13.2.2空间两条直线的位置关系同步练习-2 高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

空间两条直线的位置关系一、选择题1．下列说法中正确的是()A．两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线B．两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线C．两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线D．两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线2．在三棱锥S­ABC中，与SA异面直线的是()A．SBB．SCC．BCD．AB3．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线条数为()A．0B．1C．2D．无数4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形具体的形状是()A．平行四边形 B．矩形C．梯形 D．正方形5．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE，B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°二、填空题6．如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，则BD＝________．7．如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．8．如图，过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．三、解答题9．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．10．在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长．能力过关11．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确的是()A．①③B．②④C．②③D．③④12．(多选题)关于异面直线的说法错误的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b异面B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面13．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是________．14．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________．15．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n．(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH．一、选择题1．下列说法中正确的是()A．两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线B．两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线C．两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线D．两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线C[A只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；B把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；C从反面肯定了两直线的异面；D中的两条直线可能在同一平面内．故选C．]2．在三棱锥S­ABC中，与SA异面直线的是()A．SBB．SCC．BCD．ABC[如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．]3．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线条数为()A．0B．1C．2D．无数D[l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直．]4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形具体的形状是()A．平行四边形 B．矩形C．梯形 D．正方形B[易证四边形EFGH为平行四边形，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．]5．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE，B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°C[CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故A、B错；AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故D错．]二、填空题6．如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，则BD＝________．18[连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，则E，F分别为BC，CD的中点，连接EF．由题意知，eq\f(AM,AE)＝eq\f(MN,EF)＝eq\f(2,3)，∴EF＝eq\f(3,2)×6＝9，∴BD＝2EF＝18．]7．如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B[因为四棱柱ABCD­A1B1C1D1中AA1∥DD1．又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．]8．如图，过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．4[连接AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．]三、解答题9．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．[证明]如图，设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1．∵E是AA1的中点，∴EQeq\o(\s\do2(═),\s\up2(∥))A1D1．又在矩形A1B1C1D1中，A1D1eq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))B1C1，∴EQeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))B1C1，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1Eeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))C1Q．又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QDeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Qeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))DF．又∵B1Eeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))C1Q，∴B1Eeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．10．在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长．[解]取BC中点G．连接GE，GF．∵E，F分别是AB，CD的中点，∴EG∥AC，GF∥BD，GE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，GF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)，∴BD，AC所成的角是∠EGF(或其补角)，若∠EGF＝60°，则EF＝GE＝eq\f(1,2)，若∠EGF＝120°，则EF＝2GFsin60°＝2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)．∴EF的长为eq\f(1,2)或eq\f(\r(3),2)．能力过关11．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确的是()A．①③B．②④C．②③D．③④A[把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]12．(多选题)关于异面直线的说法错误的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b异面B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面ABC[选项A、B、C中的两直线可能平行、相交或异面，故A、B、C均错误；由异面直线的定义可知，D正确．故选ABC．]13．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是________．60°[如图，连接BC1，A1B．∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．又∵∠A1BC1为60°，∴直线EF与D1C所成的角为60°．]14．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________．相交或异面[如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线．]15．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n．(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH．[解](1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD．又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD，所以EH∥FG，所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为eq\f