高三三轮复习数学学科辅导讲义向量

学科教师辅导讲义讲义编号：副校长/组长签字：签字日期：学员编号：年级：高*课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：***课题向量课型□预习课□同步课☑复习课□习题课□专题课授课日期及时段Time\@"yyyy年M月d日"2021年4月29日：00-：00教学目标教学目标1、理解平面向量的概念2、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4、通过本节课教授，提升孩子的学习兴趣知识详解知识详解PPoint:向量概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0【注意】1.向量平行不具有传递性2.平行向量也叫作共线向量，两平行向量的位置关系既可以是在同一条直线上，也可以是平行关系3.零向量与任何向量都平行（与任何向量都垂直是错误的），长度为0，方向任意4.有向线段可以表示向量，但不是说向量就是有向线段5.向量不可以比较大小，它的模长可以比较大小6.与向量a同方向，且长度等于1个单位的向量，叫做a方向上的单位向量，记作eq\f(a,|a|)，这实质上告诉了求任意非零向量的单位向量的方法．7.非零向量相等，必有大小相等且方向相同，反之也成立．例题例题1、下列结论中正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度和向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B．向量a与b平行，则b与a方向相同C．两个有共同起点而长度相等的向量，它们的终点必相同D．若a与b平行同向，且|a|＞|b|，则a＞b2、下列结论中正确的是()A．由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行B．如果|a|＝|b|，则a＝bC．如果|a|＝|b|，则a与b长度相等D．共线向量一定在同一条直线上3、如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，（1）分别写出图中与向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))相等的向量．（2）题中与向量eq\o(AD,\s\up6(→))共线的向量有哪些？4、在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量．不正确的命题是________(填序号)．5、判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．46、下列关于向量的说法中正确的是()A．长度相等的两向量必相等B．两向量相等，其长度不一定相等C．向量的大小与有向线段起点无关D．两个向量相等，则它们的起点和终点都相同7、如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是()A．与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))B．与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))C.eq\o(BD,\s\up6(→))的模恰为eq\o(DA,\s\up6(→))模的eq\r(3)倍D.eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))不共线8、已知向量a，b是两个非零向量，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))或eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(BO,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝1D．|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|9、如图，△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段所表示的向量中：(1)与向量eq\o(FE,\s\up6(→))共线的有(2)与向量eq\o(DF,\s\up6(→))的模相等的(3)与向量eq\o(ED,\s\up6(→))相等的有10、若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是________．PPoint:向量的运算向量加法的三角形法则：“首尾相接，首尾连”如图：运算律．(1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.(2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).向量减法的三角形法则：“起点相同，指向被减向量”．2）|a＋b|、|a－b|、|a|＋|b|、|a|－|b|之间的关系．对于任意的两个向量a与b，有________≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a±b))≤________. 注意：当a，b共线时(包括同向和反向)上式等号成立．数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．加减运算加减运算1.化简：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BD,\s\up6(→))＋\o(CA,\s\up6(→))))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(CO,\s\up6(→))＝________.2.已知下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(MB,\s\up6(→))))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).其中结果为0的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个（1）平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(DB,\s\up6(→)).（2）在矩形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝________.（3）若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范围是________．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.5、一艘船从A点出发以2eq\r(3)km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h，求水流的速度．6、设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为四边形ABCD所在平面内一点，则等于（）B.2C.3D.4向量(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))等于()A.eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AM,\s\up6(→))8.如图，已知O为平行四边行ABCD内一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，求eq\o(OD,\s\up6(→)).9.如图，O为的外心，H为垂心，求证：数乘数乘1、化简：(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)；(2)6(a－3b＋c)－4(－a＋b－c)；(x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b)．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，求a＋b，a－b与3a－2b.点C在线段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(5,2)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝________eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________eq\o(AB,\s\up6(→)).已知|a|＝3，|b|＝5，b与a的方向相反，若a＝λb，则λ＝________.5.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用向量a、b分别表示eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(OD,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→)).6.已知向量是不共线向量e1，e2，给出下列各组向量：①a＝2e1，b＝e1＋e2；②a＝2e1－e2，b＝－e1＋eq\f(1,2)e2；③a＝e1＋e2，b＝－2e1－2e2；④a＝e1＋e2，b＝e1－e2.其中共线的向量组共有()A．1个B．2个C．3个D．4个7.设e1，e2是两个不共线向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若三点A，B，D共线，求k.已知任意两个非零向量e1、e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4e1－8e2，求证：A、B、D三点共线．PPoint:平面向量的基本定理平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．线性运算线性运算设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.2、如图，以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b为邻边作▱OADB，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).3、设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．4、在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→))5、如图所示，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD与BC相交于点M，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.试用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up6(→)).6、证明：向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))终点A、B、C共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝1，使得eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，反之也成立．7、在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).8、设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|eq\o(AP,\s\up6(→))|∶|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)e1－eq\f(2,3)e2B.eq\f(2,3)e1＋eq\f(1,3)e2C.eq\f(1,3)e1＋eq\f(2,3)e2D.eq\f(2,3)e1－eq\f(1,3)e2等和线运算等和线运算1.给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq\f(2π,3).如图所示，点C在以O为圆心的eq\o(AB,\s\up8(︵))上运动．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，（1）求x＋y的最取值范围．（2）求2x＋y的取值范围．在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段CD上运动，设，的取值范围是3.，求4.已知|a|＝|b|＝2，a⊥b，若向量c满足|c－a－b|＝2，求|c|的取值范围．5.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2,动点p在以C为圆心且相切与BD的圆上。若,则的最大值是()A3BCD26.已知O为的外心，，若，则的最大值为PPoint:向量四心问题1.重心：中线的交点；重心将中线长度分成2-12.垂心：高线的交点；高线与对应边垂直3.内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）；角平分线上的任意点到角两边的距离项等4.外心：中垂线的交点（外切圆的圆心）；外心到三角形各顶点的距离相等二、向量四心性质1.重心P为平面内任一点重心o坐标动点满足，则p过的重心动点满足，则p过的重心垂心若o是（非直角三角形）的垂心则：动点满足，则p过的垂内心动点满足，则p过的内心外心动点满足，则p过的外心向量的统一形式：典例典例1、若O是△ABC内一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.则O为△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心2、设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足,λ∈[0，＋∞)．求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过△ABC的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心3、在△ABC中，设eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心4、在△ABC中，设eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A．垂心 B．内心C．外心 D．重心PPoint:向量坐标运算1、向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．2、向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．3、平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，4、与夹角组成的三角形的面积：例题例题1．若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4，7)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2，－4) B．(2，4)C．(6，10) D．(－6，－10)2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于3．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是()A．a＝0，b＝e1＋e2B．a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2C．a＝e1－2e2，b＝e1＋e2D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e24．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于()A．－eq\r(2) B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．05.已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，试求t为何值时：(1)点P在x轴；(2)点P在y轴；(3)点P在第一象限．6.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2 B．k＝eq\f(1,2)C．k＝1 D．k＝－17.设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．8.设0＜θ＜eq\f(π,2)，向量，若a∥b，则＝________．9.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，当实数k为何值时，向量ka－b与a＋3b平行？并确定此时它们是同向还是反向．10.如下图所示，以原点O和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标，并求出△AOB面积11.已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，1))，(1)当x为何值时，使eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2b))∥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－b))？(2)当x为何值时，使eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2b))⊥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－b))？PPoint:数量积1、设a与b均为非空向量：(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当a与b同向时，a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，当a与b反向时，a·b＝－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，特别地a·a＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2或eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a).(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(4)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a·b))≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)).2、a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积．3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a，b，c与实数λ，(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))·c＝a·c＋b·c(分配律)．注意：vs

