个顶点到α的距离组成集合A，则A中的元素个数最多有（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：B考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，由正方体的结构特点，可得O是线段A1C的中点，过点O作任一平面α，设A1C与α所成的角为θ，分析可得点A1与C到平面α的距离相等，同理可得B与D1，A与C1，D与B1到平面α的距离相等，则可得集合A中的元素个数最多为4个，即可得答案．解答：解：根据题意，如图，点O为正方体对角线的交点，则O是线段A1C的中点，过点O作任一平面α，设A1C与α所成的角为θ，分析可得点A1与C到平面α的距离相等，均为，同理B与D1到平面α的距离相等，A与C1到平面α的距离相等，D与B1到平面α的距离相等，则集合A中的元素个数最多为4个；故选：B．点评：本题考查正方体的几何结构，注意正方体中心的性质，即体对角线的交点，从而分析得到体对角线的两个端点到平面α的距离相等6.直线与曲线的交点个数为（

）A．3个

B．2个

C．1个

D．0个参考答案：C7.一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为(

)A． B． C．π D．参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可判断这个几何体为圆柱体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积．解答：解：由三视图可知这个几何体是圆柱体，且底面圆的半径，高为1，那么圆柱体的体积是：π×（）2×1=，故选A．点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键8.已知{an}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．60 D．100参考答案：D【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．

【专题】等差数列与等比数列．【分析】题目给出了等比数列，运用等比中项的概念，把要求的和式转化为a4+a6，则答案可求．【解答】解：因为数列{an}为等比数列，由等比中项的概念有，，a3a7=a4a6，所以a1a7+2a3a7+a3a9=．故选D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比中项的概念，考查了数学转化思想，该题是基础题．9.设两点A、B的坐标为A（﹣1，0）、B（1，0），若动点M满足直线AM与BM的斜率之积为﹣2，则动点M的轨迹方程为（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1（x≠±1）C．x2+=1

D．x2+=1（x≠±1）参考答案：D【考点】轨迹方程．【分析】由题意可得：设M（x，y），写出直线AM与直线BM的斜率分别为，，结合题意得到x与y的关系，进而得到答案．【解答】解：由题意可得：设M（x，y），所以直线AM与直线BM的斜率分别为，，x≠±1．因为直线AM与直线BM的斜率之积为﹣2，所以?=﹣2，化简得：x2+=1．x≠±1所以动点M的轨迹E的方程为x2+=1（x≠±1）．故选：D．【点评】本题主要考查求曲线轨迹方程的方法，注意x的范围，考查转化思想以及计算能力．10.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右图，则下面结论中错误的一个是()A．甲的极差是29

B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高

D．甲的中位数是24参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面是关于的判断：（1）是周期函数；

（2）在上是增函数；（3）在上是减函数；（4）的图象关于直线对称.

则正确的命题序号是

参考答案：（1），（4）12.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为________．参考答案：13.已知向量a＝(sinx,1)，b＝(t，x)，若函数f(x)＝a·b在区间上是增函数，则实数t的取值范围是__________．参考答案：[－1，＋∞)14.P是椭圆上的点，F1、F2是两个焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差是______.参考答案：515.设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，则的最小值为．参考答案：﹣4p2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（xA，yA），B（xB，yB）．则=4（xA?xB+yA?yB），分类讨论，结合韦达定理，=4（a2﹣2ap）=4[（a﹣p）2﹣p2]≥﹣4p2即可得出结论．【解答】解：设A（xA，yA），B（xB，yB）．则+=（xA+xB，yA+yB），=﹣=（xB﹣xA，yB﹣yA），=4（xA?xB+yA?yB），若直线AB斜率存在，设为y=k（x﹣a），则，整理得：k2x2﹣2（ak2+p）x+k2a2=0，xA?xB=a2，yA?yB=k2（xA﹣a）（xB﹣a）=﹣2ap，=4（xA?xB+yA?yB）=4（a2﹣2ap）=4[（a﹣p）2﹣p2]≥﹣4p2，．若直线不存在，当xA=xB=a，yA=﹣yB=时，上式也成立．故所求最小值为﹣4p2．当且仅当直线AB过点（p，0）时等号成立，故答案为：﹣4p2．16.（原创）已知抛物线的焦点为，顶点为，准线为，过该抛物线上异于顶点的任意一点作于点，以线段为邻边作平行四边形，连接直线交于点，延长交抛物线于另一点。若的面积为，的面积为，则的最大值为____________。参考答案：17.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线l与⊙O交于A，B两点．则的取值范围为_________参考答案：【分析】先将圆化为普通方程，直线与⊙O交于，两点，转化为圆心到直线的距离小于半径，求得的取值即可.【详解】因为⊙O的参数方程为，（为参数），可得是以（0,0）为圆心，半径r=1的圆当时，直线l与圆有2个交点；当，设直线l：要使直线l与圆有2个交点，即圆心到直线的距离小于半径，即解得或所以的取值范围为综上所述，的取值范围【点睛】本题考查了参数方程和直线与圆的位置关系，解题的关键在于转化，易错点是没有考虑直线斜率不存在的情况，属于中档题型.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.(1)求k的值；并求的单调区间；(2)设，其中为的导函数.证明：对任意.参考答案：(I)，由已知，，∴.(II)由(I)知，.设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而.综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.(III)由(II)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立.当时，＞1，且，∴.设，，则，当时，，当时，，所以当时，取得最大值.所以.综上，对任意19.已知函数f（x）=x3﹣3x．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有3个实根，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题转化为y=f（x）和y=k有3个交点，根据f（x）的极大值和极小值求出k的范围即可．【解答】解：（I）∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=1，列表如下：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增当x=﹣1时，有极大值f（﹣1）=2；当x=1时，有极小值f（1）=﹣2．（II）要f（x）=k有3个实根，由（I）知：f（1）＜k＜f（﹣1），即﹣2＜k＜2，∴k的取值范围是（﹣2，2）．20.（本小题满分13分）已知函数f(x)＝x3＋x－16，(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；参考答案：解：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，

……………2分∴点(2，－6)在曲线上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，

∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.

……………4分∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)．即y＝13x－32.

……………6分(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，

……………8分∴直线l的方程为：y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，

……………10分整理得x＝－8，∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，∴k＝3(－2)2＋1＝13，

……………12分∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

……………13分21.（10分）解不等式参考答案：原不等式等价于

解（1）得，

解（2）得

故原不等式的解集为22.设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义；直线的一般式方程．【分析】（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2，f（2））在曲线上，利用方程联立解出a，b（2）可以设P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y