总结；性质几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(（xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)）（xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)）)有关向量夹角的结论例题例题1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3) D.eq\f(3,2)2．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．3．已知向量a，b和实数λ，则下列选项中错误的是()A．|a|＝eq\r(a·a) B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|4．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2eq\r(3)，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)5.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．6.已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为()A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)7.如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是()A.eq\r(2) B．2C．0 D．18.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，1)，在x轴上存在一点P使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))有最小值，则P点的坐标是()A．(－3，0) B．(2，0)C．(3，0) D．(4，0)9.已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝eq\f(1,2).若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．10.已知△ABC是正三角形，若a＝eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．11.在边长为2的等边三角形中,是的中点,为线段上一动点,则的取值范围为12.已知,若点是所在平面内一点,且,则的最大值等于（）.A．13B．15C．19D．2113.已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为（）B.C.D.14.非零向量满足=,,则的夹角的最小值是．15.在中,为中线上一个动点,若,则的最小值是（）A．2B．-1C．-2D．-416.已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（）A．1B．2C．D．17.设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于________.极化恒等式及外心处理极化恒等式及外心处理1、极化恒等式；数式满足，向量也满足2、余弦式：例题：

1、已知是边长为2的等边三角形，P为平面内一点，的最小值为2、在，已知，，点是线段中点，分别是上的动点，且，则的最小值为直线与圆：相交于两点M、N，若，点P为圆O上任意一点则的取值范围为6、已知O是锐角三角形内一点，满足,且，若则实数7、已知O是的外心，，且，当时，，当时，，综合题库综合题库11、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，则点集{P|eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．4eq\r(2) D．4eq\r(3)2.已知x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋y≤2，,x≥a，))若eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，y)，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是()A．1 B.eq\f(1,3)C.